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【關鍵詞】 立意分析;高中數學;課堂教學;評價研究
高中數學的立意在某種程度上體現在教師對學生的理解以及對數學內容的理解方面,從數學立意的基本視角來看,立意分為“能力立意、知識立意與人文立意”三大模塊,也就是數學知識的教學在這三種基本立意的視角下,提升高中數學課堂教學評價水平.知識立意在于學生的基礎知識能力,而能力立意著眼點在于對學生的數學思辨能力以及邏輯能力,與前兩者不同,人文立意要通過發揚新課改精神,讓學生感受到知識學習過程中的快樂,因此,本文基于立意分析的視角對高中數學教育課堂評價研究,通過課堂教學環節的設計,構建一種全新的課堂教學評價標準.
一、基于立意分析的高中數學課堂教學案例設計
通常情況下,在高中數學的學習中,教師和學生都會采用邏輯推理或者演繹歸納等常用的數學解題思路進行教與學的實踐,但是在這過程中教學方式以及教學的效果缺少一種有效的評價機制,學生是否對知識已經深刻掌握,理解是否充分徹底,在這個評價過程中顯然與數學立意有機聯系在了一起,前者是基于學生能力立意,而后者是基于學生在學習過程中的人文立意,因此,在具體的教學過程中教師可以通過三個不同的立意維度,對不同能力的學生進行針對性設計教學,比如,在講到高中學生難以理解的數列知識點時,可以通過如下例題:
通過上述兩次例題的設置,教師可能會收到學生的不同反饋,隨著問題的由淺入深,在反饋信息的評價中,教師就可以通過適當插入一種“人文性”的教學解題暗示,關注學生的解題經歷和其中的思維動手、動腦樂趣,在知識的獲取中上升到了“人文立意”,從而不斷激發學生的創造性思維.
二、基于立意分析的高中數學課堂教學評價分析
上述基于立意分析的高中數學課堂教學案例研究中,分別對學生經過了“知識立意、能力立意、人文立意”三個不同維度的層次分析與構建,從而通過教學情境的引入,基本知識的學習,具體數學方法的應用與學生的深化理解幾個不同的學習境界,在此基礎上需要對學生的知識掌握情況進行深入的教學效果評價.
首先是通過教學認知基礎契合度的評價,發現在上述案例中,兩次的教學設計均基于同一個知識點――數列,但是卻收到不同的學習反饋,究其原因,學生的知識結構存在差異,也就是“知識立意”不同,因此,學生在對數列的歸納、變形以及邏輯推理、猜想、驗算等實施過程中就會呈現出很大的差異,由于邏輯數列的歸納演繹比較抽象,所以在由“知識立意”向“能力立意”上升轉化過程中,學生的基礎知識相差較大,導致呈現出了不同的教學反饋評價,對此,在教學中教師應該找尋學生之間、學生與教師之間的認知基礎契合點,教師在充分了解學生能力的基礎上接近學生,從“人文立意”出發,追求教學案例情境設計的合理性與科學性,既不偏離學生的學習認知區,也不回避學生“能力立意”的有效激發點.
其次,教師在問題的設置上要具有典型性,比如在上述案例分析中教師要讓學生嘗試從基本數列的思維邏輯進行證明、推理,從而激發學生的學習探索樂趣,在實際的解題過程中要體現出層次漸進性,通過歸類、類比以及聯想等方式將上述不同問題規范、分層、有效、科學解決,在上述案例中由淺入深,很好地體現了教學設計的層次性.
