室內(nèi)供暖溫度調(diào)控?cái)?shù)學(xué)建模淺議

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摘要：冬季北方部分地區(qū)采取熱水供熱的供暖方式，研究如何控制進(jìn)水流量使得室內(nèi)溫度維持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范圍具有實(shí)際意義。針對(duì)空間溫度分布問題，本文將三維空間節(jié)點(diǎn)化，建立了空間節(jié)點(diǎn)控制模型，將空間節(jié)點(diǎn)分為熱源節(jié)點(diǎn)與非熱源節(jié)點(diǎn)，分別基于熱傳導(dǎo)方程與非熱源節(jié)點(diǎn)由雅可比迭代法進(jìn)行求解，得到該房間各高度所在平面的溫度分布圖可知，從南北方向來看，每個(gè)高度的分布圖都呈現(xiàn)靠近南、北墻兩端溫度相對(duì)較高、中間相對(duì)較低分布；而從東西方向來看，則呈現(xiàn)中間溫度相對(duì)較高、兩端溫度相對(duì)較低的分布。另外，高度越高，熱量分布相對(duì)越均勻。針對(duì)當(dāng)水流量變化的問題，我們對(duì)暖氣片產(chǎn)熱量進(jìn)行修正，以0.1m3/h為間隔求解不同進(jìn)水流量的出水溫度，然后利用空間節(jié)點(diǎn)控制模型求解房間的動(dòng)態(tài)溫度分布，得到平均溫度隨水流量的變化趨勢(shì)：隨著進(jìn)水口流量每增加溫度提高的幅度逐漸變小。對(duì)于最小耗水量問題，本文以最小累計(jì)耗水量為單一目標(biāo)，在約束條件下進(jìn)行求解。并在室內(nèi)平均溫度為21℃、標(biāo)準(zhǔn)差為1.5℃、進(jìn)水口流量在0.1-1.0m3/h的約束條件利用lingo求解得到最小進(jìn)水量為13.59m3。

關(guān)鍵詞：溫度分布；傅里葉熱傳導(dǎo)定律；能量守恒定律；雅克比迭代；單一目標(biāo)規(guī)劃

1概述

供暖問題一向被許多人所關(guān)注，尤其在某些特殊領(lǐng)域，如醫(yī)療行業(yè)對(duì)室內(nèi)溫度有嚴(yán)格要求。水暖是最流行的一種采暖方式，且在我國北方地區(qū)使用非常普遍，針對(duì)這種供暖方式，在外界溫度不斷變化的情況下，如何依靠控制進(jìn)出水流量來控制室內(nèi)溫度保持在一個(gè)合適的位置是一個(gè)具有實(shí)際意義的問題。由于封閉式內(nèi)溫度場(chǎng)的測(cè)量點(diǎn)不計(jì)其數(shù)，目前多數(shù)的計(jì)算方式或是是采用具有代表意義的一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)代入計(jì)算，或是將三維空間轉(zhuǎn)化為二維求解[1]，有或是建立三維熱傳導(dǎo)方程對(duì)空間動(dòng)態(tài)溫度進(jìn)行求解[2]，前者可能會(huì)因?yàn)槭褂貌环€(wěn)定的數(shù)據(jù)而對(duì)整個(gè)溫度場(chǎng)的計(jì)算造成影響，第二者則會(huì)因維度較低而對(duì)空間溫度分布計(jì)算不準(zhǔn)確，后者又會(huì)因維度較高計(jì)算復(fù)雜。故本文將南北墻面視作面熱源進(jìn)行計(jì)算，減少了選取特征點(diǎn)帶來的誤差，并將整個(gè)三維空間節(jié)點(diǎn)化，進(jìn)一步降低了計(jì)算難度。

2模型建立

2.1問題重述

冬季供暖采取熱水供熱方式的每一戶中有一個(gè)進(jìn)水口和出水口，可以通過控制水流量來使室內(nèi)溫度維持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范圍內(nèi)。該房間參數(shù)如圖1。本文研究問題可描述為：（1）已知室外溫度為0℃，進(jìn)水口流量為0.5m3/h，求房間的空間溫度分布。（2）當(dāng)進(jìn)水口流量在0.1m3/h-1.0m3/h范圍內(nèi)變化，求房間的動(dòng)態(tài)溫度分布。（3）根據(jù)一天之內(nèi)室外溫度變化情況每一小時(shí)調(diào)整一次進(jìn)水口量，在保證室內(nèi)溫度達(dá)標(biāo)的情況下合理調(diào)整進(jìn)水口流量，并使得一天累計(jì)耗水量最小。

2.2問題假設(shè)

（1）進(jìn)水口流量和外界溫度發(fā)生變化時(shí)，室內(nèi)溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間很短。（2）房間與室外的熱交換只發(fā)生在最外圍的熱源節(jié)點(diǎn)。（3）內(nèi)墻散失的熱量忽略不計(jì)。

