邏輯推理技巧

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邏輯推理技巧范文第1篇

關鍵詞：重視；講授；訓練；揭示

《初中數學新課程標準》告訴我們：“數學在提高人的推理能力和創造力等方面有著獨特的作用”.數學課堂是培養學生邏輯推理能力的主要陣地.那教學中應如何培養學生數學邏輯推理能力呢？應從以下幾方面入手.

一、重視概念，洞知原理

數學知識中的基本概念、基本原理和基本方法是數學教學中的核心內容.基本概念、基本原理一旦為學生所掌握，就成為進一步認識新對象，解決新問題的邏輯思維工具.

二、巧用邏輯，游刃有余

在數學教學中，結合具體數學內容講授一些必要的邏輯知識，使學生能運用它們來進行推理和證明.培養學生的推理能力，必須掌握邏輯的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本規律.教師應該結合數學的具體教學幫助學生掌握這些基本規律.要使學生懂得論斷不能自相矛盾，在同一關系下對同一對象的互相矛盾的判斷至少有一個是錯誤的；論斷不得含糊其詞，模棱兩可，在同一關系下，對同一對象的判斷或者肯定或者否定，不能有第三種情況成立.在數學證明過程中，必須步步有根據，每得到一個結論必須有充足的理由，這樣，學生在解答思辨性很強的題目時，就會游刃有余.

三、循序漸進 合理訓練

數學推理既具有推理的一般性，又具有其特殊性.其特殊性主要表現在兩方面.其一，數學推理的對象是數學表達式、圖形中的元素符號、邏輯符號等抽象事物，而不是日常生活經驗；其二，數學推理過程是連貫的，前一個推理的結論可能是下一個推理的前提，并且推理的依據必須從眾多的公理、定理、條件、已證結論中提取出來.數學推理的這些特性會給學生在推理論證的學習帶來困難.初一學生已初步掌握了普通邏輯的基本規律和某些推理形式，但必須依賴于生活經驗的支撐.例如，他們從“爸爸比媽媽高，媽媽比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的結論，但有些剛學習不等式的學生從“∠A>∠B， ∠B>∠C”的前提推得“∠C

1.說理練習，不可或缺.教師在教學.中要注意把運算步驟和理論依據結合起來.同時可以進行適當的說理性訓練，這樣做可以使學生在說理的過程中養成尋找理由、言必有據的習慣.

例如，某汽車公司的汽車票價為單程票票價4元，周票票價為36元，李老師每星期一三五要乘汽車上班，搭朋友的車回家.問李老師應該買周票嗎？請說明理由.

評析：該題目的是希望學生能說明一個清晰的推理過程中的依據.按照常規算法，李老師一個星期乘8次，買單程票需32元，而周票需36元，因此她不應買周票.但從另一個角度考慮，她也可以買周票.其理由是如果她周末外出乘車至少8元以上，那么買單程票總花費就多于36元，所以買周票能省錢.這種類型的訓練，可以從代數的運算過渡到幾何推理打下良好的基礎.

2.加強培養，推理技能.對于推理論證技能的培養，一般可分幾個階段有層次地進行.

（1）通過直線、線段、角等基本概念的教學，使學生能根據直觀圖形，言必有據地作出判斷.

（2）通過相交線與平行線以及三角形有關概念的數學，使學生能根據條件推出結論，能用數學符號寫出一個命題的條件和結論，初步掌握證明的步驟和書寫格式.

（3）在“全等三角形”學習之后，學生已積累了較多的概念、性質、定理，此時可以進行完整的推理論證的訓練.通過命題證明，逐漸掌握推理技能.

（4）在學生已初步掌握技能技巧的基礎上，通過較復雜問題的求證，幫助學生掌握尋找證明途徑的各種方法，以發展邏輯推理能力.

