高中數學競賽
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高中數學競賽范文第1篇
三角恒等式與三角不等式
一、基礎知識
定義1
角：一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。
若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。
定義2
角度制：把一周角360等分，每一等分為一度。
弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圓心角的弧長為L
，則其弧度數的絕對值|α|=
r
L
,其中r
是圓的半徑。
定義3
三角函數：在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x
軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取
一個不同于原點的點P
，設它的坐標為（x
,y
），到原點的距離為r,則正弦函數s
in
α=r
y
,余弦函數co
s
α=r
x
,
正切函數tan
α=
x
y
，余切函數cot
α=y
x
，正割函數se
c
α=x
r
,余割函數c
s
c
α=.y
r
定理1
同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tan
α=αcot
1,s
in
α=αcsc
1，co
s
α=αsec
1
；
商數關系：tan
α=α
α
αααsin
cos
cot
,cos
sin
=
；
乘積關系：tan
α×co
s
α=s
in
α,cot
α×s
in
α=co
s
α；
平方關系：s
in
2α+co
s
2α=1,
tan
2α+1=se
c
2α,
cot
2α+1=c
s
c
2α.
定理2
誘導公式（Ⅰ）s
in
(α+π)=-s
in
α,
co
s(π+α)=-co
s
α,
tan
(π+α)=tan
α,
cot
(π+α)=cot
α;
（Ⅱ）s
in
(-α)=-s
in
α,
co
s(-α)=co
s
α,
tan
(-α)=-tan
α,
cot
(-α)=cot
α;
（Ⅲ）s
in
(π-α)=s
in
α,
co
s(π-α)=-co
s
α,
tan
=(π-α)=-tan
α,
cot
(π-α)=-cot
α;
（Ⅳ）s
in
???
??-απ2=co
s
α,
co
s
???
??-απ2=s
in
α,
tan
???
??-απ2=cot
α（奇變偶不變，符號看象限）。
定理3
正弦函數的性質，根據圖象可得y
=s
inx
（x
∈R
）的性質如下。
單調區間：在區間??
?
??
?+
-
22,2
2πππ
πk
k
上為增函數，在區間??
?
??
?++
πππ
π232,22k
k
上為減函數，
最小正周期：2π.
奇偶性：奇函數
有界性：當且僅當x
=2kx
+2π時，y
取最大值1，當且僅當x
=3k
π-2
π
時,
y
取最小值-1，值域為[-1，1]。
對稱性：直線x
=k
π+
2
π
均為其對稱軸，點（k
π,
0）均為其對稱中心。這里k
∈Z
.
定理4
余弦函數的性質，根據圖象可得y
=co
s
x
(x
∈R
)的性質。
單調區間：在區間[2k
π,
2k
π+π]上單調遞減，在區間[2k
π-π,
2k
π]上單調遞增。
最小正周期：2π。
奇偶性：偶函數。
有界性：當且僅當x
=2k
π時，y
取最大值1；當且僅當x
=2k
π-π時，y
取最小值-1。值域為[-1，1]。
對稱性：直線x
=k
π均為其對稱軸，點??
?
?
?+
0,2π
πk
均為其對稱中心。這里k
∈Z
.
定理5
正切函數的性質：由圖象知奇函數y
=tanx
(x
≠k
π+
2π)在開區間(k
π-2π,
k
π+2
π
)上為增函數,
最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（k
π，0），（k
π+2
π
，0）均為其對稱中心。
定理6
兩角和與差的基本關系式：co
s(α±β)=co
s
αco
s
β
s
in
αs
in
β,
s
in
(α±β)=s
in
αco
s
β±co
s
αs
in
β;
tan
(α±β)=
.)
tan
tan
1()
tan
(tan
βαβα
±
兩角和與差的變式：2222
sin
sin
cos
cos
sin()sin()αββααβαβ-=-=+-
2222
cos
sin
cos
sin
cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
三角和的正切公式：tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan()1tan
tan
tan
tan
tan
tan
αβγαβγ
αβγαββγγα
++-++=
---
定理7
和差化積與積化和差公式:
s
in
α+s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
s
in
α-s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
co
s
α+co
s
β=2co
s
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,
co
s
α-co
s
β=-2s
in
???
??+2βαs
in
???
??-2βα,
s
in
αco
s
β=21[s
in
(α+β)+s
in
(α-β)],
co
s
αs
in
β=21
[s
in
(α+β)-s
in
(α-β)],
co
s
αco
s
β=21[co
s(α+β)+co
s(α-β)],
s
in
αs
in
β=-2
1
[co
s(α+β)-co
s(α-β)].
定理8
二倍角公式：s
in
2α=2s
in
αco
s
α,
co
s2α=co
s
2α-s
in
2α=2co
s
2α-1=1-2s
in
2α,
tan
2α=
.)
tan
1(tan
22αα
-
三倍角公式及變式：3
sin
33sin
4sin
ααα=-，3
cos34cos
3cos
ααα=-
1s
i
n
(60)s
i
n
s
i
n
(60)s
i
n
34α
ααα-+=，1
cos(60)cos
cos(60)cos34
αααα-+=
定理9
半角公式:
s
in
2α=2)cos
1(α-±,
co
s
2
α
=2)cos
1(α+±,
tan
2α=)cos
1()
cos
1(αα+-±=
.sin
)cos
1()
cos
1(sin
αααα-=+
定理10
萬能公式:
?
?
?
??+?
??
??=
2tan
12tan
2sin
2ααα,
???
??+???
??-=2tan
12tan
1cos
22ααα,.2tan
12tan
2tan
2???
??-???
??=ααα
定理11
輔助角公式：如果a
,
b
是實數且a
2+b
2≠0，則取始邊在x
軸正半軸，終邊經過點(a
,
b
)的一個角為β，
則s
in
β=22b
a
b
+,co
s
β=2
2b
a
a
+，對任意的角α.a
s
in
α+bco
s
α=)(22b
a
+s
in
(α+β).
定理12
正弦定理：在任意ABC
中有R
C
c
B
b
A
a
2sin
sin
sin
===，
其中a
,
b
,
c
分別是角A
，B
，C
的對邊，R
為ABC
外接圓半徑。
定理13
余弦定理：在任意ABC
中有a
2=b
2+c
2-2bco
s
A
，其中a
,b
,c
分別是角A
，B
，C
的對邊。
定理14
射影定理：在任意ABC
中有cos
cos
a
b
C
c
B
=+，cos
cos
b
a
C
c
A
=+，cos
cos
c
a
B
b
A
=+
定理15
歐拉定理：在任意ABC
中，2
2
2OI
R
Rr
=-，其中O,I
分別為ABC
的外心和內心。
定理16
面積公式：在任意ABC
中，外接圓半徑為R,內切圓半徑為r
，半周長2
a
b
c
p
++=
則211sin
2sin
sin
sin
(sin
sin
sin
)224a
abc
S
ah
ab
C
rp
R
A
B
C
rR
A
B
C
R
=
=====++
222
1)(c
o
t
c
o
t
c
o
t
)4
c
a
A
b
B
c
C
==++
定理17
與ABC
三個內角有關的公式：
（1）sin
sin
sin
4cos
cos
cos
;222
A
B
C
A
B
C
++=
（2）cos
cos
cos
14sin
sin
sin
;222
A
B
C
A
B
C
++=+
（3）tan
tan
tan
tan
tan
tan
;A
B
C
A
B
C
++=
（4）tan
tan
tan
tan
tan
tan
1;222222
A
B
B
C
C
A
++=
（5）cot
cot
cot
cot
cot
cot
1;A
B
B
C
C
A
++=
（6）sin
2sin
2sin
24sin
sin
sin
.A
B
C
A
B
C
++=
定理18
圖象之間的關系：y
=s
inx
的圖象經上下平移得y
=s
inx
+k
的圖象；經左右平移得y
=s
in
(x
+?)的圖象（相位
變換）；縱坐標不變，橫坐標變為原來的
ω
1
，得到y
=s
in
x
ω(0>ω)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A
倍，得到y
=A
s
inx
的圖象（振幅變換）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A
倍，得到y
=A
s
inx
的圖象（振幅變換）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω,
?>0)(|A
|
叫作振幅)的圖象向右平移ω
?