2.3空間節(jié)點(diǎn)溫度分布模型

2.3.1散失熱量的求解。由于磚面和玻璃的材質(zhì)和厚度不同，所以兩者傳熱系數(shù)也不同，整個(gè)墻面（包括窗戶）散失的熱量需要分開求解。查詢材料導(dǎo)熱系數(shù)總表可得，墻面磚塊部分導(dǎo)熱系數(shù)λ1為1.0W/(m·k)，窗戶玻璃的導(dǎo)熱系數(shù)λ2為0.78W/(m·k)。根據(jù)常見房屋相關(guān)參數(shù)，假設(shè)墻面磚塊部分厚度σ1為30cm，窗戶玻璃的厚度σ2為0.4cm。墻面磚塊與窗戶部分的傳熱系數(shù)Ki為：(1)公式(1)中a1為21℃時(shí)的空氣對(duì)流換熱系數(shù)，a2為0℃時(shí)的空氣對(duì)流換熱系數(shù)。查詢不同溫度下空氣對(duì)流系數(shù)表可得，a1和a2分別為10W/(m2·k)、30W/(m2·k)。體積為V的空間在t1到t2的時(shí)間內(nèi)散失的熱量為：(2)公式(2)中負(fù)號(hào)表示散失，K為傳熱系數(shù)，由于墻面磚塊部分和窗戶部分傳熱系數(shù)不同，兩個(gè)部分所占面積也不同，整體墻面的傳熱系數(shù)K定義為不同材質(zhì)部分與其面積的加權(quán)值。2.3.2產(chǎn)熱量的求解。暖氣片向房間散熱，相當(dāng)于一個(gè)散熱器。暖氣片熱量來源于熱水，所以產(chǎn)生的總熱量與進(jìn)、出水的溫度、進(jìn)水口的流量和進(jìn)水總量有關(guān)。在t1到t2的時(shí)間內(nèi)，進(jìn)水口的流量為G，進(jìn)水溫度為uin，出水溫度為uout，產(chǎn)生的總熱量為：(3)2.3.3室內(nèi)熱量的求解室內(nèi)的熱量主要來源于暖氣片的散熱，而室內(nèi)某點(diǎn)的熱量與房間體積、室內(nèi)空氣流動(dòng)等因素有關(guān)。若室內(nèi)一點(diǎn)（x，y，z）在t時(shí)刻的溫度為u（x，y，z，t），空氣密度為ρ，空氣比熱為c，則室內(nèi)的熱量為：(4)根據(jù)能量守恒定律，散失的熱量Q1、房間內(nèi)的熱量Q2和暖氣片產(chǎn)生的總熱量為Q3有如下關(guān)系：(5)將(2)式、(3)式和(4)式代入(5)式，簡單化簡后得到室內(nèi)任意一點(diǎn)的溫度表達(dá)式為：(6)其Δu為溫度在x，y，z三個(gè)方向上的二階導(dǎo)數(shù)之和。2.3.4空間節(jié)點(diǎn)模型為求解空間溫度分布，本文將三維空間節(jié)點(diǎn)化，將房間劃分為51×101×29的節(jié)點(diǎn)集，即把房間劃分為50×100×28個(gè)小立方體區(qū)域，一個(gè)單位長度對(duì)應(yīng)0.1m，網(wǎng)格的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都控制本身與周圍六個(gè)節(jié)點(diǎn)所占有空間，將這個(gè)空間稱為控制體，如圖2所示。我們將所有節(jié)點(diǎn)分為熱源節(jié)點(diǎn)與非熱源節(jié)點(diǎn)，熱源節(jié)點(diǎn)位于空間的邊界，他們的溫度只與自身前一刻的溫度決定，而非熱源節(jié)點(diǎn)的溫度受初始環(huán)境溫度與熱源節(jié)點(diǎn)的控制，由雅可比迭代法求解，對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，根據(jù)熱量守恒定律和傅里葉導(dǎo)熱定律，流入的熱量Qin與流出熱量Qout之差為該點(diǎn)熱量的增量Qst，其關(guān)系式如下：(7)當(dāng)導(dǎo)熱達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，從所有方向流入控制體的熱量與流出的熱量相等，表達(dá)式如下：(8)以房間中部節(jié)點(diǎn)為例，對(duì)于節(jié)點(diǎn)（x，y，z），根據(jù)熱量守恒定律有：(9)以第一項(xiàng)Q（x-1，y，z）為例(其他控制節(jié)點(diǎn)同理),假設(shè)溫度場(chǎng)線性分布，根據(jù)傅里葉定律有：(10)內(nèi)熱源表達(dá)式為：(11)由于Δx=Δy=Δz，而且無熱源，有如下關(guān)系：(12)其余節(jié)點(diǎn)分析方法與上述一致。

