莫比烏斯帶

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莫比烏斯帶范文第1篇

說教材

四年級學生對身邊的事物有強烈的好奇心和求知欲，并有一定的操作能力。依據學生的心理特點以及認知發展規律，筆者確定如下的教學目標：①學會制作莫比烏斯帶，了解莫比烏斯帶性質以及在生活中的廣泛應用。②初步體驗“觀察、猜想、驗證”解決問題的方法，培養動手操作能力。③開拓學生數學視野，感受數學的神奇與價值，激發對數學學習的興趣。

教學重點：學會制作莫比烏斯帶，了解莫比烏斯帶的性質。

教學難點：培養學生空間想象能力。

教學準備：多媒體課件，正反兩面顏色不同的長方形紙條，剪刀，雙面膠，記錄表。

“做數學”的過程

新課標指出：教師是學生學習活動的組織者、引導者與合作者。因此在本節課中，我主要采取設疑誘導法，引導發現法，鼓勵學生大膽猜想，動手實踐得出結論，并用教育信息技術手段進行輔助教學，使學生更好的了解莫比烏斯帶在生活中的應用。

新課程提倡和凸顯“自主、合作、探究”學習，鼓勵學生在玩中學、做中學、合作中學。在本節課中主要運用動手操作法，自主探究法，讓學生獨立思考，合作交流“做數學”的過程，從中發現莫比烏斯帶奇異的性質。

環節設計

為了有效地實現教學目標，突出教學重點、突破難點，筆者設計了以下環節：

情境引入，激發興趣 新課開始，筆者出示微視頻《聰明的執事官》，詢問同學們：這位聰明的執事官是用什么方法讓小偷得到懲罰呢？這張小小的紙條里到底隱藏著什么奧秘？這樣在短時間內激發了學生學習的興趣，帶著疑問進入本節課的學習，也由此板書課題“莫比烏斯帶”。

揭曉謎底，動手操作 在學生思考，說說自己的想法后，筆者現場演示莫比烏斯帶的制作過程，并展示結果：“農民應當放掉，小偷因當關押”，讓學生初步感受莫比烏斯帶的神奇，激發學生進一步探究學習的興趣。

接著質疑：莫比烏斯帶是誰發明的？有什么特性？究竟應該怎樣制作？讓學生帶著問題觀看微課視頻“莫比烏斯帶的由來和制作”。學生觀看視頻后，組內交流并匯報，教師適時板書。在確保學生都知道如何制作莫比烏斯帶基礎上，讓他們開始動手實踐，制作一個莫比烏斯帶。在學生自己動手操作時，教師要及時巡視指導，確保每位學生都會做莫比烏斯帶，才能順利進行下面的教學。

接著帶著學生一起感受一下莫比烏斯帶的特性。讓同學們拿出莫比烏斯帶，用手沿著它的邊走一走，感受莫比烏斯帶只有一條邊，再讓學生拿出筆沿著莫比烏斯帶中間的線畫一畫，感受它只有一個面。

通過這一環節，學生自己動手操作，感受莫比烏斯帶的一條邊一個面的奇異特性，親身經歷將實際問題抽象為數學模型，并進行解釋與應用的過程，讓學生從中獲得數學學習中的樂趣。

仔細觀察，應用生活 筆者先讓學生聯系生活，找一找在哪里見過莫比烏斯帶。學生匯報后，教師用課件展示生活中的莫比烏斯帶：一是過山車。不少游樂園里過山車的輪套是莫比烏斯帶狀的，并且動畫演示過山車輪套的運動路徑，提醒學生要學會仔細觀察生活中的事情。二是莫比烏斯爬梯。這個爬梯也只有一個面，所以我們爬在這個爬梯上會不會不知不覺爬到底，讓學生多運動的同時留心觀察周圍的事情。三是傳送帶。讓學生思考得出把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀可以避免普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。四是垃圾回收標志。引導學生感受標志中莫比烏斯帶循環往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義。

在這一環節，筆者根據小學生年齡特征和認知規律，充分發揮多媒體課件的直觀作用，化抽象為具體，呈現了“莫比烏斯帶”的內涵美，拓寬了學生數學視野。

小組探究，展示作品 為了繼續讓學生感受莫比烏斯帶的神奇，筆者讓學生大膽猜想用剪刀沿著莫比烏斯帶的二分之一線、三分之一線或者是四分之一線一直剪下去，會有什么結果？并引導學生動手操作進行驗證。此時課件出示探究要求，讓學生有序進行合作探究。最后小組匯報并展示作品后，教師引導學生回顧：發現在探究過程中我們往往先是提出猜想，然后通過自己動手進行驗證，尋找答案，我們學習過程也是如此。