個單位得到y
=A
s
in
ωx
的圖象。
定義4
函數y
=s
inx
?
?
???-∈2,2ππx
的反函數叫反正弦函數，記作y
=a
r
c
s
inx
(x
∈[-1,
1])，
函數y
=co
s
x
(x
∈[0,
π])
的反函數叫反余弦函數，記作y
=a
r
cco
s
x
(x
∈[-1,
1]).
函數y
=tanx
?
??
?
?-
∈2,2ππx
的反函數叫反正切函數。記作y
=a
r
ctanx
(x
∈[-∞,
+∞]).
函數y
=co
t
x
(x
∈[0,
π])的反函數稱為反余切函數，記作y
=a
r
ccotx
(x
∈[-∞,
+∞]).
定理19
三角方程的解集，如果a
∈(-1,1)，方程s
inx
=a
的解集是{x
|x
=n
π+(-1)n
a
r
c
s
ina
,
n
∈Z
}。
方程co
s
x
=a
的解集是{x
|x
=2kx
±a
r
cco
s
a
,
k
∈Z
}.
如果a
∈R
，方程tanx
=a
的解集是{x
|x
=k
π+a
r
ctana
,
k
∈Z
}。
恒等式：a
r
c
s
ina
+a
r
cco
s
a
=
2π；a
r
ctana
+a
r
ccota
=2
π.
定理20
若干有用的不等式：
（1）若???
?
?∈2,
0πx
，則s
inx
（2）函數sin
x
y
x
=在(0,)π上為減函數；函數tan
x
y
x
=在(0,)2
π
上為增函數。
（3）嵌入不等式：設A+B+C=π，則對任意的x,y,z
∈R
，
有2
2
2
2cos
2cos
2cos
x
y
z
yz
A
xz
B
xy
C
++≥++
等號成立當且僅當yzsinA=zxsinB=xysinC.
二、方法與例題
1．結合圖象解題。
例1
求方程s
inx
=lg
|x
|的解的個數。
【解】在同一坐標系內畫出函數y
=s
inx
與y
=lg
|x
|的圖象，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。
2．三角函數性質的應用。
例2
設x
∈(0,
π),
試比較co
s(s
inx
)與s
in
(co
s
x
)的大小。
【解】
若??
?
?
??∈ππ,2x
，則-1所以s
in
(co
s
x
)
≤0,又02x
π?
?
∈
??
?
，則因為s
inx
+co
s
x
=2s
in
(x
+
4π)≤2π，
所以co
s(s
inx
)>co
s(
2
π
-co
s
x
)=s
in
(co
s
x
).
綜上，當x
∈(0,π)時，總有co
s(s
inx
)3．最小正周期的確定。
例3
求函數y
=s
in
(2co
s|x
|)的最小正周期。
【解】
因為co
s(-x
)=co
s
x
，所以cos
|x
|=co
s
x,
所以T
=2π是函數的周期；
4．三角最值問題。
例4
已知函數y
=s
inx
+x
2cos
1+，求函數的最大值與最小值。
【解法一】
令s
inx
=???
??≤≤=
+ππ
θθ4304
sin
2cos
1,cos
22
x
,
則有y
=).4
sin(2sin
2cos
2π
θθθ+
=+
因為
ππ
4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4
sin(0π
θ+≤≤1，
所以當πθ43=，即x
=2k
π-2π(k
∈Z
)時，y
m
in
=0，當4πθ=，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z
)時，y
m
ax
=2.
【解法二】
因為y
=s
inx
+)cos
1(sin
2cos
1222
x
x
x
++≤
+=2（因為(a
+b
)2≤2(a
2+b
2)），
且|s
inx|≤1≤x
2cos
1+，所以0≤s
inx
+x
2cos
1+≤2，
所以當x
2cos
1+=s
inx
，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z
)時,
y
m
ax
=2，
當x
2cos
1+=-s
inx
，即x
=2k
π-2
π
(k
∈Z
)時,
y
m
in
=0。
5．換元法的使用。
例5
求x
x
x
x
y
cos
sin
1cos
sin
++=
的值域。
【解】
設t
=s
inx
+co
s
x
=).4sin(2cos
22sin
222π+=???
?
??+x
x
x
因為,1)4
sin(1≤+
≤-π
x
所以.22≤≤-t
又因為t
2
=1+2s
inxco
s
x
,所以s
inxco
s
x
=212-t
，所以2
1121
2-=+-=t
t
x
y
，所以
.212212-≤≤--y
因為t
≠-1，所以121-≠-t
，所以y
≠-1.所以函數值域為.212,11,212??
?
??--???-+-∈
y
6．圖象變換：y
=s
inx
(x
∈R
)與y
=A
s
in
(ωx
+?)(A
,
ω,
?>0).
例6
已知f
(x
)=s
in
(ωx
+?)(ω>0,
0≤?≤π)是R
上的偶函數，其圖象關于點???
??0,43πM
對稱，且在區間??
?
???2,0π上是單調函數，求?和ω的值。
【解】
由f
(x
)是偶函數，所以f
(-x
)=f
(x
)，所以s
in
(ωx+?)=s
in
(-ωx
+?)，
所以co
s
?s
inx
=0，對任意x
∈R
成立。又0≤?≤π，解得?=2
π
，
因為f
(x
)圖象關于??
?
??0,43πM
對稱，所以)43()43(x
f
x
f
++-ππ=0。
取x
=0，得)4
3(πf
=0，所以sin
.024
3=???
??+πωπ
所以243ππωπ+=k
(k
∈Z
)，即ω=32(2k
+1)
(k
∈Z
).
又ω>0，取k
=0時，此時f
(x
)=sin
(2x
+
2π)在[0，2
π
]上是減函數；
取k
=1時，ω=2，此時f
(x
)=sin
(2x
+2π)在[0，2
π
]上是減函數；
取k
=2時，ω≥310，此時f
(x
)=sin
(ωx
+2π)在[0，2
π
]上不是單調函數，
綜上，ω=3
2
或2。
7．三角公式的應用。
例7
已知sin
(α-β)=
135，sin
(α+β)=-
135，且α-β∈???
??ππ,2，α+β∈??
?
??ππ2,23，求sin
2α,cos
2β的值。
【解】
因為α-β∈??
?
??ππ,2，所以cos
(α-β)=-.1312)(sin
12
-=--βα
又因為α+β∈??
?
??ππ2,23，所以cos
(α+β)=.1312)(sin
12=+-βα
所以sin
2α=sin
[(α+β)+(α-β)]=sin
(α+β)cos
(α-β)+cos
(α+β)sin
(α-β)=169
120
,
cos
2β=cos
[(α+β)-(α-β)]=cos
(α+β)cos
(α-β)+sin
(α+β)sin
(α-β)=-1.
例8
已知ABC
的三個內角A
，B
，C
成等差數列，且B
C
A
cos
2cos
1cos
1-=+，試求2
cos
C
A
-的值。
【解】
因為A
=1200-C
，所以cos
2
C
A
-=cos
(600-C
)，
又由于)
120cos(cos
cos
)120cos(cos
1)120cos(1cos
1cos
10
00C
C
C
C
C
C
C
A
-+-=+-=+
=
222
1)2120cos()
60cos(2)]2120cos(120[cos
21)60cos(60cos
2000000-=---=-+-C
C
C
C
，
所以232
cos
22cos
242--+-C
A
C
A
=0。解得222cos
=-C
A
或8232cos
-=-C
A。
又2
cos
C
A
->0，所以222cos
=-C
A。
例9
求證：tan
20?+4cos
70?
【解】
tan
20?+4cos
70?=??20cos
20sin
+4sin
20?
?
??+=+=20cos
40sin
220sin
20cos
20cos
20sin
420sin
?
???+=++=20
cos
40sin
10cos
30sin
220cos
40sin
40sin
20sin
.320cos
20cos
60sin
220cos
40sin
80sin
==+=?
?
