解題思路發(fā)現(xiàn)和范疇間辯證關(guān)系
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眾所周知，唯物辯證法的范疇是我們認(rèn)識事物的科學(xué)的思維形式．唯物辯證法的每一對范疇都是對立的統(tǒng)一．它們一方面相互對立，另一方面又相互依存、相互貫通和相互轉(zhuǎn)化．恩格斯指出，數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式．?dāng)?shù)學(xué)與唯物辯證法的這種天然聯(lián)系，使得范疇間的辯證關(guān)系成為我們解決數(shù)學(xué)問題時發(fā)現(xiàn)解題思路的主要線索．本文試對解題思路的發(fā)現(xiàn)與范疇間辯證關(guān)系的聯(lián)系作一初步探索，希望對教學(xué)有所幫助．
一、對偶范疇間相互對立關(guān)系的啟迪
思維的定勢與慣性，是影響解題思路的重要因素．根據(jù)問題的具體情況與個人的思維習(xí)慣，當(dāng)我們從某一角度觀察問題或從某一角度入手探索問題而陷于困境時，想到對偶范疇間的辯證關(guān)系，轉(zhuǎn)而從原來思維的對立方面著手考察、分析，則往往尋找到柳暗花明的新境地．
例1設(shè)a＞b＞c．求證：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2．
分析與證明：由不等式兩邊的特征與聯(lián)系想到運用比較法．證題的關(guān)鍵在于差式（a2b＋b2c＋c2a）－（ab2＋bc2＋ca2）的變形．
變形1．差式＝（a2b－ca2）＋（b2c－ab2）＋（c2a－bc2）
＝a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）．
至此，似乎無路可走．
變形2．差式＝（a2b－ab2）＋（b2c－bc2）＋（c2a－ca2）
＝ab（a－b）＋bc（b－c）＋ca（c－a）．
如此，仍然重蹈復(fù)轍．
變形3．差式＝（c2a－ab2）＋（a2b－bc2）＋（b2c－ca2）
＝a（c2－b2）＋b（a2－c2）＋c（b2－a2）．
如此，仍未走出“怪圈”．
以上對差式“均勻分組”的嘗試均未成功．在反思與尋覓中，受范疇間相互對立關(guān)系的啟發(fā)，想到對差式作“不均勻分組”的變形．
證法1．差式＝a2b＋（b2c＋c2a）－（ab2＋a2c）－bc2
＝b（a2－c2）＋（b2＋ac）（c－a）
＝（a－c）［b（a＋c）－（b2＋ac）］
＝（a－c）（a－b）（b－c）＞0．
∴原不等式成立．
探索初解為什么受阻，可以說過分“對稱”組合是解題陷入困境的原因之一．在差式的對稱結(jié)組中，不對稱的條件a＞b＞c難以發(fā)揮作用．于是，再由范疇間的相互對立，想到差式的“不對稱”結(jié)組．
證法2．差式＝（a2b－ab2）＋（b2c－ca2）＋（c2a－bc2）（有意避開對稱結(jié)組）
＝ab（a－b）＋c（b2－a2）＋c2（a－b）
＝（a－b）［ab－c（a＋b）＋c2］
＝（a－b）（b－c）（a－c）＞0．
∴原不等式成立．
再尋初解受困的緣由，除了對稱（均勻）結(jié)組的思維習(xí)慣，更重要的是自身思維的狹隘--局限于孤立考察各組的表面形式．于是對由范疇間的相互對立，想到尋覓各組之間的內(nèi)在聯(lián)系，諸多新解法由此產(chǎn)生．
證法3．由上述變形1得
差式＝a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）
＝a2（b－c）－b2［（a－b）＋（b－c）］＋c2（a－b）（刻意溝通與前后兩組的聯(lián)系）
＝（b－c）（a2－b2）＋（a－b）（c2－b2）
＝（a－b）［（b－c）（a＋b）＋（c2－b2）］
＝（a－b）（b－c）（a－c）＞0．
∴原不等式成立．
其他證法從略．二、對偶范疇間相互依存關(guān)系的點撥
在數(shù)學(xué)中，“加”與“減”，“直”與“曲”，特殊與一般，孤立與聯(lián)系……這每一對范疇的雙方相互依存，或明或暗地共處于同一問題的解題過程之中．因此，當(dāng)我們從范疇的某一方入手問題未能（或取得）突破時，還應(yīng)想到從范疇的另一方入手再行考察與求索．對范疇雙方顧此失彼的思維上的偏頗，是解題陷入困境或出現(xiàn)疏漏的重要原因．