這一環節，教師引導學生不僅動腦想，還要動手做，在培養學生的空間想象能力的同時，培養學生解決問題的能力，掌握一定的學習方法，使學生更好地理解數學、運用數學，促進學生全面和諧的發展。

莫比烏斯帶范文第2篇

2、古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle,公元前384-322）認為，無窮大可能是存在的，因為一個有限量是無限可分的，但是無限是不能達到的。

3、12世紀，印度出現了一位偉大的數學家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比較接近理論化的概念。

4、將8水平置放成∞來表示無窮大符號是在英國人沃利斯（John Wallis,）的論文《算術的無窮大》（1655年出版）一書中首次使用的。

莫比烏斯帶范文第3篇

關鍵詞：小學數學；實驗教學；教育觀念；教學方法

在小學數學課程改革的熱潮中，要求我們數學教師時刻以新課程理念為指導，自覺改變教育觀念，創造性地使用教材，大力改進教學方法，著力改革學習方式，努力促使學生得到全面、持續、和諧的發展，這是我們每位小學數學教師現行素質教育下的一大使命。下面就結合自己的教學經歷談幾點自己的拙見。

一、突出實驗教學，促進學生理解

蘇霍姆林斯基說：“人的內心深處有一種根深蒂固的需求；希望自己是發現者、研究者、探索者。在兒童的精神世界里，這種需求特別強烈。”在小學數學教學中我們要為學生提供實驗教學的探究素材，在數學實驗中真正實現“做數學”，并在“做數學”中獲得知識、形成能力。如“圓錐體的體積”一課，為了避免學生學習圓錐的體積后，在實際運用公式時容易把圓錐的體積=等底等高圓柱體積的三分之一中的三分之一遺漏。所以，在教學中我更突出了本課的實驗教學，把學習的主動權交給了學生，讓每個學生都經歷“提出猜測―設計實驗―動手操作―得出公式”的自主探究學習的過程，課堂上我讓學生拿出自己課前準備好的兩個等底等高的圓柱和圓錐，深入實踐，用自己的學具驗證自己的猜想，學生到操場上用圓錐裝滿沙子，倒入自己的圓柱中，看看幾次可以裝滿。在我適當的引導下，讓學生根據自己的設想自由探究等底等高的圓錐體和圓柱體體積之間的關系、圓錐體體積的計算方法。學生在實驗教學中加深了對圓錐體和圓柱體等底、等高圓錐體體積才是圓柱體體積的三分之一的理解。

二、注重實驗教學，豐富學習經驗

充分的活動是生命成長的歷程。小學數學教學中，學習比較抽象的問題或者操作性比較強的知識時，要注重實驗教學，給學生提供充分的活動、參與的機會，并讓學生在實驗教學中自主探索、合作交流。如，在“用排水法求不規則物體的體積”的教學中，為了能讓學生認識、驗證，并應用排水法測量不規則物體的體積，我深知任何一個設想都應該通過親身的實踐去驗證才能得到結論，才能加以應用。因此實驗教學更是本節課的一大重點，只有學生在實驗教學中親自動手，才能更好地理解“水面上升空間的大小即浸入水中物體體積”，進而感悟“轉化”的數學思想，因此在科學實驗室中我給學生準備了量杯和西紅柿。在教學過程中，我首先要求學生用自己的學具去嘗試探究，學生能夠用通過觀察兩次量杯中水的刻度變化得出西紅柿的體積，很好理解用放入物體之后的水面刻度減去放入之前的水面刻度，就能得出被測物體的體積。在理解了排水法求不規則物體之后，我還給學生提供一個大的長方體容器，在沒有刻度的情況下想辦法也求出西紅柿的體積。學生對于問題解決更加感興趣了，小組內展開了討論，在交流中發現很多學生能夠測出長方體容器的長、寬、高，以及量出前后兩次水面的高度，最后求出了西紅柿的體積。在整個數學實驗教學過程中，學生由“想象―觀察―實驗―再實驗”得到更深層次的理解，首腦并用，合作交流，成為數學知識問題解決的探索者。這樣的數學學習，使學生不但豐富了生活學習經驗，能夠使他們的創新意識、實踐能力得到更好的培養和發展。

