公路匝道坐標(biāo)管理

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摘要：本文利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證的計(jì)算公路匝道坐標(biāo)的通用公式。利用fx-4500p計(jì)算器編程計(jì)算放樣點(diǎn)位坐標(biāo)。

關(guān)鍵詞：復(fù)化辛普森公式公路匝道編程坐標(biāo)計(jì)算

一、引言

匝道是組成高等及公路立交的基本單元，其形式千變?nèi)f化，就線(xiàn)形而言，也是由直線(xiàn)段、回旋曲線(xiàn)段、圓曲線(xiàn)段組成。但是，組成立交的匝道涉及線(xiàn)形的曲率變化特點(diǎn)，利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證了計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。并利用卡西歐fx-4500p計(jì)算器編程計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)。

二、公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算

1.公路匝道中線(xiàn)形式

公路匝道中線(xiàn)是由直線(xiàn)—回旋曲線(xiàn)—圓曲線(xiàn)（r1）—回旋曲線(xiàn)—圓曲線(xiàn)（r2）—回旋曲線(xiàn)—直線(xiàn)的順序組成的，其中r1¹r2。

2.回旋曲線(xiàn)上點(diǎn)位坐標(biāo)方位角的計(jì)算

如圖1，設(shè)回旋曲線(xiàn)起點(diǎn)a的曲率為ra，其里程為dka；回旋曲線(xiàn)終點(diǎn)b的曲率為，其里程為dkb，ax¢y¢為以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，以a點(diǎn)切線(xiàn)為x¢軸的局部坐標(biāo)系；axy為線(xiàn)路坐標(biāo)系。

由此回旋曲線(xiàn)上各點(diǎn)曲率半徑為ri和該點(diǎn)離曲線(xiàn)起點(diǎn)的距離ﺎi成反比，故此任意點(diǎn)的曲率為

（=r0為常數(shù)）（1）

由式（1）可知，回旋曲線(xiàn)任意點(diǎn)的曲率按線(xiàn)性變化，由此回旋曲線(xiàn)上里程為dki點(diǎn)的曲率為

（2）

當(dāng)曲線(xiàn)右偏時(shí)，取正；當(dāng)曲線(xiàn)左偏時(shí)取負(fù)。在圖1中有

（3）

將式（2）代入式（3）得

（4）

若已知回旋曲線(xiàn)起點(diǎn)a在線(xiàn)路坐標(biāo)系下切線(xiàn)坐標(biāo)方位角αa，則里程為dki點(diǎn)切線(xiàn)坐標(biāo)方位角為

（5）

將式(4)代入式(5)得

（6）

對(duì)于式(6)，當(dāng)，時(shí)，，則ai=aa，式(6)變成計(jì)算直線(xiàn)段上任意點(diǎn)切線(xiàn)坐標(biāo)方位角計(jì)算公式；當(dāng)，時(shí)，，，則式(6)代表圓曲線(xiàn)上任意點(diǎn)切線(xiàn)坐標(biāo)方位角計(jì)算公式。

可見(jiàn)，若已知曲線(xiàn)段起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲率及起點(diǎn)的切線(xiàn)坐標(biāo)方位角，式(6)便能計(jì)算任意線(xiàn)型點(diǎn)位切線(xiàn)坐標(biāo)方位角。

3、回旋曲線(xiàn)點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算

由圖1可得回旋曲線(xiàn)上點(diǎn)位在坐標(biāo)系下坐標(biāo)計(jì)算公式：

（7）

（8）

設(shè)回旋曲線(xiàn)起點(diǎn)a在線(xiàn)路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為將式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲線(xiàn)上任意點(diǎn)在線(xiàn)路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：

（9）

對(duì)于式(9)的解算，由于后半部分是定積分，我們引入復(fù)化辛普森公式對(duì)其進(jìn)行解算。

首先將積分區(qū)間[dka，dki]劃分為n等份，步長(zhǎng)為h=（dki-dka）/n，分點(diǎn)里程dxk=dka+kh，k=0，1，2，×××，n，記子區(qū)間[dxk，dxk+1]的里程為dxk+1/2，則dxk+1/2=（dxk+dxk+1）/2，k=0，1，2，×××，n-1。

由此式(9)用復(fù)化辛普森公式表示為

n-1n-1

x=xa+h/6´（cosaa+4∑cosak+1/2+2∑cosak+cosai）

k=0k=1

n-1n-1

y=ya+h/6´（sinaa+4∑sinak+1/2+2∑sinak+sinai）（10）

k=0k=1

式中：aa為回旋曲線(xiàn)起點(diǎn)a的切線(xiàn)方位角；ak+1/2為里程dxk+1/2點(diǎn)切線(xiàn)方位角；ak為里程dxk點(diǎn)切線(xiàn)方位角；ai為里程dki點(diǎn)切方位角。

對(duì)于式(10)，雖然是由回旋曲線(xiàn)導(dǎo)出的，但該式也適用直線(xiàn)段和圓曲線(xiàn)段。

三、復(fù)化辛普森公式的使用說(shuō)明

為滿(mǎn)足點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算精度，經(jīng)驗(yàn)算取n=2。無(wú)論是直線(xiàn)段、圓曲線(xiàn)段、回旋曲線(xiàn)段，只要將各曲線(xiàn)段中的起點(diǎn)、終點(diǎn)的曲率和里程以及解求點(diǎn)里程dki和各分點(diǎn)里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點(diǎn)dki的坐標(biāo)。在計(jì)算時(shí)，要注意曲線(xiàn)的偏向。