例10
證明：7
cos77cos521cos335cos
64cos
x
x
x
x
x
+++=
分析：等號左邊涉及角7x
、5x
、3x
、x
右邊僅涉及角x
，可將左邊各項逐步轉化為x
sin
、
x
cos
的表達式，但相對較繁.
觀察到右邊的次數較高，可嘗試降次.
證明：因為,cos
33cos
cos
4,cos
3cos
43cos
3
3
x
x
x
x
x
x
+=-=所以
從而有x
x
x
x
x
226cos
9cos
3cos
63cos
cos
16++=
=
)2cos
1(2
9
)2cos
4(cos
326cos
1x
x
x
x
+++++
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
20cos
2cos
30cos
4cos
12cos
6cos
2cos
64,
2cos
992cos
64cos
66cos
1cos
327
6+++=+++++=
.
cos
353cos
215cos
77cos
cos
20cos
153cos
153cos
65cos
65cos
7cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+++=++++++=
評述：本題看似“化簡為繁”，實質上抓住了降次這一關鍵，很是簡捷.
另本題也可利用復數求解.
令
77)1
(cos
128,,1cos
2,sin
cos
z
z
z
z
i
z
+=+=+=αααα從而則，展開即可.
例11
已知.
20012tan
2sec
:,2001tan
1tan
1=+=-+αααα求證
證明：)4tan()22
sin()22cos(12cos
2sin
12tan
2sec
απαπαπ
αααα+=++-=+=+.
2001tan
1tan
1=-+=αα.2001tan
1tan
1=-+=
αα
例12
證明：對任一自然數n
及任意實數m
n
k
m
x
k
,,,2,1,0(2
=≠
π為任一整數），
有
.2cot
cot
2sin
14sin
12sin
1x
x
x
x
x
n
n
-=+++
思路分析：本題左邊為n
項的和，右邊為2項之差，故嘗試將左邊各項“裂”成兩項之差，并希冀能消去其中許多
中間項.
證明：,2cot
cot
2sin
2cos
cos
sin
2cos
22sin
2cos
cos
22sin
122x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-=-=-=
同理
x
x
x
4cot
2cot
4sin
1-=
……
x
x
x
n
n
n
2cot
2cot
2sin
11-=-
評述：①本題裂項技巧也可通過數學歸納法獲得.
②“裂項相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：
n
n
n
n
-=
-+++α
α
ααααααtan
tan
tan
)1tan(3tan
2tan
2tan
tan
.
1cot
1cos
89
cos
88cos
12cos
1cos
11cos
0cos
1.
2cot
2cot
2tan
22tan
22tan
2tan
1122=+++-=++++++ααααααn
n
n
n
例13
設ABC
?的內角A
B
C
,,所對的邊,,a
b
c
成等比數列，則
sin
cot
cos
sin
cot
cos
A
C
A
B
C
B
++
的取值范圍是（
）
A.
(0,)+∞
B.
C.
D.
)+∞
[解]
設,,a
b
c
的公比為q
，則2,b
aq
c
aq
==，而sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
A
C
A
A
C
A
C
B
C
B
B
C
B
C
++=
++
sin()sin()sin
sin()sin()sin
A
C
B
B
b
q
B
C
A
A
a
ππ+-=
====+-．
因此，只需求q
的取值范圍．
因,,a
b
c
成等比數列，最大邊只能是a
或c
，因此,,a
b
c
要構成三角形的三邊，必需且只需a
b
c
+>且
b
c
a
+>．即有不等式組
22,a
aq
aq
aq
aq
a
?+>??+>??即22
10,10.q
q
q
q
?--解得q
q
q
q
，因此所求的取值范圍是．故選C
例14
ABC
內接于單位圓，三個內角A
、B
、C
的平分線延長后分別交此圓于A
1、B
1、C
1，
則C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
sin
sin
sin
2cos
2cos
2cos
111++?+?+?的值為（
）
A
．2
B
．4
C
．6
D
．8
解：如圖，連BA
1，則AA
1=2sin(B+
)2
2cos(2)222sin(2)2C
B
C
B
C
B
A
A
-=-+++=
)2
cos(2cos
2cos
2cos
)22cos(22cos
1C
B
C
A
C
B
A
A
C
B
A
AA
-=-++-+=-=π
,sin
sin
)2cos(B
C
B
+=-+π
同理,sin
sin
2cos
1C
A
B
BB
+=,sin
sin
2
cos
1B
A
C
CC
+=
),sin
sin
(sin
22cos
2cos
2cos
111C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
++=++原式=.2sin
sin
sin
)
sin
sin
(sin
2=++++C
B
A
C
B
A
選A.
例15
若對所有實數x
，均有sin
sin
cos
cos
cos
2k
k
k
x
kx
x
kx
x
?+?=，則k
=（
）.
A
、6；
B
、5；
C
、4；
D
、3．
解：記()s
i
n
s
i
n
c
o
s
c
o
s
c
o
s
2
k
k
k
f
x
x
k
x
x
k
x
x
=?+?
-
，則由條件，()f
x
恒為0，取2
x
π
=，得
()s
i
n
12k
k
π=-，則k
為奇數，設21k
n
=-，上式成為sin
12n
ππ?
?-=-
???，因此n
為偶數，令2n
m
=，則
41k
m
=-，故選擇支中只有3k
=滿足題意．故選D
例16
已知()()
2222212f
x
x
a
b
x
a
ab
b
=++-++-是偶函數，則函數圖象與y
軸交點的縱坐標的最大值是
A
B.
2
C.
解：由已知條件可知，2
2
10a
b
+-=，函數圖象與y
軸交點的縱坐標為2
2
2a
ab
b
+-。令,s
cos
in
b
a
θθ==
，
則2222
2sin
cos
sin
cos
2sin
2c
s
2o
a
ab
b
θθθθθθ+=+=--+≤
選
A。
例17
已知,R
αβ∈，直線
1sin
sin
sin
cos
x
y
αβαβ+=++與1cos
sin
cos
cos
x
y
αβαβ
+=++
的交點在直線y
x
=-上，則cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=。
解：由已知可知，可設兩直線的交點為00(,)x
x
-，且,in
s
s
co
αα為方程
00
1sin
cos
x
x
t
t
ββ
-+=++，
的兩個根，即為方程2
0sin
c
(cos
)sin
os
(cos
)i
0s
n
t
t
x
ββββββ-++-=+的兩個根。
因此cos
(sin
sin
cos
)ααββ+=-+，即cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=0。
1
、＝。
2、已知函數)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=
x
x
πx
πx
x
f
，則f
(x
)的最小值為_____。
3、已知
3sin
)2sin(=+αβα，且),(2
,21Z
k
n
n
k
∈+≠+≠π
πβαπβ。則
ββαtan
)tan(+的值是_
__.
4、設函數f
(x
)=3sin
x
+2cos
x
+1。若實數a
、b
、c
使得af
(x
)+bf
(x
?c
)=1對任意實數x
恒成立，則a
c
b
cos
=
5、設0)cos
1(2
θθ
+的最大值。
6、求證：.112tan
312tan
18tan
18tan
3=++
7、已知a
0=1,
a
n
1
n
-(n
∈N
+)，求證：a
n
>
2
2+n
π
.
8、已知.
cos
sin
)tan(:,1||),sin(sin
A
A
A
-=+>+=ββ
βαβαα求證
9、若A
，B
，C
為ABC
三個內角，試求s
inA
+s
inB
+s
inC
的最大值。
10、證明：.2
sin
21sin
)2sin()sin()2sin()sin(sin
β
ββαβαβαβαα++
=
+++++++n
n
n
11、已知α，β為銳角，且x
·（α+β-2π
）>0，求證：.2sin
cos
sin
cos
?
??+?
??x
x
αββα
12、求證：①16
1
78cos
66cos
42cos
6cos
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?