三、強化實驗教學，放飛學生心靈

學生的數學學習應注重強化學生主動進行觀察、實驗、猜測、推理交流等數學活動。現如今的數學學習中，我們不僅要關注學生的學習生活經驗，更要通過強化實驗教學來豐富學生的經驗，幫助學生從形象思維向抽象思維過渡，從而達到再現數學發現過程，給學生足夠的時間和空間去實驗教學，讓學生積極參與到知識技能的建構過程中。如“神奇的莫比烏斯帶”一課，這一節數學活動課對于我們來說是比較新奇的，從未接觸過，對于學生更是陌生，在教學參考書中更是少有介紹，而在教科書中有一句建議：“讓學生了解莫比烏斯帶。”很多教師在教學中就布置學生自己回去看，沒有重視本課的教學，而我在本課的教學中強化了實驗教學，通過設計3個活動環節：（1）做莫比烏斯帶，并驗證它只有1條邊和1個面；（2）沿二分之一線剪開并猜想可以剪成什么形狀，再動手驗證；

莫比烏斯帶范文第4篇

柏拉圖 (Plato 427-347 BC.)或者說蘇格拉底-柏拉圖是西方哲學的一個里程碑，這正象孔子 (551-479 B.C.) 或者說老子-孔子是中國思想（參見論中國思想）的一個里程碑一樣，我們雖然不是把一切都歸功于他們，但是他們集成性地代表了兩種哲學的開端和基礎，直至今天我們仍未充分地認識他們的意義。對于西方哲學界來說，柏拉圖和亞理士多德 (Aristotle 384—322B.C.)代表了西方哲學的不同的傾向，這和老子與孔子的關系相似，雖然亞理士多德是柏拉圖的學生，他們的分歧所暗示的意義也未得到充分的理解，而且人們似乎沒有注意到在孔子和柏拉圖之間存在同樣重要的或許是更深刻的關聯，盡管孔子和柏拉圖在歷史上沒有任何聯系，但歷史卻以一種超越時空的方式揭示了這樣一種互補性的關聯的存在。本文不是從他們各自的學說上具體地討論他們的異同，而只是把他們作為代表來探討東西方文化思想在起源上的關聯。

1． 理念與形式

柏拉圖的“理念” (idea，eidos)具有多重含義，但基本地不是直接地指語言表達的概念，這個工作是由亞理士多德發展的，柏拉圖的理念最核心的意義是理想或典范，是指事物的空間形式的存在，所以在他那里理念與形式同義，這由他的著名的床的比喻 (理想國10) 可以清楚地看出，事物的理念就是事物的完美的抽象形式，而不是事物之間的抽象關系，這是理解柏拉圖的理念的一個要點。

理念就是絕對的形式，床的理念除了僅僅是完美的形式外，不具有任何物理性質，這種特征正與幾何形式的純粹性一樣，比如作為幾何元素的平面是沒有厚度的，即沒有經驗的具體性質，因此純粹的空間形式就是絕對性的理念，但它不是幾何畫法中的圖形，這正如柏拉圖所說的畫家也只是對具體事物的模仿一樣，絕對的幾何形式通過幾何圖形而被表達，理念通過思想而被“回憶”，這就給沒有感性性質、不能看到、不可捉摸的理念帶來可見的陽光，光的比喻在柏拉圖的對話中是重要的，這是他遺留給西方哲學和神學重要的財富之一。具體的事物只是由于“分有”了理念而成為了可以感覺到的真實，工匠只是按照理念而制造具體的床。具體事物是千差萬別、經常變化的，而理念是事物完全的、純粹的、永不發生變化的形式，因此也是絕對的、永恒的，正是在這個意義上，理念具有本體意義，是一種超驗的“存在”，柏拉圖還沒有本體與存在相區別的理解，理念的超驗性是不可理解的，它只能存在于靈魂中，正是基于這一點，靈魂因理念而不朽，這就是柏拉圖靈魂不朽論的真正基石。永恒而必然的知識的本質就是理念，在這個意義上知識是絕對的，因此作為真理的知識是先于一切經驗的超驗存在，因此知識就是對理念回憶，學習無非就是回憶，這就是柏拉圖的知識回憶理論。柏拉圖以理念奠定了西方哲學的基礎，而他所遺留的問題即理念作為概念的表達——共相也是西方哲學二千多年來迄今為止消化不了的公案。