結束語
[關鍵詞] 推理能力;發展;提問設計;能力的培養
一、 初中生推理能力的發展具有如下特點
1. 初中生的合情推理能力隨年級的升高呈現緩慢增長趨勢。
在新課程實施過程中,初中生的合情推理能力得到了一定的發展。原因主要在于:一是目前使用的新教材有利于合情推理教學;二是教師的教學觀念的轉變,對新課程的理念有了一定的體會。三是中考試題的導向作用。從最近幾年各地的數學中考題來看,各地都比較重視對合情推理能力的考查,比如讓學生尋找規律,提出猜想等,因此教師在教學中比較重視對合情推理能力的培養。
隨著學生知識量的增加,猜想能力隨年級的升高而呈現增長的趨勢。由于教師在整個初中階段都注重了對合情推理能力的培養,使得各年級之間的合情推理能力高低差異并不明顯,因此初中生的合情推理能力隨年級的升高增長呈現緩慢趨勢。
2.初中生的演繹推理能力隨年級的升高而快速增長。
一是學生隨著年齡的增長,思維的發展日趨成熟,思維更加趨于抽象化、形式化,演繹推理能力的水平將得到提高;二是學生演繹推理能力與其自身基礎知識與基本技能的掌握程度是成正比的;三是從教材的編排來看,符合學生的認知發展規律。所以初中生的演繹推理能力隨年級的升高呈現出快速增長的趨勢。
3. 初中生缺乏檢驗反思能力。
通過多年的教學,總結出多數學生欠缺檢驗反思能力。甚至有些學生不懂得如何檢驗,能夠進行檢驗并進一步進行推廣的學生寥寥無幾。
二、仔細設計問題,激發學生猜想數學猜想是數學研究中合情的推理,是數學證明的前提
只有對數學問題的猜想,才會激發學生解決問題的興趣,啟迪學生的創造思維,從而發現問題、解決問題. 數學猜想是在已有數學知識和數學事實的基礎上,對未知量及其規律做出的似真判斷,是科學假說在數學的體現,它一旦得到論證便上升為數學理論. 牛頓有一句名言:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發現.”數學家通過“提出問題―分析問題―作出猜想―檢驗證明”,開拓新領域,創立新理論. 在中學數學教學中,許多命題的發現、性質的得出、思路的形成和方法的創造,都可以通過數學猜想而得到. 通過猜想不僅有利于學生牢固地掌握知識,也有利于培養他們的推理能力。
數學教學中對學生進行合情推理能力的培養,對于我們教師,能提高教學效率,增加課堂教學的趣味性,優化教學條件,提升教學水平和業務水平。對于學生,它不但能使學生學到知識,會解決問題而且能使學掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法。
三、初中生數學推理能力的培養策略
1.在教學中培養良好的推理風氣。
推理能力的發展不同于一般知識與技能的獲得,它是一個緩慢的過程,這種能力往往不是老師教會地,更多的是學生自己“悟”出來的。因此教師應在班級中培養良好的推理風氣,讓學生在數學學習的過程中發展自己的推理能力。
2.培養學生提出數學猜想的能力。
教學中營造民主氛圍,讓學生敢于猜想。營造和諧民主、生動活潑的學習氣氛能使學生的精神振奮,思維活躍,學生才可能無拘束地去猜想。當學生猜想時,不能因為學生講不清其中的道理而指責學生“瞎猜”、“胡說八道”,而應該耐心地傾聽他們的發言,對于他們猜想中的合理成分要給予充分地肯定,同時要容忍學生因一時的“發現”或“成功”而出現短暫的“忘乎所以”,這樣學生就不會有所顧慮,遇到新問題時便敢于猜想。
3.滲透邏輯推理知識。
教師在指導學生循序漸進地學習數學基礎知識的同時,適時地介紹有關邏輯的基本知識,要求學生有意識地去領會、理解并逐步掌握這些邏輯思維的基本形式和方法,保證思維的正確性和合理性。這樣還可以使學生加深對己學過概念、命題、方法的理解,有利于今后的學習。例如,結合教學內容,適時地介紹概念定義的方式、概念的正確分類方法、推理與證明的規則等,就可以防止學生出現邏輯錯誤,逐步提高邏輯思維能力。