四、點撥到位 相時揭示

邏輯推理技巧范文第2篇

關鍵詞： 數學教學 能力遷移 認知能力 技巧能力 邏輯能力

學生的認識總是從初級到高級，直覺到形象，感性到理性，一般到特殊的認識過程，注意小學中已學的數學知識和中學將要新學的代數、幾何中知識點的內在聯系，是提高教學質量的一個不可忽視的重要方面。適應學生認知遷移的發展過程，使連續性思維和跳躍性思維達到和諧的統一，這樣才能進一步培養學生的分析能力和邏輯思維能力。

一、數學教學中認知能力的遷移

中小學雖然是兩個不同階段的教學，有著各自不同的教學目的、要求和方法，但它們是互相聯系的，前者是基礎，后者是深化。在教學中如何揭示中小學教材的內在聯系，充分發揮學生已有的知識優勢，使之有機上升產生正遷移，從而達到掌握新知識的目的，這就要求教師得花費一點苦心。所以在這章教學中要很好地將學生所學過的知識巧妙地遷移到現在的教學內容中。例如講到有理數：1.整數正整數/0/負整數，2.分數正分數/負分數；數軸：1.畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸。2.任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。3.如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點距離相等。4.數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大于0，負數小于0，正數大于負數。小學教材已有意識地滲透了初一代數的基礎知識，使學生能更好地由小學教材自然地遷移到現行教材中，把學生的思維帶到他們熟悉的知識中去，使他們覺得教學的內容有趣不陌生，并樂于參與。小學不完整的概念進行完善，不但知其然，而且知其所以然。這樣既培養了學生發散性思維，又滲透了抽象、概括的思想方法，取得使學生樂于鉆研，掌握牢固，印象深刻之功效。

二、數學教學中技巧能力的遷移

三、數學教學中邏輯能力的遷移

小學階段學生已經建立了幾何知識的表象，雖不完整，但給學生留下一定的印象，在初中教學中要充分注意利用。我們應根據學生的實際，逐步地培養他們推理論證的能力，由直覺思維到邏輯推理，對初學者來說是比較困難的，在幾何教學中應采用類比，遷移的方法。將代數運算步驟融入幾何推理論證過程中，學生就不難理解、掌握。

邏輯推理技巧范文第3篇

【關鍵詞】推理能力　數學教育　建議

《新課程標準》的“數學思考”目標中明確提出：“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”。在數學教育的過程中，培養學生的合情推理能力已經受到高度的重視，改變過去片面追求邏輯推理能力培養的做法。中科院院士、中科院數學與系統所研究員林群十分欣喜地對記者說：“中小學是打基礎的階段，數學要讓大多數學生都能掌握，要把數學變得容易一些，要把學生從單純的解題技巧和證明中解放出來，讓學生學習真正的數學。”數學專業的學生大學畢業后，絕大多數要從事中小學的數學教育工作，是未來中小學師資的主要來源。為此，數學教育專業學生的合情推理能力的水平將直接影響未來中小學數學教育目標的實現程度，本課題的研究對于未來中小學師資隊伍建設和培養以及師范院校的課程設置具有重要的理論和現實意義。

一、“合情推理能力”的內涵及重要性

波利亞的一個重要貢獻是提出了合情推理的概念，這種推理不同于演繹式的證明推理，而是基于歸納、類比、限定、推廣、猜測等思維活動所提出來的一種推理模式。通常的推理模式是A---B，A真則B真。而合情推理則反過來分析：A--B，B真則A更可靠。他還強調：合情推理的兩種基本形式是歸納和類比。關于合情推理的重要性波利亞認為：“一個認真想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證推理；這是他的專業也是他那門科學的特殊標志。然而為了取得真正的成就他還必須學習合情推理；這是他的創造性工作所賴以進行的那種推理。”我們從波利亞的觀點中可以看到合情推理能力在學生數學學習和研究過程中，特別是創造性工作所必不可少的一種能力。目前，由于學生在數學學習過程中正是由于合情推理能力的薄弱。制約了學生在數學方面的創造性。