實戰演練答案
1、解：根據題意要求，2
605x
x
+≥+，2
0571x
x
+≤+≤。于是有2
715x
x
+=+。因此
cos01==。因此答案為
1。
2、解：實際上)4541(2
)4sin(2)(≤≤+-=x
x
π
πx
x
f
，設)4541)(4sin(2)(≤≤-=x
ππx
x
g
，則g
(x
)≥0，g
(x
)在]43,41[上是增函數，在]4
5
,43[上是減函數，且y
=g
(x
)的圖像關于直線43=x
對稱，則對任意]43,41[1∈x
，存在
]45,43[2∈x
，使g
(x
2)=g
(x
1)。于是)(2)(2)(2)()(22
212111x
f
x
x
g
x
x
g
x
x
g
x
f
=+≥+=+=，而f
(x
)在]45,43[上是減
函數，所以554)4
5
()(=
≥f
x
f
，即f
(x
)在]4
5
,41[上的最小值是554。
3、解：
.213131sin
)2sin(1sin
)2sin(]sin
)2[sin(21]
sin
)2[sin(21
sin
)cos(cos
)sin(tan
)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α
βααβααβααβαβββαββαb
a
4、解：令c=π，則對任意的x
∈R
，都有f
(x
)+f
(x
?c
)=2，于是取2
1
==b
a
，c=π，則對任意的x
∈R
，af
(x
)+bf
(x
?c
)=1，
由此得1cos
-=a
c
b。
一般地，由題設可得1)sin(13)(++=?x
x
f
，1)sin(13)(+-+=-c
x
c
x
f
?，其中20π2
tan
=?，
于是af
(x
)+bf
(x
?c
)=1可化為1)sin(13)sin(13=++-+++b
a
c
x
b
x
a
??，即
0)1()cos(sin
13cos
)sin(13)sin(13=-+++-+++b
a
x
c
b
c
x
b
x
a
???，
所以0)1()cos(sin
13)sin()cos
(13=-+++-++b
a
x
c
b
x
c
b
a
??。
由已知條件，上式對任意x
∈R
恒成立，故必有??
?
??=-+==+)3(01)2(0
sin
)1(0cos
b
a
c
b
c
b
a
，
若b
=0，則由(1)知a
=0，顯然不滿足(3)式，故b
≠0。所以，由(2)知sin
c
=0，故c=2k
π+π或c=2k
π(k
∈Z
)。當
c=2k
π時，cos
c
=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k
π+π(k
∈Z
)，cos
c
=?1。由(1)、(3)知21
=
=b
a
，所以1cos
-=a
c
b。
5、【解】因為020π
θ
，所以s
in
2θ>0,
co
s
2
θ>0.
所以s
in
2θ（1+co
s
θ）=2s
in
2θ·co
s
22
θ
=2cos
2cos
2sin
22222θθ
θ???
≤3
22232cos
2cos
2sin
22??
???
?
?θθθ=.9342716=
當且僅當2s
in
2
2θ=co
s
22θ,
即tan
2θ=22,
θ=2a
r
ctan
22時，s
in
2
θ
(1+co
s
θ)取得最大值934。
6、思路分析：等式左邊同時出現
12tan
18tan
、
12tan
18tan
+，聯想到公式β
αβ
αβαtan
tan
1tan
tan
)tan(-+=+.
證明：
12tan
312tan
18tan
18tan
3++
112tan
18tan
)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan
)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
112tan
18tan
)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan
)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
1
18tan(3
t
18(tan
3=+?=+=
評述：本題方法具有一定的普遍性.
仿此可證)43tan
1()2tan
1)(1tan
1(
+++22
2)44tan
1(=+
等.
7、【證明】
由題設知a
n
>0，令a
n
=tana
n
,
a
n
∈??
?
??2,
0π，
則a
n
=
.tan
2tan
sin
cos
1tan
1sec
tan
1tan
111
1111
12n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
==-=-=
-+-------
因為21-n
a
，a
n
∈???
??2,0π，所以a
n
=121-n
a
，所以a
n
=.210a
n
??
?
??
又因為a
0=tana
1=1，所以a
0=4π，所以n
n
a
??
?
??=21·4π。
又因為當0時，tanx
>x
，所以.2
2tan
22++>=n
n
n
a
ππ
注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x
∈??
?
??2,
0π時，有tanx
>x
>s
inx
，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。
8、分析：條件涉及到角α、βα+，而結論涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除條件與結論間角的差異，當然亦可從式中的“A
”入手.
證法1：
),sin(sin
βαα+=A
),sin()sin(βαββα+=-+A
),
cos(sin
))(cos
sin(),sin(sin
)cos(cos
)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A
A
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ從而
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ從而
cos
sin
)tan(,
0)cos(,
0cos
,
1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ從而
.
cos
sin
)tan(,0)cos(,0cos
,
1||A
A
A
-=+≠+≠->βββαβαβ從而
證法2：αβαβββαβααββββsin
)sin(cos
sin
)sin()sin(sin
cos
sin
sin
sin
-++=+-=-A
).
tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαβ
βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin
)cos(sin
)sin(])sin[()sin(cos
sin
)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=
9、【解】
因為s
inA
+s
inB
=2s
in
2B
A
+co
s
2sin
22B
A
B
A
+≤-,
①
s
inC
+s
in
2
3sin
22
3cos
2
3sin
23
π
π
π
π
+≤-+=C
C
C
,
②
又因為3
sin
24
3cos
43sin
22
3sin
2
sin
ππ
π
π
≤-
-++
++=+++C
B
A
C
B
A
C
B
A
，③
由①，②，③得s
inA
+s
inB
+s
inC
+s
in
3π≤4s
in
3
π
,
所以s
inA
+s
inB
+s
inC
≤3s
in
3π=233,當A
=B
=C
=3
π
時，（s
inA
+s
inB
+s
inC
）m
ax
=233.
注：三角函數的有界性、|s
inx
|≤1、|co
s
x
|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調
性等是解三角最值的常用手段。
10、證明：)],2
cos()2[cos(212sin
sin
βαβαβ
α--+-=
)]sin()2sin()sin([sin
2
sin
,,
)]2
1
2cos()212[cos(212sin
)sin(,
)]2
3
cos()25[cos(212sin
)2sin()],2cos()23[cos(212sin
)sin(βαβαβααβ
βαβαββαβαβαββαβ
αβαβ
βαn
n
n
n
+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+
各項相加得類似地
.2
1
sin
)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n
n
n
.
2
1sin
)2sin()]
2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+
+-=n
n
n
所以，.2
sin
21
sin
)2sin()sin()sin(sin
βββαβαβαα++=+++++n
n
n
評述：①類似地，有.2
sin
)2cos(21sin
)cos()cos(cos
β
βαββαβααn
n
n
++=
+++++
②利用上述公式可快速證明下列各式：2sin
21
cos
2sin
cos
3cos
2cos
cos
θ
θθθθθθ+=++++n
n
n
.21
97cos
95cos
93cos
9cos
.2
1
75cos
73cos
9cos
等=+++=++ππ
πππππ.
2197cos
95cos
93cos
9cos
.
2
175cos
73cos
9
cos
等=+++=++πππππππ
11、【證明】
若α+β>2π，則x
>0，由α>2π-β>0得co
s
απ-β)=s
in
β,所以0又s
in
α>s
in
(2π-β)=co
s
β,
所以0β
sin
cos
0,所以βαsin
cos
>1。
又0β
sin
cos
>1，
所以2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
=???
?
?+?
??x
，得證。
注：以上兩例用到了三角函數的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。
12、證明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°
54cos
78cos
42cos
?
.
16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16
154cos
4)
183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?=
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°
=4
387sin
6sin
3sin
)41(29?