2． 形式的流變

柏拉圖的形式理念最終沒有得到清晰的展開和表達，雖然柏拉圖以對話的方式反復辯論，最關鍵的問題是比喻無法清晰地表達理念與真實的事物之問的過渡——“分有”，事物的理念可以在思想中被想象（回已），但無法用形式自身表達身與現實世界的關系，柏拉圖認為，畫家和詩人也只是模仿具體的事物，不能表達理念自身。空間形式的表達是由幾何學實現的，雖然西方的幾何學在古代就有了充分的發展，但那只是靜止的幾何學（平移變換的歐氏幾何），遠沒有達到對流變的形式的認識。柏拉圖雖然可以從其它的希臘先哲中吸取關于事物的變動不居的思想和幾何知學的知識，而且也有對幾何形式、事物屬性的變化和空間之間復雜關系的模糊認識 (蒂邁歐篇) ，但他產生沒有形式流變的思想，更說不上有效的形式流變的表達方法，他始終在形式與概念之間徘徊。一直到近代拓撲幾何中才有了對形式流變的發現和研究，這首先就是著名的莫比烏斯帶 (Mobius strip)，因德國數學家Ferdinand Mobius (1790-1868)而得名。取一根紙帶將其兩端扭轉180度粘接起來就是一個莫比烏斯帶：在每一個局部紙帶上都有兩個面 (陰與陽)，但對于整條紙帶來說卻只有一個面，它簡單而神奇地將陰與陽合二為一！（參見附圖）如果用一根可以任意拓撲變形的管子代替紙帶，我們仍可以實現這種容器內外(陰陽)面的粘合，但是不能把管子兩端用翻轉內面的方法粘接起來，那樣只能得到一個像輪胎一樣的空心環，我們必須把管子的一端從管子從它自身穿入后再將兩端粘合，這就是只有一個面的克萊因瓶Klein bottle ，因德國數學家Felix Klein (1849=1925) 而得名。

莫比烏斯帶和克萊因瓶只是作為拓撲幾何的著名范例而被充分研究，作為幾何圖形的性質它們是清晰、間單、甚至是優美的，但人們對它的所表達的事物性質卻迷惑不解，幾乎所有的數學家，哲學家，愛好者都對它的性質著迷，但難于理解這種簡單的幾何圖象所表達的神秘性質：兩個面如何是一個面？一個面又如何是兩個面？它們是從形式的流變中的揭示了幾何學的哲學，用幾何學的方法表現了最深刻的哲學原理，這種西方哲學和幾何學所未充分了解的秘密卻在古代中國思想家中得到了充分的領悟。如果我們把莫比烏斯帶和克萊因瓶進一步進行抽象的綜合，即去掉它們的空間性質，我們可以得到一個更加抽象的思想圖式，它就是中國太極圖 (見附圖) 。它抽象地表達了存在于一切事物之中的絕對性質——陰與陽和它們的統一，這就是古老的中國理念“道” 和“易”。“知其白，守其黑，為天下式，常德不忒，復歸于無極。”(老子：第二十八章) 太極圖和老子的這段話的對應性令人驚嘆，這不是圖形和語言的牽強附會，而是理念的一致。莫比烏斯帶和克萊因瓶表現了陰陽的流變統一過程，但卻沒有產生表達這種思想理念的結果，因為西方哲學中缺少這種理念，中國哲學有這種超越的思想理念，但是沒有清晰的表達方法，因為中國古代缺少充分發展的幾何學，只能用簡單的圖式表達最透徹的哲學思想，這不是圖式的神秘，而是思想自身所具有的透視性的深邃性。借助于莫比烏斯帶和克萊因瓶，太極圖所包含的哲學思想可以被更形象地表示出來，而借助于中國思想的理念，幾何學的原理可以得到更深刻的認識，比如對一些近代幾何的概念如非歐幾何、射影幾何、變換群等等，都可以有較好的理解，甚至對一些復雜的數學物理思想如物理空間等都可以有助于理解，實際上有一些在現代科學最前沿探索的學者都自覺地從中國思想理念中尋找啟示，如渾沌理論，非線性理論等等，或許中國思想將給予我們更深刻的東西。 3. 真、善、美之道