2.4動(dòng)態(tài)流量模型

模型二在模型一的基礎(chǔ)上使進(jìn)水口流量在0.1-1m3/h之間變化，而由(4)式可知暖氣片產(chǎn)生的總熱量Q3與進(jìn)水口流量直接相關(guān)，為了滿足基本供暖需求，其出水溫度也會(huì)發(fā)生變化。用傳熱系數(shù)、散熱器相關(guān)修正系數(shù)[3]和室內(nèi)溫度表示暖氣片產(chǎn)生的總熱量與(3)式聯(lián)立可得如下表達(dá)式：(13)式中β1散為熱器組裝片數(shù)修正系數(shù)；β2散熱器連接形式修正系數(shù)；β3為散熱器安裝形式修正系數(shù)。

2.5最小耗水量模型

問題三要求每隔一小時(shí)調(diào)整一次進(jìn)水口流量，在保證室內(nèi)日均溫度達(dá)到21℃且標(biāo)準(zhǔn)差為1.5攝氏度的條件下，使得一天累計(jì)耗水量最小。設(shè)Gi（i=1，2，…，24）表示第i小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水口流量，ui（i=1，2，…，24）表示第i時(shí)的平衡溫度。進(jìn)水量與屋外溫度和室內(nèi)溫度存在函數(shù)關(guān)系：令則有：假設(shè)零點(diǎn)時(shí)室內(nèi)平衡溫度為平均溫度，即u0=21。因此目標(biāo)函數(shù)為：根據(jù)題意，要求平均溫度為24℃，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5℃，所以有如下約束條件：

3結(jié)果分析

3.1房間溫度分布

利用MATLAB軟件畫出高度為0m、0.5m、1.0m、1.5m、2.0m和2.8m的溫度空間分布圖。其中選取具有代表性的兩個(gè)高度0m、和3m的分布圖進(jìn)行具體分析，如圖3所示。由圖3可知，從南北方向來看，每個(gè)高度的分布圖都呈現(xiàn)靠近南、北墻兩端溫度相對(duì)較高、中間溫度相對(duì)較低的分布；而從東西方向來看，通過觀察等溫線可知，每個(gè)高度的分布圖都呈現(xiàn)中間溫度相對(duì)較高、兩端溫度相對(duì)較低的分布。這是因?yàn)榫嚯x熱源越遠(yuǎn)的地方，所獲的熱量越低。另外，每個(gè)高度的分布圖四個(gè)角落處溫度都相對(duì)較低，這不僅與距離熱源的位置有關(guān)，也與外墻與外界的熱量交換有關(guān)。再比較0m和2.8m的溫度分布圖，發(fā)現(xiàn)高度為2.8m所在平面中間低溫帶最窄且等溫線最密集，說明熱量在房間高處更易傳導(dǎo)，這與室內(nèi)空氣流動(dòng)快慢有一定關(guān)系。

3.2流量變化時(shí)的動(dòng)態(tài)溫度

針對(duì)問題二進(jìn)水口的流量以0.1m3/h等間隔依次利用雅克比迭代算法，其中進(jìn)水溫度為40℃，出水溫度根據(jù)(13)式求得。利用MATLAB求解得到進(jìn)水口流量依次增加0.1m3/h后房間的平均氣溫如表1所示。表1進(jìn)水口流量所對(duì)應(yīng)的平均氣溫表取x為2.5m,z為1.4m，溫度在y軸方向(南北方向)變化曲線如圖4所示。由表1和圖4可知，房間的平均溫度與進(jìn)水口流量呈現(xiàn)正相關(guān)，而進(jìn)水口流量從0.1m3/h增加到0.2m3/h時(shí)溫度提高的幅度最大，然后進(jìn)水口流量每增加0.1m3/h溫度提高的幅度逐漸變小。所以在滿足室內(nèi)正常溫度的情況下，進(jìn)水口流量繼續(xù)增大對(duì)溫度提升的效果不明顯，且會(huì)造成耗水量的浪費(fèi)。

3.3最小耗水量

利用lingo軟件求解得到最小累計(jì)進(jìn)水量為13.59m3，每個(gè)小時(shí)具體的進(jìn)水口流量如表2所示。

4結(jié)論

本文所研究熱水供暖的模型的目的是為了更好調(diào)整房間供暖系統(tǒng)的參數(shù)，并對(duì)系統(tǒng)的能源利用和溫度分布進(jìn)行優(yōu)化，即動(dòng)態(tài)選取最佳的水流量與合適的暖氣片參數(shù)及位置來達(dá)到達(dá)到滿足用戶需求并節(jié)約能源的目的，滿足可持續(xù)發(fā)展的要求，因此這類問題的研究具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

作者:王嗣淇 鄧睿翔 顏志雄 佟東霖 單位:南京信息工程大學(xué)人工智能學(xué)院 南京信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院