60sin
30sin
)87sin
33sin
27(sin
)66sin
54sin
6)(sin
63sin
57sin
3(sin
3)4
1
(30=
45)54sin
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高中數學競賽范文第2篇
一思新教材內容
新教材內容總體偏多，部分內容的編排不盡合理，新課程包括5個必修模塊和4個選修系列，5個必修模塊基本涵蓋了以往課程的內容，而這4個選修系列中不僅涉及了以往課程內容，大部分都是以往課程中沒有的。2009年，江蘇省教育廳提出“五嚴規定”，嚴格執行國家課程計劃，嚴格控制學生在校集中學習時間，在總的教學時間不增反減的情況下，教學內容偏多和教學時數之間的矛盾日益突出。筆者根據這六年的實驗教學經驗認為可以刪除一些內容。
1.孤立的知識點。刪除后不影響高中數學整體邏輯結構，對學生發展也不會產生太大的影響。如矩陣與變換、統計案例在高中階段現有的知識與時間限制下，難以完成完整的內容，只能進行機械性操作。
2.重疊的內容。如三視圖與初中階段學習重疊，流程圖與算法中的程序框圖本質上是相通的，也與信息技術課程重疊。
3.蜻蜓點水式的內容。如定積分，高中階段課時太少難以講解清楚，大學將系統學習，屬非主干的內容，刪除后不影響整個高中數學的學習。
但是，另一方面考慮到規模日益擴大的高校自主招生考試與數學競賽，在相關章節可以鏈接引申一些內容，如函數的凸凹性、反函數、函數及數列極限的定義（免得一些高校對大一新生單開江蘇補習班）、復數的三角形式與指數形式、重要不等式（柯西不等式、排序不等式）、圓錐曲線的光學性質、隨機變量的概率、均值與方差等。（這些內容對絕大多數學生是不作要求的。）
二思新教材的順序、銜接與進度
1.新教材的順序
（1）整體模塊的順序
新教材模塊化設置及以螺旋上升的方式安排知識，不少章節內容和順序被打亂，知識的邏輯鏈條被人為割斷。如將“解三角形”與“數列”、“不等式”這些數學知識和思想方法沒有內在聯系的內容捆綁在一起，安排在必修5中，顯然屬典型的人為制造的知識割裂現象。在必修2《平面解析幾何初步》中列出了有關空間直角坐標系的內容，不僅與章節名稱不符，而且這里的空間直角坐標系與理科的選修2―1中“空間中的向量與立體幾何”相關內容相隔太遠，可調整到選修2―1。而文科后面壓根就沒有涉及空間直角坐標系的相關內容，因此文科這部分內容干脆刪掉！新教材將解一元二次不等式與簡單的線性規劃、均值不等式集中在一起安排在必修5，使得重點與難點過于集中（一元二次不等式、數學5中的等差數列、等比數列、基本不等式等內容均屬C級要求），而且還造成相關知識的割裂。
關于必修模塊順序設置，《普通高中數學課程標準（實驗稿）》（下稱《標準》）中指出：“數學1是數學2、數學3、數學4和數學5的基礎，對其余4個模塊的順序未作原則上要求，在不影響相關聯系和知識準備的條件下，學校可以根據具體實際情況進行安排。”（一般以地級市為單位統一安排，便于期中期末統考。）
筆者認為：數學2中綜合了立體幾何與解析幾何兩大塊內容，高一學生難以接受，數學3中概念性的知識太多，算法等新增內容也比較陌生，所以考慮把這兩個模塊移后教學。而數學4中的三角函數，學生在學完數學1的函數后，比較容易接受三角函數的知識，因為三角函數也是一類特殊的函數，從一般到特殊，學生比較容易接受，而三角變換與三角函數又有密切的聯系，所以先學數學4中的三角函數與三角變換，其中的平面向量置后到與數學2的直線與圓一起學習，因為它們同屬平面幾何，也便于用向量的觀點研究平行與垂直這兩種特殊而重要的位置關系。原來平面向量放在三角恒等變換之前不過是用平面向量證明兩角差的余弦公式。
數學的內在聯系以及六年兩輪的教學經驗，都證明了1、4、5、2順序的相對合理性，而數學3算法語言相對獨立，順序放置有一定的自由度。但一般放在高二上學期，這樣可以與信息技術課程及考試同步（高二上學期12月份的最后一個周末舉行信息技術考試）。然而，目前流行的幾種模塊順序，在教學中都有其可能產生困難的地方。例如，1、2、3、4、5的順序會導致第一學期安排的內容偏多偏難；解析幾何分在兩處，距離時間太長；沒有任意角的三角函數，講解立體幾何和直線方程有困難。1、4、5、2、3和1、4、5、3、2，1、3、4、5、2的順序會導致：未學數學2中的線直程，學習數學5中的線性規劃內容就有困難。上述討論表明，無論怎樣排列都會出現矛盾，我們要“挖根”，要從《標準》上解決問題，消除模塊化結構的負面影響，重新調整模塊的順序和內容，使模塊順序與內容相對協調。另外文科與理科內容應保持相對的統一性、協調性。因此建議選修1-1、l-2與選修2-1、2-2內容上應完全一致，只是教學要求不同。
（2）個別教學內容的順序調整
例如，在模塊1中學習集合之后，我們把模塊5中的一元二次不等式移到這里教學，但是并非全章照搬，只介紹幾類簡單的不等式的解法，目的是只有學了常用的幾類不等式的解法之后，才可以解決許多集合問題及函數定義域的問題。不然有的學生初中沒有學，在這時就會遇到困難．也有的學校組織編寫了從初中到高中的銜接教材，對這方面的內容加以補充。再如為了分散數學5“數列與不等式”的難點，也考慮到線性規劃與直線的關聯性，可以將數學5不等式中線性規劃穿插到數學2“直線與圓”中學。
2.新教材的銜接
高中課程內容與順序的安排要考慮與初中和大學的銜接，要兼顧初中、大學的學習，更要關注學生自身的終身發展。
（1）初高中教學內容的銜接
在教材內容上，由于初中的課程標準與高中接軌不嚴密，導致有些知識脫節。如初中沒有介紹一元二次方程根的判別式、根與系數的關系，乘法公式的學習僅局限于平方差公式與完全平方公式，減少了立方和差、三數和的平方、兩數和與差的立方等公式。根式的學習中，也缺少了分母（子）有理化等研究，二元二次方程組的解法，十字相乘法分解因式等知識和方法沒有學，平面幾何中更是減少了許多內容，如平行線截線段成比例定理、三角形四“心”、圓中的垂徑定理及切割線定理等等，而這些內容高中經常用到，內容出現脫節，銜接不上。有些相同內容稱謂不一致，如三視圖，初中稱主視圖、左視圖，高中則稱正視圖、側視圖。
（2）初高中教學方式的銜接
初中由于內容較少，難度較低，一般學校大都采取“課前預習――課上展示――課后作業”的山東杜郎口教學模式，教學較為輕松愉快。但與初中相比，高中數學內容多、難度大、節奏快、注重邏輯思維和分析理解，一些學校教師很少用新課標倡導的教學方式，除非上級檢查或是上各類公開課、評優課，初高中的教學方式不能很好地銜接，使得學生在剛進入高中階段的學習顯得比較吃力。
（3）高中與其他學科知識的銜接
部分高中數學內容與其他學科知識銜接不好。一方面，其他科目用到的數學知識，數學沒有學到，例如，高一上學期物理（必修）力的分解問題，涉及到數學中的三角函數，而三角函數問題在高一下（必修4）才會學到。物體做勻加速直線運動的位移公式s=v0t+1/2at2中加速度a的數學意義a=v′（t）不理解，因為導數未學到。另一方面，數學用到其他科目的知識，其他科目還沒有學到，例如數學4“三角函數”在講函數y=Asin（?棕x+?漬）的圖像時，提到物理中的簡諧運動、交流電等都與物理課程不同步。
（4）高中與大學的銜接
大學與高中數學的銜接脫節更為嚴重，主要的表現有以下情況：（1）兩頭不管：對高中未學知識（函數與數列的極限），大學教材的編著者誤以為是高中的必修內容，在自己的教材中未予補充，從而造成了大學和高中兩頭不管的結果。（2）前后不一致：對同一內容，高中和大學的表述、名稱或符號等不一致。
3.新教材的進度