在柏拉圖的對話中，理念、美、真理、知識和善相互說明，糾纏難解，但它們的基石是形式，他用美對形式進行抽象和說明，他用美來解釋理念 真理、知識之間的關系。理念就是事物的完美的形式，它沒有差別，沒有局部，因此它才是美的，在這個意義上，美就就是具體事物的完全形式，因此美就是對咸性事物的抽象和超越，絕對的形式就是美。但是事物之間是存在分別的，因此也存在許多理念，這樣在理念之上還有一個更高的理念，柏拉圖稱之為善 (理想國6) “這個給予知識的對象以真理，給予知識的主體以認識能力的東西，就是善的理念。它乃是知識和認識中的真理的原因。真理和知識都是美的，但善的理念比這兩者更美，這也就是善的知識。”所以理念還不是最終的存在，理念通過美而被自己超越(更美)，這樣借助于美的再一次超越，柏拉圖從理念上升到最高形式——善。理念是超驗的，它自身沒有回歸此岸之路，因此它最終只能成為屬于神的性質的善，美不能用來說明神，柏拉圖也無法再對善有所言說，這樣柏拉圖的哲學就停留在不可逾越的二元分裂上。

中國的道的思想是自身變易的，表現為一切事物的陰陽相對性質和陰與陽的超越互生上，從克萊因瓶的形象可以看到以陽入陰和陰中生陽的流變過程，從每一個局部看，陰陽是明顯對立的，但從全體看，則沒有陰陽的分別，而是合一的統一。所以中國思想的理念不是固化的美的形式，而是形式流變的自身，形式流變的的固化就是它的死亡，它是流變的美自身，因此太極圖也不是美的形式，雖然從圖形上看它也是美的，它蘊含的是變化的美， 流動的美，是思想的美，因此也就是美的自身，在這個意義上美與善是自身的同一。中國的文化精神充滿了自身的和諧統一，人與天是世間最綜合的陰陽事物，“天人合一”正是這樣一種世間所有事物在自身的變易中超越統一的理念。陰陽之道不是絕對對立的，中國思想也不是二元對立的，而是自身生生不息的超越統一。

真理畢竟是以知識表達的，柏拉圖的知識學說其實不是關于事物的性質與關系的具體知識，而是關于思想與理念的關系的見解，這是很多人誤解他的知識回憶說的原因。柏拉圖所說的回憶其實就是指思想，理念是超驗的存在，它不能被感覺到，也不能被肉眼看到，只有思想（回憶）才能接近它，因此在他看來，知識就是對理念的回憶，我們完全可以理解工匠在制造一張床的時候是按照他思想中 (回憶) 的理念進行的，這一點也不奇怪。所以理念雖然是超驗的，但思想可以接近它，柏拉圖的回憶就是這樣一個思想接近理念的過程。理念作為真理的知識是無法最終地把握的，蘇格拉底的形象是承認自己是無知的辯論者，他的真正的意思是說沒有最終的知識，而只有對知識的追求，辯論和對話就是這樣一個雙方一起探求真知識的過程，因此雖然絕對的知識即理念是達不到的，但在對理念的追求中人們可以分享到理念的陽光，柏拉圖著名的洞穴比喻的真意義正是在這里。蘇格拉底的辯論和柏拉圖的對話也就是這樣一個無限接近真理的過程。

在中國哲學中， 道的理念表現在世間事物的全體上，陰和陽就是絕對的事物性質，但不是絕對的事物，因此它不是超驗的存在，它實現自己在一切事物上，但唯獨沒有自己的絕對形式——“大相無形”，在任何具體的，局部的事物上都有陰與陽的對立，但沒有絕對的單陰與單陽的存在，它在對立的超越中存在，它因變易而永生，人們在思想中把握它，太極圖和八卦圖就是思想的路標或思想的范式，這是中國哲學即中國思想最本質的特征。當然作為人類對事物的知識，它有自己的發生、學習、積累的 消化的過程，這是知識在發展和積累中的更新，即知識自身的變易，這才是真正的知識自身——真理，孔子說：“篤信好學，守死善道。”(論語：泰伯) 正是在不斷的學習和追求中才能得道和守道。老子強調柔弱、虛靜、無爭、溪谷等思想，這是指靜態中的流變，是“知其雄”而“守其雌”， 是孕育中的新生，克萊因瓶的的主體也是陰包陽的瓶（杯）形，沒有陰，陽無從可生，但陽一但產生，陰就不是昔日之陰了，因此形式的流不是反復舊形式的循環，而是無時不在的更新，但是克萊因瓶作為一種固化了的形式表現不了這一種更高的理念，它只是流變形式死亡的軀殼，因此從西方傳統思想模式出發無法理解莫經烏斯帶簡單中的神秘，更不會導至更高層次的的流變中的更新理念，但是更加抽象的太極圖卻能指導人的思想活化它們，從思想中看到它的流動和更新，這是“大象無形”的變易，是“無為而無不為”把握和再生，是“中庸”的包容、信念、等待與希望，這些偉大的思想都充分反映在中國古老的文化觀念中：道的超越，易的永恒，“湯之盤銘：荀日新，日日新，又日新。”（大學）中國思想因自身徹底的超越精神而崇高，這種美常常使人感到內心的顫栗。