二、數學教育專業學生“合情推理能力”的現狀

合情推理能力對于學生數學學習的作用至關重要，《新課程標準》在數學思考目標中又明確提出對其培養的具體要求，那么現在的師范院校高等數學教育專業的學生的合情推理能力的情況怎樣的呢?帶著這樣的問題，我自2005年至今，我一直對自己所任教的數學教育專業的學生在合情推理能力方面的現狀進行研究。每當自己擔任的數學教育學課程結業考試時，從波利亞的《數學與猜想》中選出兩個問題放在試卷中進行考查。雖然在平時講解過，可是在結業考試的卷面中，學生的解答不盡人意，90％的學生不能解答。這充分說明關于合情推理能力是數學教育專業學生的薄弱環節，這意味著將來他們走上教學工作崗位，必將制約著新課程目標的實現。因此，只有善于合情推理的老師才可能培養出善于合情推理的學生。

三、對數學教育專業學生的“合情推理能力”現狀的思考

由于我國1963年頒布的中國特色教學大綱中提出“雙基”(基礎知識、基本技能)和“三大能力”(基本運算能力、邏輯推理能力和空間想象能力)的培養，這個大綱中沒有培養學生的“合情推理能力”的要求，這個大綱的構建受蘇聯大綱的影響。當時蘇聯的教學大綱體現的是第三次數學高峰時期的數學觀和數學教育觀，第三次數學發展高峰時期(上世紀上半葉)的思潮是公理化、形式主義、“邏輯：數學”。也就是說中小學數學教師在數學教育中，受當時大綱的制約，沒有把培養學生的合情推理能力擺在突出的地位。

受儒家“考據文化”的影響，在西方數學文化進入我國時，從考據文化的層面，對西方數學文化進行了同化，即留下了其“邏輯”層面為考據所用。過濾掉了其“創新”層面。考據文化為西方數學的邏輯推理提供了舞臺。由于這種考據文化的遺傳，形成了我們國家的數學界在數學教育中非常重視對學生的邏輯推理能力的培養，而不重視合情推理能力的教學。

我國是一個受考試文化影響的國家，由于我國是高考低入學率的國家，由于職業教育發展滯后，導致學生初中畢業后的分流工作做的不夠理想，高考依舊出現“千軍萬馬過獨木橋”的局面，高考試題依舊是指揮棒。高考試題中考查“合情推理能力”的試題數量偏低，義務教育和高中階段的數學教師就不重視合情推理能力的培養，這不利于基礎教育階段對學生的合情推理能力的提高。

在師范院校的數學教育專業中，學生所學課程比較多。但是客觀上缺少有針對性的培養學生合情推理能力的課程，這也是制約師范院校數學專業學生合情推理能力的瓶頸。這樣不合理的課程設置，導致未來中小學教師隊伍具有較高的合情推理能力的師資的短缺，在很大的程度上制約新課程目標的實現。

四、培養學生合情推理能力的建議

要求中小學教師繼續深入進行《新課程標準》的學習，把握新課程的理念，樹立以計算機為標志的第四次數學發展高峰時期的數學觀和數學教育觀，解放思想，在數學教育過程中，用科學的數學教育觀指導數學教學，把合情推理能力的培養切實落實到數學教學設計和實踐中。

塑造新的數學課堂文化，教學中重視合情推理能力的培養，鼓勵學生大膽猜想，勇于猜想。培養學生的數學思考能力。教會學生先猜想再論證的習慣，把培養學生的合情推理能力和邏輯推理能力整合起來，統籌兼顧。

改革高考題題型，加大對合情推理能力的考查，運用高考指揮棒引領基礎教育階段的數學教育，形成基礎教育階段重視合情推理能力的新局面。只有這樣，在數學教育中才能提高學生的合情推理能力。

高等師范院校的數學教育專業，應根據新課程對教學所需要的教師的能力要求進行課程設置。增加學生合情推理能力的培養和訓練的課程，規定學生選修波利亞的著作和《新課程標準》，閱讀關于研究合情推理能力培養的相關書籍和論文等。

參考文獻：

[1]張莫宙，李俊，李世鑄，數學教育學導論，高等教育出版社，2003.

