初二數學競賽題

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初二數學競賽題范文第1篇

關鍵詞：完全平方公式；數學競賽；推廣公式

由兩個基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2，我們可以推廣得到以下一組公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

靈活選用以上公式，可以簡單、快速地求解一些競賽題，下面請看一些例子.

例1.有3個正整數a，b，c，且a>b>c，從中任取2個有3種不同的取法，將每種取法取出的2個數分別作和與作差，得到如下6個數：42，45，64，87，109，151，則a2+b2+c2=（ ）（2013“希望杯”初二第2試）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本題是求三個整數的平方和，且題目給出了三個數中任意兩個的和與差，滿足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正確選項為C.

評注：通過以上解析過程可以發現，此解法根本不需要a，b，c為正整數及a>b>c這兩個條件，事實上，只要知道這三個數中任意兩個的和與差即可求出它們的平方和。出題者可能是考慮到有些學生可能想不到這個公式，因此加上這兩個條件，引導學生從三個整數的大小關系入手，結合作和與作差所得的6個整數進行邏輯分析，求出a，b，c的值，然后代入計算得出答案。雖然也能得到正確解答，但是如果能從整體上把握題目特征，利用變形公式求解，就顯得簡單、明快.

例2.已知實數a，b，c滿足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知條件聯想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后獲得解題思路.

解：a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

ab+bc+ac=0，從而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

abc=-112.

評注：解答本題的關鍵在于根據條件聯想到公式，然后構造相關代數式求解.把此題稍加改變，就得到下面這道競賽題：

例3.若實數a，b，c滿足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，則a3+b3+c3= .（18屆“華杯賽”初一）

分析：由已知條件聯想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，從而求出a2+b2+c2，然后再構造代數式a3+b3+c3求解.

解：a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

a2+b2+c2=4，

從而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

a3+b3+c3=2×4-3=5.

評注：解答本題的關鍵在于根據題目條件想到推廣公式（1），構造出所要求的代數式。以上兩例本質上是一樣的，事實上，稍加分析以上兩題解答過程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四個代數式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三個的值，可以求出另外一個的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中學生數學競賽初二年級競賽）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

評注：本題考查對推廣公式的靈活運用。

初二數學競賽題范文第2篇

關鍵詞：培優 扶困

當今,在新課改背景下,初中數學教育和教學質量普遍提高;然而,同一班級學生的數學成績存在著較為嚴重的兩極分化現象且日益顯現,尤其在初級中學數學教育和教學中,表現得較為突出;班級的后進生比例逐步擴大,在初二年級開始出現,特別在初三年級表現尤為突出,這種狀況直接影響著班級數學教學質量的提高。

一、明確培優扶困的意義和作用

培優扶困是初中數學教學工作中的一個重要環節,是使數學教學適應學生個別差異、貫徹因材施教原則的一個重要措施。培優就是對學有余力的、學習成績比較突出或有數學天賦和潛質的學生,通過有目的、有計劃、有組織的輔導和培訓,使他們的學業成績更加優秀、專長得到進一步的發展,成為具有創新能力的新一代人才;扶困就是對學習數學有困難且學習成績和學習能力偏差或個人身心、品德、行為較差的學生通過有目的、有計劃、有組織的輔導和幫助,使他們能夠身心健康,學習成績不斷進步,激發他們的學習興趣,提高他們的學習能力,逐步養成較好的生活和行為習慣。通過培優扶困,我不僅可以鞏固和提高學生在課堂上所學知識,及時發現和培養有數學天賦和潛質的學生;同時通過培優扶困,我還從多種渠道獲得了各類學生的反饋信息,及時發現、反饋教育和教學中優勢與不足,并及時不斷地加以改進、不斷地提高,這對于自身的數學教育和教學起到了很好的促進作用,對我的教學水平的提高也是一副很好的催化劑。

二、和諧、融洽的師生關系,是做好培優扶困工作的劑

數學教學工作是一種多層次、多因素的比較復雜的工作。雖然它與相鄰學科的教學工作有許多共同之處,但數學教學還具有自己獨特的教學規律和理論體系。因此,開學初,我根據所教兩個班級的學生數學成績及思想表現情況,精心選擇確定好培優扶困的對象,并制定出具體的培優扶困計劃和措施。

我積極主動地做好思想方面的培扶教育,我十分注重與學生交朋友,深入細致地了解和關心他們的學習與生活,洞察學生的生理、心理,尤其是思想上的變化及波動情況,及時幫助他們解決學習上的困難和成長過程中產生的一些困惑,抑制了學生思想上的一些不良觀念;讓他們從內心中感覺到老師一直像自己的親生父母在一樣關心和愛護著他們,從而從心理上接受、信任和佩服我;特別是學困生,他們對學習缺乏興趣,對自己缺乏信心,因此我經常利用課外時間與他們談心,關愛他們的身心健康、關注他們的健康成長,想盡一切辦法激發他們的學習積極性;充分挖掘他們身上的閃光點,一有進步就對他們進行表揚、鼓勵和鞭策,發揮他們自身的優勢和潛能,讓他們在同學之間找回屬于自己的那份自信。

三、將培優扶困滲透于課堂教學之中

我不斷地更新教育理念,端正教學思想;用發展的眼光客觀而又公平地看待每一位學生,既關注優秀生,更關注學困生。根據班級學生的實際情況,采取分層教學的方式,既保護中等的學生、又兼顧兩頭的學生,對待優生及學困生,特別給予關注,多提問、多督促,讓他們多思考,以激發他們的學習興趣和學習積極性,做課堂練習時,及時發現他們掌握知識的過程中存在的問題,及時解決;同時,對于不同層次的學生提出不同的要求,有的放矢,使他們各自盡情發揮、各得其所,優生能夠更上一層樓,向更高峰邁進!學困生也能夠循序漸進、將所學的知識及時消化和掌握,以鼓勵、欣賞、激勵的方法,肯定他們取得的一點一滴的進步,培養了他們的自信心,激發了他們的學習熱情和積極性,增強了他們學好數學的勇氣和力量。

四、將培優扶困滲透于課外輔導及作業批改之中

學生的素質是有差異的,對數學知識的理解和掌握程度也是參差不齊的,因此我在課外輔導中貫徹因材施教的原則,對于數學成績較好的學生,通過個別輔導,強化他們對數學的興趣與愛好;課外作業,鼓勵他們一題多解,尋求最佳解題途徑,償試寫出解題心得體會;對于數學有特長的學生,有目的、有計劃地培養他們的邏輯思維能力和數學理解能力,指導他們多看課外書籍,多答辯一些競賽題,以拓廣他們的知識視野。

對于數學成績較差的學生,也采取個別輔導的方式,以增強他們學好數學的信心,提高他們學習數學的興趣,他們提出的問題,我都耐心細致地給予解答,并與他們一起分析問題的癥結所在,是屬于知識的問題還是技能方面的問題,協助他們一起制定出詳細可行的學習計劃,并做好跟蹤督促工作。作業面批面改,結合作業中的出現問題,及時查漏補缺;在每次作業的后面,針對每個學生作業的具體情況,我都會附上信手拈來的微型評語,如: “有進步”、“沒有人敢忽視你”、“這才是真正的你”,“看你的作業是一種享受”,“思路獨特,有創造性”,“字要能工整一些就更好”……小小的幾字評語,往往能起到“四兩拔千斤” 的作用,讓學生看到自己的優缺點,激發了學生的學習熱情和積極性,對于提高培優扶困的效果起到了很好的催化劑的作用。

五、舉辦數學講座,拓寬學生知識視野;同學互助,共同進步