莫比烏斯帶范文第5篇

【關鍵詞】數學實驗；創客理念；課程載體

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）17-0035-04

【作者簡介】汪樹林，江蘇省如皋市東陳鎮丁北小學（江蘇如皋，226571）教科室主任，高級教師，南通市骨干教師。

在互聯網時代大數據、云計算背景下，以創新為靈魂的創客教育引領著小學數學教育教學改革與實踐。作為創客教育的重要載體，數學實驗能夠有效統整課程資源，實現跨學科、跨領域的知識融合和技能整合，并能幫助兒童擺脫“離身思維”，實現手腦結合，形成“具身認知”。數學實驗將成為開啟數學創客教育新動力的引擎。

一、從“創客視角”看數學實驗的課程價值

美籍匈牙利數學教育家波利亞曾經說過：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像一門系統的演繹科學；另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學。”從“創客視角”看，數學實驗有著獨特的課程價值。

1.思想與實踐對接。

數學實驗是指兒童在數學學習過程中所產生的操作性、印象性、符號性的實驗或準實驗（虛擬實驗），它超越了純粹的“紙筆數學”，讓兒童的數學思想與數學實踐實現對接。例如：教學蘇教版四下《三角形三邊關系》時，筆者向每個學生提供一根長15厘米的小棒，讓他們自主創造“結構性素材”――將小棒分成三段。然后，讓學生嘗試圍三角形，并在圍三角形的過程中展開自我追問――為什么有的能圍成，有的圍不成？最后讓學生用表格將實驗數據進行分類整理，使他們產生對“三角形三邊關系”的理性認識。在上述實驗中，學生的數學思想和動手操作實現對接，數學思維得到提升。

2.歸納與演繹交融。

數學實驗開辟了兒童“用手思考”問題的道路，正是在動手做的過程中，兒童的數學思維得到啟迪。在數學實驗中，兒童須進行必要的凝聚――抽象和概括，須經歷猜想、探究、嘗試與論證的過程。例如：教學蘇教版三上《兩位數除以一位數》時，筆者首先出示63÷3，讓學生用手中的小棒進行實驗。有的學生先將個位上的3根平均分成3份，還有的學生先將十位上的6捆平均分成3份。接著，筆者出示76÷2，學生依然是兩種分法，但已經有學生意識到“先分十位”的方式更合理、方便。筆者接著出示42÷3，這時個位上的2不夠分，學生只能從高位開始。學生通過實驗理解算理后，筆者讓他們列豎式計算，由此演繹生成“兩位數除以一位數”的算法。從工具操作到表象歸納再到符號演繹，學生的實踐經驗上升為數學的理性認知。

3.思維與創造共生。

數學實驗是兒童數學創造性思維的孵化器。在數學實驗的過程中，兒童主動進行觀察、想象、推理等思維過程，主動進行畫圖、剪拼、測量等動手操作活動。例如：教學綜合實踐活動課《神奇的“莫比烏斯圈”》時，筆者首先讓學生觀察、觸摸、感知：“莫比烏斯圈”只有一個面、一條邊。然后，筆者讓學生用剪刀沿“莫比烏斯圈”的中線將其剪開，學生驚奇地發現：剪開后的“莫比烏斯圈”變成一個大紙環。接著讓學生進行實驗，用剪刀沿著“莫比烏斯圈”的三等分線剪開，在這一過程中，學生萌生出不少創造性想法：“老師，如果把磁帶做成‘莫比烏斯圈’，就不用翻面了”；“老師，如果把‘輸送帶’做成‘莫比烏斯圈’，或許能延長使用壽命呢”……學生創意連連。最后，筆者向學生展示了迷人的“莫比烏斯建筑”和“莫比烏斯涼鞋”，進一步激發兒童的創造性思維。

