拋物線的標準方程

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拋物線的標準方程范文第1篇

關鍵詞：拋物線；翻轉課堂；教學設計

一、研究背景及意義

圓錐曲線是高中課程的重要內容，拋物線是圓錐曲線之一，與之前學習的橢圓與雙曲線相比相對比較復雜。此外，拋物線在初中階段學習一元二次函數的時候接觸過，學習者很可能將拋物線錯誤地定義為“二次函數的圖像”。因此，如何更好地講解《拋物線及其標準方程》顯得尤為重要。

總結前人[1][2][3]所做的研究可以發現對于拋物線的教學設計研究者大都是在傳統課堂的基礎上進行的。《拋物線及其標準方程》這一節內容難度較大，整節內容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。因此，僅利用課堂上45分鐘時間，學生很難真正掌握這部分內容。

翻轉課堂是教學流程變革所帶來的，教學環節包括課前、課中、課后三個主要教學環節以及評價、診斷兩個輔助教學環節[4]。利用“翻轉課堂”進行《拋物線及其標準方程》教學。

通過課前，課中，課后這三階段的教學，學生可以分步驟掌握這部分內容；另外，可以反復觀看視頻加深對內容的理解程度。這樣可以達到分解知識內化的難度，增加知識內化的次數，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。因此，在翻轉課堂的教學模式下研究拋物線及其標準方程是具有一定意義的。

二、教學案例

（一）教材分析

《拋物線及其標準方程》是選修2-1的第二章《圓錐曲線與方程》。教材內容的順序是：曲線與方程-橢圓―雙曲線―拋物線。可以減少了學生的認知障礙。

（二）學情分析

學生對拋物線的幾何圖形已經有了直觀的認識。并且對圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認識。

（三）教學目標

（1）動手實踐，體驗拋物線的形成過程從中抽象出拋物線的幾何特征；（2）掌握拋物線的定義和標準方程；（3）進一步感受類比，數形結合的重要思想方法；（4）感受拋物線的廣泛應用與文化價值，體會數學美。

（四）教學重難點

教學重點：1.掌握拋物線的定義與相關概念；2.掌握拋物線的標準方程。

教學難點：1.從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義；2.建立合適的坐標軸求解拋物線的解析式。

（五）教學過程

1.課前教學過程的設計（問題引導，觀看視頻）

（1）問題引人，溫故知新。

教師活動1：思考以下幾個問題：？做出函數 的圖象。？求到點F（0，2）與直線l： 距離相等的點的軌跡方程，并作出其圖象。

設計意圖：激發學生的學習興趣。

教師活動2：根據學生的回答，對以上問題進行總結，并且提出新問題：我們可不可以把拋物線定義為二次函數的圖像呢？為什么？

設計意圖：糾正學生頭腦中“拋物線就是二次函數的圖像”這一錯誤觀念。

（2）動手操作，探究新知。

教師活動3：提問：那么拋物線到底是如何形成的呢？播放微視頻（首先呈現生活中的拋物線，接著演示拋物線的形成過程，并給出操作步驟）。

設計意圖：調動學生的學習興趣，提高他們的動手實踐能力。

教師活動4：提出問題：1.在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？2.在作圖過程中，繩長，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量沒有變？哪些量變了？