[2]中華人民共和國教育部，全日制中學數學課程標準(實驗稿)，北京師范大學出版社，2001.

邏輯推理技巧范文第4篇

關鍵詞：職教教材 機械制圖 調編軸測圖位置

中圖分類號：TH126-4 我作為任教《機械制圖》課近十年的專業課教師，在制圖教學的過程中，摸爬滾打多年，使用過多家出版社多版本多主編的《機械制圖》教課書。每當教到“軸側圖”這節時，總覺得這節放在“相貫體”與“組合體”之間有些突兀，好似平整的康莊大道上突然出現“地震”和“斷層”一樣。我也曾試圖查找各教科書如此編排的依據和合理解釋，可至今沒能如愿。更讓人感到困惑是難道各編委，各出版社，各教師沒感覺到此節放在此處的不妥？

1 把“軸測圖”這章節放在“相貫體”與“組合體”之間，他破壞了基本體，切割體，相貫體與組合體之間都屬于“體”的邏輯推理關系和系統性

搞機械類的教師都知道，《機械制圖》教科書，作為一門專業性的科學體系，在編排各知識點先后順序時，是存在邏輯推理規律的。針對“體”這章節各知識點的編排，也是遵循了由簡單到復雜，由淺到深，具有系統性這條規律的。

編者先由大家常見的“基本體”講起，符合大家的認知規律，因為基本體我們日常生活中到處都是，大家都有感性認識。教材這樣編排，利于教師講解三視圖的投影法則，也便于學生掌握三視圖的投影規律和繪制方法及技巧。隨后講解“切割體”，是在基本體上進行平面切割，是在學生完全掌握了基本體三視圖畫法基礎上的微量變化和延伸。基本體常見，平面也常見，用平面切割基本體得到切割體的物件在我們的日常生活中也常見，故學生學習切割體這個知識點，也是有一定的感知基礎的，是符合人們認知規律的，遵循了人們探究事物的規程。在弄明白了切割體這之后，讓人最易想到或最想知道的是，基本體與基本體的相交，故隨后講“相貫體”，便是情理之中的事情。在掌握了相貫體的知識之后，人們絕對首先想到或最想探究的是，基本體與切割體、切割體與相貫體、相貫體與基本體、以及切割體、相貫體等之間的疊加和組合，說簡單點，就是“組合體”的投影規律及其三視圖的繪制方法，這樣推理是符合我們大家正常的邏輯思維的，因為基本體，切割體，相貫體和組合體，都屬于“體”的范疇，理應編排在一起，這樣才便于教師系統地講解“體”的知識，學生學習“組合體”才有所歸屬感和系統性，更便于理解和掌握三維立體到二維平面轉繪時的規律和方法。

遺憾的是，編者把“組合體”放到了“軸測圖”之后。換句話說，在“體”這個有機體中插入了“軸測圖”，把“軸測圖”放在了“相貫體”與“組合體”之間，決不亞于在“體”這個完整的章節中出現了“地震”或“斷層”，把組合體與相貫體、切割體、基本體之間的邏輯紐帶給割斷了，讓人的思維出現了紊亂。這種破壞“體”之間的邏輯推理關系的編排，實為不妥，也是不妥。

2 把“軸側圖”這章節放在“相貫體”與“組合體”之間，打亂了整部書這個知識體系之間的邏輯推理聯系和系統性

《機械制圖》作為一門獨立的學科，具有完整的知識體系，各知識點之間的排序，具有不可置凝的邏輯推理聯系和系統性。我們可以跳出書外，宏觀地來把握和疏理一下整書的知識體系和脈絡，我們不難發現，此知識體系也是遵循了人們的認知規則的，由淺入深，從簡單到復雜，由一般到特殊，從點到面，漸近性地推理著和不斷地完善著這個“制圖理論”的完整性和系統性。