例2過拋物線y＝x2的頂點O任作互相垂直的弦OA、OB，分別以O(shè)A、OB為直徑作圓，并設(shè)兩圓的另一交點為C，求C點的軌跡方程．
分析與解答：循著求動直（曲）線交點軌跡方程的一般思路，設(shè)A（x1，x12），B（x2，x22），C（x，y），由OA⊥OB得
x1x2＝－1．①
以O(shè)A為直徑的圓的方程為
x（x－x1）＋y（y－x12）＝0，即
x2＋y2－x1x－x12y＝0．②
同理，以O(shè)B為直徑的圓的方程為
x2＋y2－x2x－x22y＝0．③
至此，欲消參數(shù)x1、x2，探索中容易想到兩式相減．
②－③，得x1＋x2＝－x/y．④
下一步如何動作？至此往往陷入困境．此時，循著辯證思維的途徑，由加與減的相互依存，想到再考察②、③兩式相加，則局面由此打開．
解法1．②＋③，得2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－（x12＋x22）y＝0，
2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－［（x1＋x2）2－2x1x2］·y＝0．⑤
將①、④代入⑤并整理，得
x2＋y2－y＝0（y≠0）．
故C點的軌跡方程為
x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．
事實上，當(dāng)我們孤立考察動圓的方程而導(dǎo)出②、③兩式后，根據(jù)范疇間的相互依存關(guān)系，可轉(zhuǎn)而去尋覓兩圓方程間的內(nèi)在聯(lián)系．這種聯(lián)系一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，新的解法便隨之產(chǎn)生．
解法2．注意到這里y≠0，考察②、③兩式的聯(lián)系，知x1、x2是二次方程yt2＋xt－（x2＋y2）＝0的兩實根，由韋達(dá)定理得x1x2＝－（x2＋y2）/y．⑥
于是由①、⑥得C點的軌跡方程為
x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．
“直”與“曲”是辯證的統(tǒng)一．面對所給的曲線問題，分析問題的特殊性，發(fā)掘問題中與曲線相互依存的直線．這樣的直線一經(jīng)揭露，化“曲”為“直”的解法便應(yīng)運而生．
解法3．由圓的性質(zhì)知AC⊥OC，BC⊥OC．
∴A、B、C三點共線，且OC⊥AB．
設(shè)過點O且垂直AB的直線為l，則C點的軌跡即為動直線AB與l的交點的軌跡（化曲為直）．
kAB＝x1＋x2，直線AB的方程為y－x12＝（x1＋x2）（x－x1）．
以①代入上式得y－1＝（x1＋x2）x，⑦
又直線l的方程為y＝（－1/（x1＋x2））x．⑧
⑦×⑧并整理，得x2＋y2－y＝0（y≠0）．故C點的軌跡方程為
x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．
三、對偶范疇間相互貫通關(guān)系的誘導(dǎo)
分析問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)．分析的方法就是辯證的方法（語）．范疇間相互貫通的辯證關(guān)系，為解題思路的發(fā)現(xiàn)提供線索，為數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換變通提供依據(jù)．其中，特殊與一般是最為重要的一對范疇．就認(rèn)識的過程來說，人們總是從事物的特殊性入手去認(rèn)識事物的一般性，而當(dāng)人們掌握了事物的一般屬性之后，又能以一般性為指導(dǎo)去認(rèn)識尚未認(rèn)知的其他特殊性質(zhì)．人們對事物的認(rèn)識由此一步步引向縱深．
例3對于二次曲線Ck：x2/（9－k）＋y2/（4－k）＝1，證明：任取平面上一點（a，b）（ab≠0），總有Ck中一個橢圓和一個雙曲線通過．
分析（特殊探路）：取點（1，1）代入Ck并整理，得k2－11k＋23＝0，解得
k1＝（11－）/2∈（－∞，4），
k2＝（11＋）/2∈（4，9）．
由此可知，對于k＝k1，Ck表示橢圓；對于k＝k2，Ck表示雙曲線．
