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      二倍角的正弦余弦正切數學教案

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      (一)教學具準備

      投影儀

      (二)教學目標

      1.應用倍角公式解決本章開頭的一個應用問題.

      2.活用倍角公式,推求半角公式.

      (三)教學過程

      1.設置情境

      請同學看教材第3頁上的一段文字,它敘述的是一個生活中的實際問題:

      “如圖1,是一塊以點為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上畫出一個內接矩形辟為綠地,使其一邊落在半圓的直徑上,另兩點、落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑為,如何選擇關于點對稱的點、的位置,可以使矩形的面積最大?”根據教材提示應用所學的倍角公式,同學們能嘗試解答它嗎?

      2.探索研究

      分析:要使矩形的面積最大,就必須想辦法把面積表示出來,不妨利用我們所學的三角知識,從角的方面進行考慮,設,則,,所以可以用表示.

      解:設則

      ∵∴

      當時,即,

      這時,

      答:點、分別位于點的左、右方處時取得最大值.

      變式:把一段半徑為的圓木鋸成橫截面為矩形的木料,怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大?

      生:根據上題的結果可知這時圓內接矩形為內接正方形時面積最大.

      以上是倍角公式在實際生活中的運用,請同學們觀察以下例題,并分析、思考后能否得出證明.

      3.例題分析

      【例1】求證:

      (1);(2);

      (3).

      思考,討論.

      我們知道公式中是任意的,所以我們可以用來替換,這樣就得到

      上面三式左邊都是平方形式,當的值已知,角的終邊所在象限已知時,就可以將右邊開方,從而求得:

      以上兩式相除又得:

      這三個式子稱之為半角公式,“±”號的取舍得由終邊所在象限確定.

      【例2】求證:

      分析:從例1引出例2,,右邊是同一個三角函數,并且還要附上正負號,而所要證明的式子右邊有兩個三角函數,不帶正負號.故我們不能利用上法,得另想辦法.

      師:(邊敘述邊板書)

      上式不含根號也不必考慮“±”號選取,通常用于化簡或證明三角恒等式,同樣可作半角公式運用.

      【例3】已知:,求,,.

      解:

      說明:①例1中(1)、(2)兩式使用頻率極高,正、逆使用都非常普遍.習慣從左到右,常稱“擴角降冪公式”,從右到左常謂“縮角升冪公式”,

      ②半角公式是二倍角公式的另一種表達方式,倍半關系是相對的.

      練習(投影)

      1.已知:(),

      求:(1);(2).

      2.若,求:的值.

      3.求:的值.

      參考答案:

      解:1.∵

      兩邊平方得∴

      又∵∴

      ∴∴

      2.∵∴

      原式

      (3)

      另解:設……………………①

      ……………………②

      ①+②得…………………………③

      ①-②得……④

      ③+④得∴

      4.總結提煉

      (1)本節課我們由倍角公式出發解決了實際應用問題,得出結論“在一個圓的所有內接矩形中,以內接正方形的面積為最大”,另外由倍角公式解答了例1、例2,從而推導出半角公式,公式“±”號的選取決定于終邊所在的象限,例2的應用也很廣泛,大家可根據題目的條件選擇使用較為方便的形式.

      (2)從半角公式可以看出,半角的正弦余弦正切公式都可以用單角的余弦來表示.

      (3)若給出的是象限角,則可根據下表決定符號.

      的終邊

      的終邊

      一或三

      一或三

      二或四

      二或四

      若給出的是區間角,則先求所在區間再確定符號.

      若沒有給出確定符號的條件,則應在根號前保留“±”號.

      (五)板書設計

      二倍角的正弦、余弦、正切

      1.復述二倍角公式

      2.由,推出半角公式

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