譬如：教材先從制圖的基本知識講起，涉及到繪圖工具及儀器的使用，圖紙圖幅的國際規定，比例、線條的規范使用及相關的幾何知識等等，這是因為這些基本知識是制圖前的最起碼技能。假如連這些最基本的技能就不具備，就去學制圖，那將是非常困難的。有了這些基本繪圖知識后，緊接著講“投影法”——正投影法的基本原理及其規律，才正式觸及到了《機械制圖》的實質，因為投影法是貫穿全書的總則，既是三維立體向二維平面轉換的法則，也是二維平面向三維立體轉換的總綱。僅講解這些理論性的知識是很難讓學生理解和掌握的，更是枯燥無味的，必須經過示例演練，才能得到充實和完善。故隨后講解點、線、面、體的投影，正是投影法在三維立體向二維平面轉換中的演練，在此演練中，是讓大家明白并掌握三維立體向二維平面轉換過程中應遵循的投影規律及繪制方法。摸清了三維立體向二維平面轉換的規律還是不行的，我們知道，任何規律性的東西，都是經得起舉一反三的事例來檢驗的，故而我們心中自然就會問，那二維平面如何向三維立體轉換呢？至此，水到渠成地講解軸測圖的知識，便是順理成章的事情了。實際上，《機械制圖》這門課的知識體系“主軸”到此已經成形，換句話說，學習這門課的目的已經達到，該掌握的理論我們已經擁有，該達到的技能我們已經具備，因為我們現在既可以把三維立體繪成二維平面了，也可以把二維平面轉繪成三維立體了。至于以后章節講的機件的表示法，常用件的特殊表示法以及零件圖，裝配圖，公差等知識點，都是在對這根“主軸”的補充，完善和修正。

遺憾的是，縱觀各出版社，各版本，各編委們出的《機械制圖》書，卻在這根“主軸”的構建過程中，把本該放在組合體之后講解的軸測圖，偏偏放到了相貫體與組合體之間，破壞了這根“主軸”的邏輯構建，我不知其故，也難解其故，因為軸測圖這章節，肩負著二維平面向三維立體轉繪的重任，放在貫體與組合體之間，不僅破壞了“體”這章節的邏輯推理順序，而且打亂了整部書的知識體系構建，似斷了“脊柱骨”的人，又何談健全和完美呢？

3 把“軸側圖”這章節放在“相貫體”與“組合體”之間，給教師教學和學生學習帶來了思維定式的混亂

我們知道，認知事物，把握規律，改造世界，針對每個人都是有一定的思維定式的。我們學習知識，也是一樣，符合我們思維定式的東西，非常便于我們接受和掌握，并會很快學以致用，達到終生不忘之效；而一些邏輯混亂的東西，很難讓我們接受、理解和掌握，甚而越學越糊涂，越學越沒興趣，其后果只能是讓我們不知所云，思緒混亂。

前面講了，軸測圖這章節放在相貫體與組合體之間，不僅破壞了“體”這章節的邏輯推理關系，而且打亂了整本書的知識體系。

作為傳授知識主導者的教師，面對如此混亂的編排教本，假如不加以調整和重組，就照本宣科的話，在講授此知識點時，不僅自已不知所云，心存疑惑，感覺不爽，總覺得前面講的知識與后面將講的知識之間失去了聯系，這無疑是對本來很清晰思維的沖擊和邏輯推理的挑戰。更重要的是，讓人產生本來走在平坦的大道上，神采飛揚，卻突然在路中出現了“窟隆”，在我們還沒緩過神來，就掉進了深淵的幻覺，那驚恐之狀就可想而知了。

作為學習主體的學生，面對老師就心存疑惑的編排學本，既無精彩故事情節的吸引，又沒順暢的邏輯推理聯系，本來學得就枯燥無味，甚而心煩意亂，好不容易在老師前面知識點的推理講解中悟出點清晰的學習思路，確定下學習制圖的思維定式，并嘗到點學習制圖的樂趣，假如教師遇到軸側圖這個夾在相貫體與組合體之間的知識點不進行調整，照本宣科的話，對于還處在微觀知識點的應付學習和摸索規律階段的學生來說，將是致命的一擊。剛構建起的思維定式將蕩然無存，學習興趣將倍受打擊。沒有了學習興趣，要想學好《機械制圖》這門機械類的基礎學科，是根本不可能的。連最起碼的圖紙就繪不出、看不懂，識讀不了圖紙，又怎能學好機械類的其它學科知識呢？