至此，便探知本題解題思路：
（1）取點（a，b）（ab≠0）代入Ck并整理，得
f（k）＝k2＋（a2＋b2－13）k＋（36－4a2－9b2）＝0；
（2）證明f（k）＝0的一根在（－∞，4）內(nèi)，而另一根在（4，9）內(nèi)，即證f（4）＜0，f（9）＞0．（證明從略）
注意到特殊與一般的辯證關(guān)系，當(dāng)由問題本身難以推出所需結(jié)論時，不妨主動“升級”，轉(zhuǎn)而研究關(guān)于原命題的更具一般性的命題．這樣的命題一經(jīng)解決，便如登高眺遠(yuǎn)，解題環(huán)節(jié)與問題本質(zhì)縱覽無余．于是，求解原來的問題便可居高臨下，一蹴而就．
例4已知M（x1，y1）、N（x2，y2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上兩點．設(shè)甲：y1y2＝－p2；乙：直線MN經(jīng)過拋物線的焦點F．那么甲是乙的____條件．
分析：由課本P．101第8題知，甲是乙的必要條件．由于條件的充分性難以判斷，故轉(zhuǎn)而考察更為一般的問題：經(jīng)過拋物線y2＝2px（p＞0）的軸上一點Q（a，0）（a＞0）作拋物線的弦MN，尋找M、N兩點縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系．
設(shè)直線MN的方程為y＝k（x－a），①
①代入y2＝2px，得y2－（2p/k）y－2pa＝0．②
由②得y1y2＝－2pa．
此此易見y1y2＝－p2a＝p/2點Q即焦點F．故甲是乙的充分條件．于是可知甲是乙的充要條件．
四、對偶范疇間相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的運用
解題過程是一系列的轉(zhuǎn)化過程，其中，范疇間由此及彼的相互轉(zhuǎn)化，乃是這一系列轉(zhuǎn)化中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．有關(guān)事物的定義、定理和性質(zhì)是完成這種轉(zhuǎn)化的橋梁，變量替換則是以量變促發(fā)質(zhì)變的基本手段．循著范疇間的辯證關(guān)系思考問題，東方不亮西方亮，南方受阻有北方，使我們得以左右周旋，轉(zhuǎn)換變通，從而避繁就簡，化生為熟，發(fā)現(xiàn)令人滿意的解題思路．
例5已知A（4，0）、B（2，2）是橢圓x2/25＋y2/9＝1內(nèi)的點．M是橢圓上的點，求｜MA｜＋｜MB｜的最值．
解：這里a＝5，b＝3，c＝4，A（4，0）即橢圓右焦點F2．由于這一和式的最值難以尋覓，考慮將“＋”向“－”轉(zhuǎn)化．
由橢圓定義得｜MF1｜＋｜MF2｜＝10．
∴｜MA｜＝10－｜MF1｜（F1為橢圓左焦點），
∴｜MA｜＋｜MB｜＝10＋（｜MB｜－｜MF1｜），（完成“＋”向“－”的轉(zhuǎn)化）
∵｜MB｜－｜MF1｜≤｜BF1｜＝2，
∴｜MA｜＋｜MB｜≤10＋2（當(dāng)且僅當(dāng)M為直線F1B與下半橢圓的交點時等號成立），
∴｜MA｜＋｜MB｜的最大值為10＋2．
同理可得｜MA｜＋｜MB｜的最小值為10－2（當(dāng)且僅當(dāng)M為直線F1B與上半橢圓的交點時取得）．
例6已知0＜x，y，z＜1，且x＋y＋z＝2，求證：1＜xy＋yz＋zx≤4/3．
分析與證明：根據(jù)題意，設(shè)x＝1－a，y＝1－b，z＝1－c，則有a，b，c∈（0，1），且a＋b＋c＝1．
∴xy＋yz＋zx
＝（1－a）（1－b）＋（1－b）（1－c）＋（1－c）（1－a）
＝3－2（a＋b＋c）＋（ab＋bc＋ca）
＝1＋（ab＋bc＋ca）＞1．①
至此，上述問題轉(zhuǎn)化為人們所熟悉的問題：
已知正數(shù)a、b、c，且a＋b＋c＝1．求證
ab＋bc＋ca≤1/3．（化生為熟）
此時注意到3（ab＋bc＋ca）－1
＝3（ab＋bc＋ca）－（a＋b＋c）2
＝ab＋bc＋ca－a2－b2－c2
＝－（1/2）［（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2］≤0，
∴ab＋bc＋ca≤1/3．
于是由①得xy＋yz＋zx≤4/3．②
綜合①、②便證得1＜xy＋yz＋zx≤4/3．