二、用創客理念反思數學實驗教學的問題

在數學實驗的過程中，教師應致力于讓兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性認知交織，如此，數學學習才能激發兒童的興趣，數學實驗才能成為兒童的研究與探索方式。然而，當我們用創客理念反思數學實驗教學時，卻發現了諸多問題。

1.數學講解對實驗操作的代替。

在實踐中，筆者發現數學實驗的開展往往蜻蜓點水般一帶而過，有些教師甚至將豐富生動的“做實驗”簡化為說實驗、講實驗、演實驗。例如：教學蘇教版四上《可能性》時，有的教師為了節約課堂教學時間，將自認為枯燥、煩瑣的摸球實驗簡化或懸置，而代之以數學講解，讓學生猜測摸球結果，然后直接出示數學家為研究“等可能性”進行的拋硬幣實驗數據。如此，學生體驗不到事件的隨機性，更談不上掌握統計方法、感悟概率思想。

2.數學結果對實驗過程的僭越。

在數學實驗過程中，有的教師為追求實驗結果一步到位或實驗過程的順暢而對實驗步驟進行提前告知、過度預設，致使學生在數學實驗過程中操作簡單、思維膚淺。例如：教W蘇教版五下《圓的周長》時，一位教師首先出示圓周率近似數――3.14，接著讓學生實驗驗證。于是，學生用“繞線法”或“滾圓法”測量出圓周長，通過計算圓周長和直徑的商，他們發現結果并不是3.14。有的學生為了迎合教師篡改或杜撰實驗數據，有的甚至直接進行數學計算。充滿樂趣的探究實驗被教師誤導為驗證實驗，而教師對實驗過程又缺乏具體、明確的指導，導致實驗結果對實驗過程的僭越。

3.實驗操作對數學思想的輕視。

在數學“創客活動”中，實驗是數學的載體，思想是數學的靈魂，要警惕學生淪為機械的操作工。教師必須引領學生進行深度的數學思考，讓他們感悟、體驗、應用數學思想。例如：“間隔排列”是數學經典問題，有的教師進行實驗教學時缺少對相應學具的分組操作，忽視讓學生感悟對應思想，因此學生無法理解“為什么‘兩端物體’相同，‘兩端物體’比‘中間物體’多1”，從而導致他們在應用時不知所措――“到底是加1、減1還是相等呢？”

三、借創客教育探尋數學實驗的“眾創路徑”

作為一種體驗式學習，數學實驗可以讓兒童在做中學，做中玩，做中研，做中創。在實驗過程中，教師要努力充當“創客導師”，營造創想氛圍，打造創想空間，激發兒童的創想意識，對兒童的創新實驗進行眾扶、眾籌，讓兒童想創、敢創、能創。

1.從束到放，通過“對比實驗”引發兒童的主動之意。

在數學實驗的過程中，教師要觸發學生主動學習的愿望，讓他們自主建構。教學蘇教版六下《圓錐的體積》時，很多教師直接出示結構性素材――等底等高的圓柱和圓錐，其實，這是一種學生在教師強制下的“被實驗”――學生被迫選擇圓柱且是等底等高的圓柱。教師教學時可以出示大小、形狀不同的立體模型（如長方體、正方體、圓柱體、三棱柱等），讓學生自主選擇并說明原因。

師：你們為什么選擇圓柱？

生：圓柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。

師：這里有多種規格的圓柱和圓錐（等底不等高1組、等高不等底1組、等底等高2組、不等底不等高2組），你們選擇那種規格？

生：我選擇等底等高的圓柱和圓錐，這樣便于比較。

接著，教師可以讓學生用上述圓柱和圓錐（裝沙子、水）進行對比實驗。學生發現有3組實驗的結果是“圓柱體積大約是圓錐體積的3倍”，其中兩組是等底等高，一組是不等底不等高。然后組織學生討論，在討論中，學生認識到：由于沙子之間有空隙，所以用水做實驗更科學。他們還感悟到：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍；而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能等底等高，也可能不等底不等高。學生還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動地解釋了不等底不等高這組的實驗結果。學生充分發揮了能動性，真正經歷了推理圓錐體積計算公式的全過程，真正成了數學意義上的“創客”。

2.從迷到思，通過“模型實驗”彰顯兒童的思維之美。

兒童在生活、學習中會產生許多迷思概念（即與科學概念不一致的概念），在教學中，教師可以運用數學實驗點化兒童思維，讓兒童的思維澄清、敞亮。小學六年級數學試卷有這樣一道選擇題：一個真分數，如果分子和分母同時加上k（k>0），所得分數（ ）（選填>、