正是基于以上的原因，我深感《機械制圖》教科書調整“軸測圖”這章節位置的必要性。把“軸測圖”這章節調編到“組合體”之后，讓基本體，切割體，相貫體和組合體還原成一個整體，也讓《機械制圖》這部書的知識體系構建通暢，富有邏輯推理性，既利于我們講授，也便于學生掌握，對于激發大家學好機械類專業知識和技能的興趣無凝是有巨大促進作用的。

參考文獻

[1] 羅光秀.《機械制圖》（機械類通用）[M].武漢：華中科技大學出版社，2005，8.

邏輯推理技巧范文第5篇

【關鍵詞】直覺思維；數學悟性；直觀領悟；合情推理；類比聯想；頓悟靈感；嚴格證明

培養學生嚴謹的邏輯思維能力無疑是數學教育的“重頭戲”，但我們絕對不能因此而忽視“非邏輯”的直覺思維能力的培養.在以前歷次頒布的《高中數學教學大綱》中提到的均是“數學邏輯推理能力”的培養，可在《普通高中數學課程標準(實驗)》中，其中的“邏輯”兩字已被去掉，而是說成“培養學生的思維能力”，意味著已經將“非邏輯”的直覺思維能力的培養納入數學教育的目標之中，大大拓展了數學思維的外延，標志的是數學教育理念的發展和進步.

何謂“非邏輯”的直覺思維？著名特級教師黃安成先生在文［2］中將此種思維統稱為“數學悟性”，并指出其主要特征：“所謂數學悟性，就是指對數學對象及解決問題時的‘直觀領悟、合情推理、類比聯想、靈感頓悟’.”

1直觀領悟

數學主題通常都是由邏輯推理得到的，彰顯的是數學理性精神的光輝，理論上的嚴謹通達才能使人心理和諧順暢，且記憶牢固.但我們也發現，也有一些數學主題的獲得依靠的是直觀領悟，而不是嚴謹的邏輯推理.正如德國數學家克萊因說：“一個數學主題，只有達到直觀上的顯然才能說理解到家了.”這種理念在數學新課程、新教材中已得到充分的體現.

如兩個計數原理、排列組合公式、各種概率公式的推得，都是不嚴密的，但利用生活中獲得的數學經驗，從特殊到一般，從具體到抽象，學生都能達到直觀的理解.

《立體幾何》中的公理的出臺也都是基于“直觀上的顯然”.一些概念與定理，如直線和平面垂直的定義，只能利用具體的事物來導引學生形成和樹立.即便是定理，如直線和平面垂直的判定定理，過去的教材給出了嚴格的證明，但由于圖形復雜、方法生澀、推理繁冗，初學者很難達到透徹的理解和熟練的駕馭，屬于“吃力不討好”之舉，故新課程、新教材已將其刪去.在現在的教學中，充分運用直觀能力可使學生達到實質性的領悟.一條直線如果與平面內的一條直線垂直，當然不能判斷這條直線與這個平面垂直；但即使一條直線與平面內無數條直線垂直，也不能判斷這條直線與這個平面垂直，因為這無數條直線如果互相平行，那么它們只代表著一個方向，則只能“相當于一條直線”；但如果一條直線與平面內兩條相交直線都垂直，則可以判斷這條直線與這個平面垂直，這就叫做“線不在多，相交就行”.在“純理性”論持有者看來，這段話與邏輯思維毫不沾邊，“什么叫‘相當于’？不通！”可是學生絕對能懂，而且非常歡迎這種說法.