現在有些地方為了高三有更多的總復習時間，高一高二的教學進度太快，尤其是高一每學期要學兩本書，學生剛剛從初中升入高中，進度、難度驟然大增，思維方式、學習方式驟然改變，學生很不適應，很難很好地銜接，“水過地皮濕”，造成很多“夾生飯”。還有的地方高二過早文理分科，造成文科“膚皮蹭癢磨洋工”，理科“緊鑼密鼓趕進度”。個別學校或教師垂青于過程華麗泡沫，片面追求短期利益，高三一輪復習偏快，高三上學期就早早地結束了一輪復習，沒有到邊到沿、穩扎穩打、步步為營，為二三輪的復習埋下隱患。這些做法都給整個高中數學的學習造成很大的被動！這需要調整高中三年教學的整體進度，嚴格執行課程計劃，不能提前分科！
三思新教材與“三考”
1.新教材與高考
高考的目的有兩個：一是為高校選拔人才，二是對高中教學的導向與評價。高考的目的決定了其性質是一種常模參照性考試，即將個人考試分數與參考人員全體作比較，報告個人在全體中的相對位置。江蘇高考現行的模式就是“大圓套小圓”，4C1合格是大圓，選修1B1C是小圓，語數外達線是更小的圓，而數學就是這個更小的圓的圓心！因為在這種高考模式下，“成也數學敗也數學”，“得數學者得天下”已成廣泛的共識！
那么作為一線的數學教育者我們首先只能適應高考，一方面我們要把握好教材進度，注意與初中的銜接，夯實基礎，文理分科不宜過早，高三不要急功近利，要穩扎穩打、步步為營；另一方面在基礎年級不要動輒搬上高考題，美其名曰“瞄準高考”，孰不知高考題是到高三畢業時學生才能達到的水平（較基礎的題目除外），平時多加強定時訓練，只有“平時高考化”的嚴格規范，才能獲得“高考平時化”的淡然與從容。另一方面我們也要通過各種正常渠道向命題者反映中學教學的呼聲，使他們的命題以綱為綱、以本為本，多多調研中學教學，一切從實際出發。
2.新教材與大學自主招生考試
一張高考試卷，重點大學、普通本科院校、專科學校都靠它招生，這樣的試卷要具有各方面的兼容性，同時也有很大的局限性。大學自主招生便應運而生，然而大學自主招生，沒有傳統的考綱與模式，命題有很大“自由度”。這給學生帶來很大的煩惱，無法作應試準備。
自主招生考試以中學教育中的知識板塊為基礎，但范圍更為寬泛；自主招生考試注重考查學生綜合運用知識的能力，通過這個層面來了解考生的學術潛力；因此，需要幫助學生對中學階段的知識進行系統梳理，作合理、有效的深化和拓展，對特殊的技能和技巧加以總結、研究，從而對考生給予指導和點撥。可以在新教材相關章節鏈接引申一些內容，如函數的凸凹性、反函數、函數與數列極限定義、復數的三角形式與指數形式、重要不等式（柯西不等式、排序不等式）、圓錐曲線的光學性質、隨機變量的概率均值與方差等。
指導學生參加高校自主招生考試要從高一開始，不能靠高三突擊，還要注意以下問題：自主招生考試要高于高考，低于競賽；以高考中檔題為起點，避開競賽的技巧性，關注自主招生命題的創新性；著力于思維的發展，通性通法的運用，數學本質的揭示；避免繁雜的計算訓練，尋求簡潔優化的解法；不求面面俱到，只求突出核心內容；既關注高中階段基礎內容，也關注與高等數學銜接內容。
3.新教材與數學競賽
數學競賽雖然在高考中不加分，但一流高校對獲獎者很是情有獨鐘，可以參加其自主招生，或者干脆直接保送上大學，因此一些生源較好的中學對數學競賽尤為重視，但大多學校存在一個誤區，就是到高三才搞競賽，事實上高一高二才是基礎與關鍵。2010年我校數學競賽獲得了較好的成績就得益于我們從高一就物色競賽苗子，有針對性地輔導育苗，這是其一。其次，在新教材系統深入學習的基礎上，學校要配備專職的奧數教練員，畢竟數學競賽有其獨立的競賽大綱與競賽教程。教練員可以創造性地開展工作，如組織“每周一題”、“有獎攻擂”活動，成立數學興趣小組，自主學習、合作交流與教練指導相結合，鼓勵學生研讀與數學競賽有關的專業報刊雜志，大膽撰寫數學小論文等等；最后還要爭取學生家長的支持，利用節假日積極參加省市官方組織的數學競賽培訓，如夏令營、冬令營，因為這需要一定的經濟支出。
另外數學競賽不要孤立于高中教材的教學與大學自主招生考試之外，數學競賽的輔導最好做到高考、大學自主招生與數學競賽“一石三鳥”。
綜合考慮新教材的內容、順序銜接與進度以及新教材與“三考”，高中數學課程內容與順序可大致安排如上表。
說明：1.數學1―數學5是指重組后的必修模塊，而不是原課標模塊；2.A類課程為文科類、理科類參加高考的學生設置，B類課程為文科類、理科類參加高考、大學自主招生考試的學生設置，C類課程為文科類、理科類參加高考、大學自主招生考試、數學競賽的學生設置。
沒有破繭的陣痛，就沒有化蝶的精彩！任何改革都有痛苦，數學新課程改革也不例外。痛定思痛，我們既要銳意改革，又要冷靜“三思”，更要思而后行！使新教材更好地為數學教育教學服務，使我們的數學新課程改革盡快開花結果！
參考文獻
[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）.北京：人民教育出版社，2003.
高中數學競賽范文第3篇
身邊總有人問：你兒子這么優秀，你是怎么培養的？其實，用我兒子的話說，他不過是個普通得不能再普通的菜鳥。如果非要說有什么經驗，我覺得就是在他的中小學階段，我針對他的自身情況，揚長避短，讓他走出了一條適合他自己的道路而已。
了解兒子，我走了一步險棋
2005年，15歲的兒子張小林考進了南開中學理科實驗班。
自從考進天津市這所最棒的中學后，他每天放學回家都興奮地給我講班里的見聞：誰誰中考時總分差兩分滿分，誰誰已經通過了英語托福考試，誰誰的鋼琴已經達到了八級……語氣里充滿由衷的佩服和自愧弗如的羞慚。我靜靜聽著，一邊為兒子有這么多出色的同學而高興，一邊暗想：在這個優秀的新集體中，如何幫助兒子展示出他的優勢，綻放出他獨特的光彩呢？
很快機會來了。開學一周后，老師通知大家要進行摸底考試，并讓大家報名競聘班干部和課代表。兒子爭強好勝，況且他向來是“數學王子”——以前獲得過天津市初中數學聯賽一等獎，中考時更是以119分的好成績成為當年天津市的數學冠軍。這個理科尖子生，熱切地想在新集體中展示自己，得到老師和同學們的肯定和欣賞。
我的兒子我了解。張小林喜歡戴高帽，別人一表揚就上勁兒，但是他不是一個越挫越勇的人。在小學和初中階段，老師一直反映他坐不住、貪玩，而他的各科成績也就是中等而已。也許在學校挨的批評太多，無形中他形成了差生心理：平時考試只要不是倒數就很泰然，常說的一句話是：還有誰誰在我后面呢！我們當父母的聽了非常痛心。我知道我兒子并不差，他天資聰穎，學習時非常專注，只是好動、粗心、懶散而已。現在他上高中了，最好有個小職務來約束他，讓他在老師和同學的肯定中嚴格要求自己，陽光燦爛地開始高中生活，所以我比兒子更希望他能當上數學課代表。
但我低估了天性和習慣的力量。生性粗心大意、懶散貪玩的張小林，從小學到初中，考得最好的兩次就是小升初和中考，他的平時成績都是中等。所以，進入高中后的這第一場考試，雖然他自以為認真地檢查了多遍，但成績還是讓人沮喪——全班45人，他的總分是全班第33名；數學平均分75分，他考了76分。數學課代表自然與他失之交臂。
這次考試讓兒子大受打擊，此后幾天他一直情緒低落，連打籃球都懶洋洋的。同時，我發現，晚上該學習的時間他都在玩電腦游戲，起初說他他還關機，后來他似乎在其中找到了不可替代的樂趣，每天吃完晚飯后干脆躲在自己房間里，自顧自地沉醉在虛擬的網絡世界里。
我好說歹說都不起作用，看他整晚沉浸在電腦游戲中，我非常著急。我想，我必須幫他找到學習的樂趣和自豪感，否則，他會被電腦游戲毀掉的！
要想幫助兒子找到學習的樂趣，就必須了解他學習上的長處。我總結了一下，發現兒子的優點是：理性思維好，有短時間內快速掌握知識的能力，解難題時優勢明顯，關鍵性大考不掉鏈子，沉著冷靜；缺點是自控能力差，貪玩，粗心。