四、公路匝道坐標(biāo)計(jì)算源程序

l1lbl0：t“x1”u“y1”c“at”d“pa”e“pb”a“ch0”b“chn”g“x0”i“y0”：m：lbl1：n=0：p=0：o=0：q=0：s=0：{j}：j“chi”

l2lbl2：n=n+1：h=2（j-a）/m：f=nh/2+a：r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）：int（n/2）=n/2=>o=o+cosr：p=p+sinr：¹>q=q+cosr：s=s+sinrd

l3n=m=>goto3：¹>goto2dlbl3：x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr：y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）：x：“x=”ùy：“y=”ùpol（x-t，y-u：vùw<0=>w=w+360ù¹>wùdgoto1

x1----測(cè)站點(diǎn)x坐標(biāo)

y1----測(cè)站點(diǎn)y坐標(biāo)

at----曲線(xiàn)起點(diǎn)方位角

pa----曲線(xiàn)起點(diǎn)曲率（當(dāng)曲線(xiàn)右偏時(shí)，ρa(bǔ)取正；當(dāng)曲線(xiàn)左偏時(shí)ρa(bǔ)取負(fù)。）

pb----曲線(xiàn)終點(diǎn)曲率（當(dāng)曲線(xiàn)右偏時(shí)，ρb取正；當(dāng)曲線(xiàn)左偏時(shí)ρb取負(fù)。）

ch0----曲線(xiàn)起點(diǎn)里程

chn----曲線(xiàn)終點(diǎn)里程

x0----曲線(xiàn)起點(diǎn)x坐標(biāo)

y0----曲線(xiàn)起點(diǎn)y坐標(biāo)

m----求和累積次數(shù)n的2倍

ch----曲線(xiàn)待測(cè)點(diǎn)里程

x----曲線(xiàn)待測(cè)點(diǎn)x坐標(biāo)

y----曲線(xiàn)待測(cè)點(diǎn)y坐標(biāo)

v----測(cè)站至待測(cè)點(diǎn)間的距離

w----測(cè)站至待測(cè)點(diǎn)間的方位角

其中r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）為（2）、（6）式的合并式，計(jì)算切線(xiàn)坐標(biāo)方位角；o=o+cosr、p=p+sinr、q=q+cosr、s=s+sinr、x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr、y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）計(jì)算點(diǎn)位坐標(biāo)。由于累計(jì)時(shí)o=o+cosr、p=p+sinr分別多累加了一個(gè)cosr、sinr，所以在程序中（10）式最后一項(xiàng)前為負(fù)號(hào)。

五、坐標(biāo)計(jì)算算例

利用萬(wàn)家寨水利樞紐工程左岸上壩公路一段曲線(xiàn)驗(yàn)證復(fù)化辛普森公式坐標(biāo)計(jì)算程序的正確性。

如圖2：0+488.8~0+552.74為直線(xiàn)段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17為緩和曲線(xiàn)段，緩和曲線(xiàn)長(zhǎng)為l0=25m，0+577.74~0+693.17為圓曲線(xiàn)段，r=85m。

在計(jì)算器中找到該程序，先輸入直線(xiàn)段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點(diǎn)，求得0+500.0點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別以里程0+552.74、0+577.74為起點(diǎn)計(jì)算驗(yàn)證緩和曲線(xiàn)及圓曲線(xiàn)上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

與分別運(yùn)用直線(xiàn)段、緩和曲線(xiàn)段、圓曲線(xiàn)段計(jì)算坐標(biāo)的計(jì)算公式所計(jì)算的結(jié)果完全相同。

六、結(jié)論

本文利用的式（10）是計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。當(dāng)曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)半徑較小時(shí)，為保證點(diǎn)位計(jì)算精度，n（即程序中m的1/2倍）的取值可適當(dāng)?shù)拇笮?/p>

利用上例驗(yàn)算的計(jì)算結(jié)果可以說(shuō)明該程序?qū)τ诠返闹本€(xiàn)段、緩和曲線(xiàn)段、圓曲線(xiàn)段均實(shí)用。上例在計(jì)算圓曲線(xiàn)起點(diǎn)（0+577.74）參數(shù)時(shí)，可利用計(jì)算緩和曲線(xiàn)終點(diǎn)（0+577.74）坐標(biāo)后，在計(jì)算器中提取x、y的數(shù)值即為圓曲線(xiàn)起點(diǎn)坐標(biāo)值，提取r加360即為圓曲線(xiàn)起點(diǎn)方位角。且程序中已算出待測(cè)點(diǎn)至測(cè)站的平距和方位角，可利用全站儀自由設(shè)站極坐標(biāo)法放樣，此方法放樣速度快，準(zhǔn)確率高。

參考文獻(xiàn)：

[1]李孟山，李少元.計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的復(fù)化辛普森公式.測(cè)繪通報(bào)，2000.

[2]卡西歐fx-4500p計(jì)算器說(shuō)明書(shū).