還有一個更典型的案例，即“導數”的教學.從直線的斜率到函數的平均變化率、函數的瞬時變化率，再到導數概念的最終出臺，我們何曾見到一點邏輯思維的痕跡？下面的教學片段頗具說服力：

圖1

教者首先帶領學生回顧“平均變化率”的概念，函數y=x2在區間［1，1+a］上的平均變化率，即對應的曲線割線的斜率.如圖1(多媒體課件配合)，當a的值依次為0.1，0.01，0.001，…時，割線的斜率依次為2.1，2.01，2.001，…我們發現了一種奇妙的規律，即當a的值越來越接近于0時，割線的斜率就越來越接近于切線的斜率2.這不應是偶然的吧？需對一般情形進行探討：

設曲線C：f(x)=x2上的點P(1，f(1))，Q(1+a，f(1+a))，則割線PQ的斜率為

k割=f(1+a)-f(1)(1+a)-1=(1+a)2-1a=2+a.

那么當a的值無限趨近于0時，2+a無限趨近于2，即k割就無限趨近于k切，可概括為a0，則1+a1，2+a2，QP，k割k切.

更一般地，設曲線C：y=f(x)上的點P(x0，f(x0))，Q(x0+Δx0，f(x)+Δx0)，那么割線PQ的斜率為

k割=f(x0+Δx0)-f(x0)(x0+Δx0)-x0=f(x0+Δx0)-f(x0)Δx0.

則當Δx00時，k割k切，就將k切叫做函數y=f(x)在x=x0時的導數.

這里的“越來越逼近”“無限逼近”“最逼近”等規律都不是通過嚴謹的邏輯推理得到的，而是借助于生動、具體、形象的畫面，使學生的大腦產生“內化”效應，漸漸地領悟其實質，這種“內化”就是直觀領悟的反映.

再說一個反面的教學案例，某教師在“數學歸納法”的教學中，試圖用“高觀點”來統領教學，即用極嚴謹的推理方式來闡釋數學歸納法的理論基礎與淵源，甚至將最小正整數、無窮大等高深理論引進課堂，結果弄巧成拙、事與愿違，學生只能是一頭霧水.這節課名副其實地歸入“廢品”之列.

正面的經驗和反面的教訓使我們深刻地體會到嚴謹的邏輯思維不是萬能的，也不是隨時和隨處可見的，學生的思維能力中絕對地包含直覺思維能力.

2合情推理

合情推理與直觀領悟有一定的內在聯系，但也有自身的特征，那就是雖具有一定的推理成分，但卻沒有完整的邏輯推理鏈條，而具有簡約、跳躍、猜測等特點.如前所述，在建構知識和技能的過程中需要合情推理，在解答填空、選擇題中更需要合情推理.對于解答題，雖然最后的表述需要的是一絲不茍、滴水不漏的推理過程，但在形成思路、確定目標的探索、嘗試、構思、檢索、猜想、突破、檢驗、辨誤等過程中卻離不開合情推理.英國哲學家、數學家休厄爾說：“若無大膽放肆的猜測，一般是作不出知識的進展的.”將合情推理提升到“大膽放肆”的層面，可見合情推理的不可低估的作用.

圖2

如在“補集”的教學中，通過教師的引導，學生在深刻領悟圖2含義的基礎上，很快順理成章地理解知識的本質并得到“補集”的所有性質：

這類通過合情推理實現知識的順應與同化的例子比比皆是，因此充分利用合情推理的強大功能是在數學教學中實現節時高效不可或缺的良策.

圖3

例1如圖3，過點P(0，3)的動直線l交橢圓x29+y24=1于不同的兩點A，B，若A位于P和B兩點之間(不含P，B)，設|PA|∶|PB|=λ，求λ的取值范圍.

此題原有的解法極其繁冗，可在課堂上竟有學生給出令人驚愕的簡捷解法：

當直線l與x軸垂直時，|PA|=1，|PB|=5，則λ=15.

如果直線l與橢圓相切，設切點為M，此時A，B兩點重合于M點，|PA|=|PB|，λ=1.而A，B為不同的兩點，所以λ≠1.

綜上所述，λ的取值范圍是15，1.