4.提高學生反思的能力。
荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出:反思是數學思維活動的核心和動力。對自己的數學活動過程進行反思和自我調節實際上是一個獨立思考、推理的過程。因為“跳出來”審視自己的活動,需要綜合考慮,嚴密思考,本質上就是一個分析、推理的過程。因此在教學中教師要注意培養學生的反思和調節能力,以提高學生的推理能力。在培養學生反思能力方面,教師要重視引導學生做到課堂上反思、課后反思、單元小結反思,引導學生通過“反思型數學日記”訓練學生的反思習慣,在教學中要注意收集和總結學生在數學活動中發生錯誤的典型材料,在教學中有針對性地設計反思性問題,并鼓勵學生現身說法,開展積極的評論和研討等。
1 引導學生認識初中幾何教學的重要性
中學數學教學大綱明確指出:初中數學教學目的是使學生掌握幾何的基礎知識和基本技能,進一步培養運算能力、發展邏輯思維能力和空間觀念。大綱還特別指出:發展學生的思維能力是培養能力的核心。初中幾何的教學目的:掌握初中幾何的基本知識,以及應用這些知識解決有關幾何計算和有關幾何作圖的基本技能;培養與發展學生的由實踐到理論、由具體到抽象以及進行推理論證的邏輯思維能力;培養與發展學生的觀察、想象與表達幾何形象的空間想象能力。由此可見,發展思維能力在整個中學數學教學中占有非常重要的地位。什么是邏輯思維能力呢?就是根據正確思維規律和形式,對數學對象的屬性進行分析、綜合、抽象、概括、推理證明的能力。邏輯思維能力是所有基本能力的核心。幾何知識必須按一定的邏輯順序編排,即利用前面所學的圖形知識(概念、公理、定理)通過邏輯推理得到新的圖形及性質(概念、公理、定理),這種邏輯關系本身就是發展學生邏輯思維能力的極好教材,只有認清并高度重視幾何的這種獨特作用,搞清傳授知識與發展能力的關系,才能把培養學生的邏輯思維能力更好地落實在幾何教學中。
2 引導學生學習初中幾何的興趣
愛因斯坦說過:興趣是最好的老師。古今中外的學者之所以走向科學的殿堂,正是由于他們對科學產生了濃厚的興趣。因此,在幾何教學中,要注意以下幾點:①高度重視幾何導言課的教學,精心設計并以極大的熱情備好、講好導言課,使學生產生一種要學好幾何的良好愿望,這對培養學生學習興趣起奠基作用。②要善于挖掘教材的實質,聯系學生感興趣的生活原型,使抽象的幾何知識變得具體形象,從而激發學生的求知欲。③配合教材內容介紹中外數學家在幾何方面的成就,使學生了解有關的數學史知識,使他們把幾何學習與祟高的理想結合起來,以此激勵學生的學習興趣,使學生興趣化為主動學習的內驅力。
3 引導學生注意初中幾何入門的學習
幾何的入門教學,就內容而言,一般指幾何的基本概念、相交線、平行線和三角形這三章,現行初中幾何教材的這三章的內容已涉及概念、命題、推理論證、作圖等幾何作圖的基本問題。這些內容既是入門教學的重點又是難點。因此,形成初中幾何入門難的主要原因是:①學科內容從代數到幾何發生了由數到形、由計算到推理的轉變,學生一時難以適應。②幾何的入門概念多,而學生開始又不能正確理解和掌握幾何語言。③教學方法不適應,教師駕馭教材的能力較差。為了解決初中幾何入門難的問題,人們已做了許多有益的探討,并取得了一定的成效。充分重視幾何入門的教學,根椐教材內容與學生的實際定出幾何入門教學的整體計劃及具體措施,是解決入門難的前題;選用符合幾何認識規律的教學方法,適當放慢進度,分散難點,逐步提高要求是入門教學階段的原則;加強幾何概念教學,注重幾何語言訓練與數學思想方法的教學,是搞好幾何入門教學的有效途徑。