師：老師這兒有一杯糖水，其中糖占糖水的■，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發生了怎樣的變化？

生1：糖多了，糖水也多了。

生2：變甜了。

師：變甜了就是什么變化了？

生3：含糖率升高了。

師：現在你知道一個分數的分子和分母同時加上同一個大于0的數，分數變大的道理了嗎？

抽象的不等式問題可以用糖水濃度實驗來解釋，既直觀、形象又嚴密、深刻，學生感受到了數學的美妙與神奇。

3.從低到高，通過“模擬實驗”呈現兒童的解放之趣。

數學實驗的過程應該成為兒童感受數學力量的過程，應充分彰顯兒童的解放之趣。教學蘇教版三下《長方形的面積》時，筆者引導學生做貼瓷磚的“模擬實驗”。首先給出一張小長方形紙（長、寬均為整厘米數），讓學生用面積為1平方厘米的小正方形塑料片進行拼擺，直觀感知長方形紙的面積；然后出示一張大長方形紙，先讓學生估計長方形紙的面積，再用直尺分別量出長方形紙的長和寬，接著再次讓他們用面積為1平方厘米的小正方形塑料片拼擺，學生發現塑料片不夠拼擺了。

師：不夠拼擺怎么辦呢？

生1：可以用筆畫出空出的部分，然后數一數。

生2：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫一條橫線，再沿著這條橫線向上對折。

生3：可以在頭腦中想象。

師：一定得畫滿、折滿么？有沒有更簡單的方法？

生4：只要把小正方形擺在長方形紙的長邊和寬邊上，然后用長邊上的個數乘寬邊上的個數。

生5：長方形紙的長邊長度就是長邊上小正方形的個數，寬邊長度就是寬邊上小正方形的個數，所以我們只要知道長方形紙的長和寬，就能算出長方形紙的面積。

至此，長方形的面積計算公式產生了。教師故意設置“缺斤短兩”的工具，讓學生超越實驗的工具理性，由自我的實踐理性邁向數學的解放理性。

4.從外到內，通過“切片實驗”滿足兒童的成長之需。

數學實驗能讓兒童外顯的實踐操作與內隱的數學思維有機融合，讓活動成為外化的思維，讓思維成為內化的活動。正是在這個意義上，“用手思考”也可以理解為“用頭腦做”“用頭腦看”“用頭腦聽”……如以下習題：小英像圖1這樣擺正方形，擺1個需要4根小棒，擺2個需要7根小棒，擺3個需要多少根小棒？擺10個呢？擺15個呢？100根小棒能擺多少個正方形？

教學時，筆者讓學生做“切片實驗”，即用火柴棒擺前幾個圖形探究規律。在實驗過程中，筆者適時介入――“擺1個正方形需要幾根火柴棒？”“擺2個正方形需要增加幾根火柴棒？”“上下看，增加幾根？”“左右看，增加幾根？”……學生用表格對操作結果進行整理，形成“實驗切片”。當學生操作到第3個正方形時，筆者引導他們觀察，并將實驗結果用算式進行記錄，學生產生了多樣化的數學表達：

生1：4，4+3，4+3×2……

生2：1+3，1+2×3，1+3×3……

生3：2+2，4+3，6+4……

生4：1×2+2×1，1×3+2×2，1×4+2×3……

師：還需要接著擺下去嗎？

生：不用了，我們找到規律了。

數學實驗為數學理解提供了“外源幫助”，數學理解為數學實驗提供了“內源支撐”。在數學實驗過程中，兒童囊覽擋僮韉墓ぞ咝岳斫庾呦虺越操作的關系性理解、創新性理解，進而實現自我的思維躍遷，數學實驗室也成為兒童的“創想空間站”和“數學創客坊”。`

【參考文獻】

[1]葉浩生.身體與學習：具身認知及其對傳統教育觀的挑戰[J].教育研究，2015（4）：104-114.

[2]武建軍.數學實驗：小學生實踐操作與數學思維的視界融合[J].江蘇教育：小學教學，2015（1）：23-25.

[3]劉正松.數學實驗：推開數學學習的另一扇窗――以《兩、三位數除以一位數》為例[J].教育研究與評論：小學教育教學，2015（8）：12-15.

[4]陳蕾.以“圓錐的體積”為例談小學數學實驗的教學[J].江蘇教育：小學教學，2009（6）：53-54.