分析了兒子的優缺點后，我想不妨先強化孩子的理科，讓他先在這些學科上脫穎而出，找回自信，然后帶動其他學科。孩子在摸底考試中受到打擊，以為自己不是學習的好材料，才有了放棄學習的想法。現在，他需要一個有更高難度的考試來證明自己的實力。
正好一周后全區有個高一、高二年級的數學學科競賽，難度相當于全國“希望杯”中學數學競賽難度，而20天后天津市還有一個高中數學聯賽預賽。這讓我眼前一亮。
我故作輕松地對正忙著玩電腦游戲的兒子說，就像跳水比賽，咱挑難度系數高的參加吧，參加高二數學競賽和高中數學聯賽。我當時是這樣想的：挑難的考，考好了是意外驚喜，考砸了也有理由，避免他因為失敗再受打擊。
兒子其實是心智成熟晚的孩子，聽我這么一說，驚疑地停下游戲，問：“媽，你沒病吧？就我？”
盡管我心里沒底，但依然用充滿信心的語氣堅定地說：“對，媽看好你，你一定能行！今晚你趕快做完作業，咱們各做半套高一和高二的數學‘希望杯’競賽題就知道了。”
這是一步險棋，我是利用了孩子在大事上對我的一貫信任！
言之鑿鑿，我贏得了兒子的信任
記得張小林在小學四年級時，我托人把他從普通小學轉到市重點小學。雖然在轉學考試中他成績不錯，但普通學校和重點學校的教學水平差距在短期內還是凸顯出來，比如數學，他在原來學校只學過課本內容，而重點小學卻從小學一年級開始就同時學習一本數學發散思維方面的課外教材。
怎樣幫孩子盡快縮小和新同學之間的差距？我還沒來得及想出解決問題的辦法，就被告知：下個禮拜六將有一場全區的小紅花數學學科競賽預賽，為增大參賽基數，老師建議同學們都參加。班主任詢問后發現，全班只有我兒子一個是從沒上過課外輔導班的。
全區進復賽名額有50個，我當然希望兒子能進復賽。但是臨時找老師輔導已經來不及了，我仔細研究了近幾年天津市小紅花數學學科競賽的試題難度和類型，然后去書店挑了一本競賽教材。次日是星期六，早上八點，我叫醒兒子，用鼓動性的語氣說：“兒子，快起來，咱們用這兩天的時間做完這本競賽教材，你肯定能進入復賽！”
10歲的孩子，正處在容易相信媽媽話的年齡。那兩天，他真的除了吃飯睡覺，就是乖乖地和我一起看書做題：每一章節，我們都一起看例題，看書中講解的方法，然后趴在床上消滅課后習題。基本上，不等我抄完下道題，他已經做完了上道題。每做完一章，我們都擊掌慶賀。看到自己攻克了一道道難關，聽到媽媽的由衷贊美，兒子學得十分開心。
兩天時間，他真的順利吃掉了整本競賽教材。結果他的預賽成績全區第一，并獲得特等獎。在此后的天津市小紅花數學學科競賽中，他以滿分成績獲得了一等獎。
就這樣，我以這種系統突擊學習的方式，以一本合適的課外教材為老師，不但快速幫助兒子補齊了和新同學的差距，還讓兒子一下子樹立了強大的信心。
通過這次實踐，兒子對我的預言深信不疑。
從小學四年級到六年級，他又連續4次獲得天津市本年級和高一年級的數學學科競賽一等獎，被學校老師和同學們稱為“數學大王”。
兒子再次被我的預言說中，是在2005年的春天。他那時上初三。因為他不喜歡化學，每次考試化學成績都在六七十分徘徊，我很著急，化學老師也因此多次找我。在化學老師再一次找我之后，我決定動員兒子參加三天后的全區化學競賽預賽——我是想以這種方式，促使兒子在短時間內把所學的化學知識復習一遍。
但是兒子堅決不干，說自己化學基礎差，而且預賽馬上就到了，時間太緊。我黔驢技窮，只好妥協，并裝出很有把握的樣子告訴他：“這樣吧，你只要把我挑出的20道題認真做了，我保證你能進復賽！”
20道題，題量不大，孩子想了想覺得能接受，就勉強答應了。但是為了挑這20道題，我翻了多本教材，用盡了心思。結果幾天后，兒子高興地告訴我：“媽，你真是個預言家！”他以全區第二名的成績進入復賽。從那以后他對化學興趣大增，成績自然水漲船高。而我換來的是，兒子對我的頂禮膜拜和對我的預言深信不疑。
所以此次看我言之鑿鑿，他可以入圍高二數學競賽和天津市高中數學聯賽預賽，兒子爽快答應，打完這局游戲就做題。
接連奪冠，兒子一路灑滿陽光
讓兒子選擇高年級競賽，我的設想是有現實基礎的。像其他孩子一樣，兒子中考后的那個暑假，也是在課外輔導班中度過的。不同的是，我給他報的班是名師講授的高三復習班——高三復習班是從高一第一章第一節開始學習的，而且有各種深化內容的小綜合專題。兒子性格中有種不畏難、喜歡挑戰的特性，他的學習熱情空前高漲，在這個幾乎全部來自天津知名重點學校的高三學生中，他每次做題都是第一，頻頻得到老師的表揚。短短一個暑假，他就學完了高二上學期的全部內容。
這天晚上，做完文科作業，還不到晚上9點。兒子去洗了個澡，然后鄭重地坐在燈下，開始做高二年級往屆的“希望杯”競賽題。謝天謝地，我看到前面的題，兒子幾乎都是在秒殺。40分鐘后，他做完并檢查了考試時間為120分鐘的整套試卷。幾乎滿分！我和兒子擊掌慶賀。那一刻，我們都有點百感交集。
基于以往的經驗，我知道要打贏一場競賽，必須選一本適合的教材。現在教輔書魚目混珠，如何分辨？我在網上搜索大量的相關信息，從數學吧到競賽高手的博客，最后功夫不負有心人，我搜到一本高中數學《奧賽兵法》。這本書被往屆參加數學競賽的高手稱之為“武功秘籍”。
為了讓兒子多點時間準備競賽，我去學校和他的數學、物理老師溝通，得到了兒子可以暫時不做這兩門功課的作業的允許。
從這天起，每天放學回家兒子都先玩一小會兒游戲，然后寫校內作業，這之后就專注地自學《奧賽兵法》，一天兩章，雷打不動。
每完成一章，兒子都會給我一個大大的擁抱，疲憊的臉上洋溢著快樂。我則會在他所學的章節目錄前畫上小紅花，簽上日期，和他一起分析此章中哪幾道題解法精妙，并做上標注；他較薄弱的知識點，我也都一一記著，在閑聊時提醒他，起到復習作用。就這樣，兒子每天進步一點點，頑強向前。
一周后，高一年級的張小林在全區高二年級的數學競賽中成績高居榜首，一時名聲大振。
兒子大受鼓舞，滿懷信心地迎接了不久之后的全市高中數學聯賽預賽。那些日子，每天他在燈下飛速做題，一杯杯地喝咖啡，疲乏至極，放下書本，躺在床上瞬間入睡——我為孩子的堅忍而感動，也為他的進步和成長而欣慰。
在高中聯賽預賽中，兒子順利進入復賽。2005年10月，在進入高中一個月后，在和天津市高二、高三學長的激烈競爭中，他過五關斬六將，最終獲得天津市高中數學聯賽一等獎，取得了名牌大學的保送資格，并成為他們學校歷史上第一個高一就拿到高中聯賽一等獎的學生。
2006年10月，進入高二的兒子再次獲得天津市高中數學聯賽一等獎，并以高一時參加高中數學聯賽的方法，把高中階段的物理學習順利學完，在和高二、高三學長的激烈競爭中，獲得2006年天津市高中物理競賽一等獎。
省市級高中數學、物理競賽一等獎，是含金量很高的獎項。而高中階段，就能獲得省市級高中數學、物理一等獎的，天津市不過兩三人。正是這樣的成績，使兒子提前接到了清華大學的錄取通知書，并成為天津市保送生中唯一免筆試、免面試的學生。
進入清華大學后，兒子再次迎來新的機遇。世界著名科學家、圖靈獎（相當于計算機界諾貝爾獎）得主姚期智先生親自出題、面試，從當年清華大學所有新生中進行挑選，組建“軟件科學實驗班”，后更名為“計算機科學實驗班”，這個班也被清華師生親切地稱為“姚班”。“姚班”只有30人，致力于培養具有與麻省理工大學、斯坦福大學同等水平的世界頂尖計算機科學人才。
高中數學競賽范文第4篇
一、有良好的學習興趣
兩千多年前孔子說過:“知之者不如好之者,好之者不如樂之者。”意思說,干一件事,知道它,了解它不如愛好它,愛好它不如樂在其中。“好”和“樂”就是愿意學,喜歡學,這就是興趣。興趣是最好的老師,有興趣才能產生愛好,愛好它就要去實踐它,達到樂在其中,有興趣才會形成學習的主動性和積極性。在數學學習中,我們把這種從自發的感性的樂趣出發上升為自覺的理性的“認識”過程,這自然會變為立志學好數學,成為數學學習的成功者。那么如何才能建立好的學習數學興趣呢?