上述解法雖不能說盡善盡美，但閃耀著智慧火花的合情推理應得到充分的肯定和褒獎.

3類比聯想

從表面上看來，甲乙兩種事物似乎沒有什么內在聯系，但由甲事物的結構、形態、特征聯想到乙事物.基于此，將解決與甲事物有關問題的技能、技巧遷移到與乙事物有關的問題中來，就叫做類比聯想，屬于“非邏輯思維”范疇的一種直覺思維.

比如，設三角形的周長為C，內切圓半徑為r，則三角形的面積S=12Cr，由此可得r=2SC或C=2Sr.那么在立體幾何中，若多面體有一內切球，內切球的半徑為r，多面體的表面積為S，體積為V，則V=13Sr，r=3VS，S=3Vr.從三角形到多面體，從面積到體積，從內切圓到內切球，跨度不可謂不大，但運用類比聯想，瞬間實現了溝通，可解決的問題多多.

例2在1，2，3，4，5，6這六個數中任取五個組成數字不重復的五位數，求所有五位數的和.

此題的原本解法非常繁瑣，經過改進，雖有所簡化，但仍有學生感到不滿意，他們給出了如下令人慨嘆的更加簡捷的解法：

五位數共有A56=720(個)，其中最小的是12345，最大的是65432，

所以所求和為12345+654322×720=27999720.

道理如下：

將這720個數按從小到大的次序排列，得a1，a2，a3，a4，…，a717，a718，a719，a720，它們雖然不能構成等差數列，卻具有類似于等差數列的性質：a1+a720=a2+a719=…=12345+65432=77777，故得解.

類比聯想創造了奇跡！

4靈感頓悟

一位哲人曾說過：“創造是思維的‘短路’，通常是‘不大講道理’的，若過分囿于邏輯推理，則很難作出創造.”這與上面休厄爾的名言有著異曲同工之妙.著名數學家、數學教育家波利亞也說：“無論如何，你應該感謝所有的新念頭，哪怕是模糊的念頭，甚至是感謝那些把你引入歧途的念頭.因為錯誤的念頭往往是正確的先驅，導致有價值的新發現.”

例3設集合A={0，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C同時滿足：①若將C的各元素均減去2，則所得新集合是A的一個子集；②若將C的各元素均加上3，則所得新集合是B的一個子集，那么滿足這兩個條件，且元素最多的集合C=.

若循規蹈矩地進行邏輯推理，此題的解答必將陷入困境，必須來個“靈機一動”：題目說“減去2”與“加上3”，我們就來個“加上2”與“減去3”.那么將集合A的各元素分別加上2，得集合D={2，4，5，7，10}，將集合B的各元素分別減去3，得集合E={-2，0，2，4，7}，則所求集合C=D∩E={2，4，7}.

不起眼的一個“金點子”閃耀的卻是創造靈感的思想光輝.

圖4

例4如圖4，平行六面體AC1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，當CD∶CC1為何值時，A1C平面C1BD？請給出證明.

這是一道著名的高考試題，有相當的難度，常規解法為：設CD∶CC1=x，設法列出關于x的方程，但構建和解方程談何容易！在這種困境之中一個大膽的頓悟使題解出現了根本性的轉機，所求比值會不會是1呢？試試，還真的試成功了：

事實上，當CD=CC1時，C-BDC1是正三棱錐，很容易證得A1C平面C1BD，與列方程的解法相比，簡直有天壤之別！

行文至此，我們一方面感慨于直覺思維的巨大功能和培養學生直覺思維能力的重要性，但在本文末，還必須說以下兩點：

(1)直覺思維的功能絕對掩蓋不了數學理性精神的光輝，絕對不能因為強調了直覺思維能力的培養而削弱了邏輯思維能力的培養.

(2)絕不能滿足于利用直覺思維對于問題的解決，不能停留在“感情用事”的層面上.利用直覺思維解決問題，即使再漂亮、再簡捷、再優美，最后還須做到理性回歸，要知其然，還要知其所以然.

【參考文獻】