4 把現代教學手段引入幾何教學
4.1 老師要精心設計課堂的導入。導入新課,是課堂教學的重要一環。“好的開始是成功的一半”,運用電教媒體導入新課,可有效地開啟學生思維的閘門,激發聯想,激勵探究,使學生的學習狀態由被動變為主動,使學生在輕松愉悅的氛圍中學到知識。
4.2 老師要精心制作課件。由于多媒體形象具體,動靜結合,聲色兼備,所以,恰當地加以運用,可以變抽象為具體,調動學生各種感官協同作用,解決教師難以講清,學生難以聽懂的內容,從而有效地實現精講,突出重點,突破難點,取得傳統教學方法無法比擬的教學效果。
關鍵詞:初中數學;習題教學;錯因分析;應對策略
美國數學家波利亞指出:“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練?!苯忸}是數學教學活動中最基本的活動形式,無論是概念的形成、定理的掌握、公式的運用以及數學思想方法和技能技巧的獲得,還是學生智力的培養、能力的形成與發展,都離不開“解題”這一過程,同時教師也可以通過“習題”這一教學活動及時掌握學生的學習情況??梢姡曨}教學在數學學習中有著至關重要的作用。
一、習題教學在數學教學中的作用
數學習題是學習數學、教授數學、研究數學的必要途徑,在數學學習中發揮著十分重要的作用。
(一)通過習題,引導教與學
習題是傳授知識、鞏固知識、培養能力、提煉數學思想與方法的載體,具有很強的導向作用,在教學中有力地引導著教與學。
(二)通過習題,學習數學的基本知識
通過習題,形成的必要技能、技巧,這也是數學習題的首要任務。
(三)通過習題,可以培養學生的數學思想和方法
數學的最終目的是讓學生形成一種數學素養和能力。數學素養的高低主要體現是否能“數學地看問題”和“數學地思維”。
(四)通過習題,培養學生良好的思想品德和個性心理素質
二、不同習題類解題中的錯誤原因
學生在解題中經常出現各種原因導致不能正確地得出結論,對錯誤進行分析,有利于降低錯誤發生的幾率。筆者根據教學出現的錯誤情況,總結如下:
(一)求解題中錯因分析
1.知識混淆,理解偏差,導致錯誤
數學學習中,由于對數學概念、定理、公理、公式、法則等知識出現混淆,或出現知識遺忘,從而造成理解上的偏差,出現錯誤。
【習題1】2m=a,2n=b,用a,b表示2m+n。
錯誤解題:2m+n=a+b。
分析:對于同底數冪的乘法法則模糊,而此題是公式的逆用,am+n=aman(m,n為正整數)。正確的解是:2m+n=2m?2n=ab。
2.運算能力差,導致計算錯誤
初中數學學習中,很多學生把精力放在思維能力的培養方面,而忽視對運算能力的訓練,導致一算就錯。如,在方程式解決實際問題中,列出了正確的方程,卻在解方程時出現錯誤,導致前功盡棄。
(1)忽視范圍,導致錯誤
【習題2】a為何值時,關于x的分式方程■=2的解為正數。
錯誤解題:
去分母得出:x=■
■=2的解為正數
■>0,a>-10
分析:忽視了分式自身所隱含的條件(分母不為0),從而導致錯誤的出現。正確的答案應是:a>-10且a≠0。
(2)分類不當,導致錯誤
討論是一種重要的數學思想,也是一種重要的解題策略,在初中數學學習中占有很重要的位置,但是分類時常常忽視影響分類的關鍵點和分類原則。
(二)證明題中錯因分析
1.作圖不當,導致錯誤
圖形可以把復雜抽象的數學內容形象化、條理化,在初中數學教學中,培養學生的畫圖能力,對于幫助學生理清思路,找到解法、促進知識系統化有著很重要的意義,尤其是在幾何證明題中。但是在實際解題中,部分學生常常由于作圖不當,造成解題錯誤。
2.推理不嚴謹,導致論證錯誤