1.課前預習,對所學知識產生疑問,產生好奇心。
2.聽課中要配合老師講課,滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預習中的疑問,把老師課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂。及時回答老師的課堂提問,培養思考與老師的同步性,提高學習興趣,把老師對你的提問的評價,變為鞭策學習的動力。
3.思考問題注意歸納,挖掘你學習的潛力。
4.聽課中注意老師講解時的數學思想,多問為什么要這樣思考,這樣的方法是怎樣產生的?
5.把概念回歸到自然中。所有學科都是從實際問題中產生歸納的,數學概念也應回歸于現實生活,如角的概念、直角坐標系的產生、極坐標系的產生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現實才能使對概念的理解切實可靠,在應用概念判斷、推理時會準確。
二、建立良好的學習數學習慣
習慣是經過重復練習而鞏固下來的穩重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數學習慣,會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是:多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中,要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言,并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學時間,以便加寬知識面和培養自己再學習的能力。
高中數學競賽范文第5篇
關鍵詞：高中數學 學科特點 學習方法
數學是一門最能夠體現一個人的邏輯思維能力、綜合判斷能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力的學科，同時數學也直接影響著我們國民的生活質量與基本素養。良好的數學修養將會為我們的人生奠定穩固的基礎。所以在中學學習階段，對數學的學習顯得格外重要。
一、高中數學的學科特點
1.高度的抽象性
所謂抽象就是在思想中分出事物的一些屬性和聯系而撇開另一些屬性和聯系的過程。[1]利用抽象的特點，我們可以除去很多不重要的因素，抽取事物的本質特征，并且用“純粹”的方式單獨地研究它們，由此來發現事物的發展規律。高中數學首先以其研究的基本內容的高度抽象性來反映其抽象性的特點。由于高中數學高度的抽象性這一特點，在平時的教學中，必須要以發展中學生的抽象能力作為突破口，從具體的事物中提煉出數量關系和空間形式，把實際問題轉化成數學抽象問題，從中來培養學生的空間想象能力與抽象能力。初中數學主要是通過形象、通俗的語言來表述的，但是高中數學卻充斥著大量的函數語言、集合符號語言以及圖像語言，大大增加了數學的抽象性。
2.嚴密的邏輯性
在高中教學中，邏輯的嚴密性表現為思考過程中嚴格的邏輯規律，研究問題的時候必須要準確、嚴密。數學是嚴密邏輯性的學科，其根本特點之一就是思維的嚴密性。可是，由于高中學生的心理特點和對待問題的認知水平不同，他們處理和思考問題的過程中，思維并不嚴密，常常出現概念模糊、推理錯誤等等現象。初中數學中很多題目都有統一的解題模式，但是高中數學卻在解題方法上靈活多變，思維方式有了很大的改變，在邏輯思考過程中要求更加嚴密。
3.應用的廣泛性
在平時的工作、生活以及日常生產過程中，普遍存在著數量關系和空間形式，數學都具有廣泛的應用。隨著信息技術的發展，數學已經與各行各業產生了緊密聯系。從衛星到核電站，從天氣預報到家用電器，新技術的高精度、高速度、高自動、高安全、高質量、高效率等特點，無一不是通過數學模型和數學方法并借助計算機的計算控制來實現的。[2]從一定意義上來說，信息技術就是數學技術，信息技術的發展也依賴著數學技術的進步。
二、高中數學的學習方法
1.培養良好的學習興趣
教育學家烏申斯基曾經說過：“沒有絲毫興趣的強制學習，將會扼殺學生探求真理的欲望”。興趣是最好的老師，有了興趣才能對學習投入百分百的主動和積極性。對于學習高中數學，喜歡它的人就要比不喜歡它的人更容易接受，而且在學習的過程中更容易收獲到快樂。如何讓中學生對數學產生濃厚的興趣呢，主要從以下幾個方面：課前預習，對遇到的問題產生疑問，引發自身的好奇心；在上課的過程中，帶著預習產生的疑問，配合老師的教學，特別是在老師提問的時候，保持高度的同步性，并且把老師的提問當成一次有效的鍛煉，不斷鞭策自己，時刻保持上課時候的興奮感與緊迫感；注意歸納總結，得出自己的結論觀點，挖掘自身潛力；遇到不懂的，多提問題，在提問解惑的過程中，領悟知識；把抽象的數學理論知識回歸于現實生活，切實理解所學的數學概念、解題思路。
2.建立良好的學習習慣
習慣是經過長時間重復練習而養成的不易改變的生活方式。建立良好的學習高中數學習慣，將會讓學生在學習的過程中不會雜亂無章，反而秩序井然并且輕松快樂。學習高中數學的良好習慣應該是：善于提問、勤于思考、樂于動手、注重歸納、擅長運用。中學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。[3]同時，還要保證一定的空余時間來自學，拓寬自身的知識面，培養自學能力。
3.合理規劃學習內容與目標
由于高考的壓力，高中時期的學習更為緊張而忙碌，每個學生都要投入大量的時間與精力，如果沒有一個合理的規劃，很多學生都會因為盲目而無從下手，最終大致成績上不去。要想成績得到迅速進步，就要根據自身情況制定一個合理的、可行的、長遠的學習計劃以及學習目標。今天要掌握哪些內容、下次考試成績要達到什么樣的水平，等等。除此之外，還要規劃好自己的學習時間，利用好上課時間以及課余時間，同時也要保證一定的空余時間，以作出合理的微調。
4.鍛煉自己各方面的數學能力
數學能力包括邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力等五大能力。[4]初中數學主要是靠多多練習，而高中數學則要求學生要有領悟能力。在日常的學習和生活中，可以經常參加一些數學競賽、智力游戲等學習實踐活動，在活動過程中，學生一定要全身心的投入其中。同時也要注意觀察身邊的事物，通過抽象實體、推理分析，鍛煉自身的學習理解能力，時刻注意培養各方面的數學能力，最終達到各方面的數學能力全面發展。
三、結語
數學是美的，它的美體現在高度的抽象性、嚴密的邏輯性、應用的廣泛性。正因為的它的美，很多人都想把學好。特別是在中學階段，高中數學又有著它獨特的學習方式。只有掌握了正確的學習高中數學的方法，才能將數學應用自如。
參考文獻：
[1]黃翠松，放大數學學科特點，提升實踐探究能力――新課改下高中數學探究性教學策略運用[J].考試周刊，2011（48）：21
[2]周景明，數學教育要回歸數學學科特點[J].內蒙古教育，2013（3）：29