運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力是數學的三大能力。在邏輯推理方面,部分學生在思考、處理、解決問題時,不能正確運用數學語言,合理使用概念,恰當地進行判斷,而出現錯誤。
3.論據錯誤,導致錯誤
證明題中,由于對數學概念、公理、定理、命題使用上的錯誤,導致整個證明過程的錯誤,也就是論據錯誤,導致結論錯誤。
三、應對策略
(一)審清策略
認真審題,收集全部信息,并對信息進行正確整合,形成正確習題解決的條件分析習慣。
嚴把條件,確定解題思路。首先粗略審題,有個大致了解;其次,精讀題目,明確題目明顯條件,又不遺漏不顯著條件;最后用自己的語言復述題意,使題意直觀化、形象化。這對于提高學生的分析能力、綜合能力和語言表達能力有很大的促進作用。
(二)分析策略
正確把握文字所反映的數量關系,讓學生經常復述題意,獨立找到已知量與未知量,做到熟悉題目和理解題目。
理清圖形的幾何特征,能夠熟練分析圖形至基本圖形,這是順利找到思路的有效途徑。
(三)聯系策略
廣泛聯想產生直覺,教師指導學生通過廣泛的聯系,迅速地局部推理。產生一種解題的思路,從而形成思路,把問題變為可能。如,見到梯形問題,就會想怎么轉化(平行四邊形、三角形、矩形、直角三角形、還是補成大三角形)。
抓住問題實質,弄清題目的條件,所求目標,抓住問題實質,形成準確的解題思路,有效解決問題。
總之,通過數學習題,可以發展學生的數學能力,加強學生的應用意識,形成數學思維習慣。因此,需要教師在教學中要引導學生不斷摸索習題的解題規律和解題策略,提高學生的數學素養。
(1)有助于培養學生語言表達能力、邏輯推理能力和良好的思維習慣。在案例教學中,學生必須要對案例進行獨立分析、歸納并且在課堂中要與教師有相關的互動。通過提問和討論環節,學生的語言表達、邏輯推理能力方面的要求尤為突出,否則學生就會是懂非懂。經過長期案例教學法的訓練,可以讓學生具備理性的思維方式。
(2)有助于培養學生的批判精神、創新精神。案例教學法注重的是學生批判精神與創新精神的培養,通過不斷追問、反問,對其回答的不斷否定而得出結論。此外,案例教學并沒有預設的、確定的結論,結論就是在學生與教師相互辯論之間形成的,結論也沒有標準的,此種教學法的目的不是學生的結論好壞,而是鍛煉其思維能力,有助于培養學生的創新精神。案例教學的作用是把每一個案例作為一種教學工具,使學生處于決策者的地位來思考和解決問題。通過獨立分析和他人之間的討論,讓學生學會針對不同的案例的情景擬定問題,并選擇出各種可能的方案,然后提出目標和決策標準,作出決策和制訂實施計劃。一個典型的案例可使課堂討論一直圍繞著真實生活中的棘手的問題來進行。在課堂討論中,學生之間以案例為對象進行分析和闡述,得出各種觀點和不同的思維方式。教師必須指導整個討論過程,更好的引導學生共同思考,互相質疑,若觀點有分歧,可以當場辯論。所以,案例教學這種模式對教學有很強的促進作用。
2案例教學的意義
案例就是一種教學目的的需要,首先是要對現狀進行仔細的調查,經過一定觀察分析,然后再對整個問題進行書面表達。案例教學就是運用案例進行教學實踐,與傳統的教學不同,不是以往的概念式的灌輸而改為學生自主學習,討論研究探索性的高效學習的一種開放性的教學模式。案例教學的意義可概括如下:
(1)運用案例進行教學,從傳統的灌輸模式轉變成了活學活用,不僅改變了教學方法更是改變了學生思考模式。把原來那種靜止、被動的課堂講授知識轉變成了學生與教師互動,更形象生動的傳達所必需的基本知識。傳統的教學模式忽視了真理形成的過程教學,從而導致學生學不深、學不懂、學不透、記不牢的現象,更可怕的是學生根本不會運用所學的基本知識去解決一些實際問題。