設計意圖：引導學生發現拋物線的幾何特征。

教師活動6：提出問題：試著給拋物線下個定義。

2.課中教學設計：（繼續探究，小組討論，觀看視頻）

（1）類比遷移，自主探究。

教師活動1：給出拋物線的定義。提問：類比之前學過的橢圓以及雙曲線，試著選擇合適的坐標系并求解拋物線的方程？

學生活動1：學生自己選擇建系方式，并求出對應的拋物線方程，然后小組討論，選出最佳建系方式，并求出其相應的拋物線方程。

教師活動2：播放微視頻（總結學生可能會想到的三種建系策略，并用以前學習的二元一次函數圖像的平移來解釋選擇坐標系的原因。）

設計意圖：培養學生用類比法解決問題的能力；體現學生的主體地位。

教師活動3：思考：橢圓與雙曲線各有兩種標準方程，拋物線有幾種呢？并思考原因。

學生活動3：小組討論。并匯報各小組探究的結果。

教師活動4：思考拋物線的標準方程與其焦點坐標與準線方程的關系。

設計意圖：加快解題速度。

（2）課堂作業，學以致用。

教師活動5：例1：？拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標與準線方程；

？一直拋物線的焦點是F（0，-2），求它的標準方程。

（3）學生總結，教師提煉。

教師活動6：要求學生回憶本節課的教學，鼓勵學生進行總結。對學生的小結進行補充。

3.課后教學設計（問題探究，拓展知識）

拓展作業：

初中我們已經知道對于一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，a影響其開口方向和開口大小，類比a對一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像的影響試著研究對于拋物線y2=2px，p對拋物線的影響。

設計意圖：將課堂的數學探究活動延伸到課外，使學生進一步體會類比思想方法對于數學研究中的意義。

三、小結

《拋物線及其標準方程》整節內容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。傳統課堂的45分鐘顯然不能使學生完全理解掌握全部知識點。因此，本節課筆者采用翻轉課堂。課前，學生通過反復觀看微視頻進行深入的思考，并在老師的引導下，體會拋物線的基本特征，最后給拋物線下定義；課中，討論與交流建系策略以及標準方程，通過觀點的相互碰撞深化學生的認知。課后，布置相應的探究題，拓寬學生的思維。這樣學生可以分階段分步驟掌握這部分內容；另外，可以反復觀看視頻加深對內容的理解程度。這樣可以達到分解知識內化的難度，增加知識內化的次數，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。

參考文獻：

[1]劉為宏，趙瑜.《拋物線及其標準方程》教學新設計[J].中學數學研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《拋物線及其標準方程》教學實錄與反思[J].福建中學數學，2015（12）：26-18

拋物線的標準方程范文第2篇

一、引思――訓練思維的流暢性

師：請同學們思考兩個問題：

1、我們對拋物線已有了哪些認識？

2、二次函數的圖像拋物線的開口方向是什么？

生：在初中數學中，拋物線是二次函數的圖象；在二次函數中研究的拋物線，有開口向上或向下兩種情形。

師：（通過課件展示圖片）實際上，在生活中存在著各種形式的拋物線，隨處可見。比如綻放的煙花、結實的拱橋、美麗的彩虹、探照燈的軸截面等，還有一些運動形成的拋物線，投籃運動、拋球運動等形成的軌跡都是拋物線，說明拋物線在實際生活中無處不在，那么今天我們就對于拋物線進一步研究，體會拋物線的美妙。

通過圖片的展示，使學生切實感受到了現實生活中確實存在許許多多的拋物線，這樣真實的感受讓學生能夠認識到學習拋物線的現實意義和必要性，為學生下面進行積極的思維奠定了良好的基礎。

師：下面我們來看拋物線可以怎樣畫出（演示拋物線的形成），請同學們仔細觀察畫圖的過程，給出拋物線的定義。

生：平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

師：（再引導）由前面橢圓、雙曲線的學習我們可以知道這里的定點及定直線通常叫做什么？

生：定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。

評述 課堂上對定義的教學，一般都是老師講，學生被動聽，這種被動的學習方式扼殺了學生思維的積極性和主動性，難以煥發出思維的活力，更談不上學生的積極參與，他們在認識上只是依賴淺層次的策略。引導學生積極思維，得要讓學生有直觀的認知，具備一定的基礎知識，以達到訓練思維的流暢性。

二、順思――訓練思維的層次性

師：為了能夠順利的對拋物線進行研究學習，并研究與拋物線相關的問題，下面我們來求出拋物線的標準方程。這實際是求曲線方程的問題，首先要考慮求曲線方程軌跡的基本步驟是什么？

生：①、建立直角坐標系，設動點為(x,y)；②、寫出適合條件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最簡（并注明條件）；⑤、證明（常常省去）。

師：那我們現在遇到的第一個問題就是如何適當的建立坐標系，使求出的拋物線標準方程最簡呢？設焦點到準線的距離為常數P(P>0)。

生：取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，準線為y軸。

師：很好！這是我們的一般方法，但是回想在初中學習的二次函數圖象的頂點在坐標原點時，二次函數的表達式才是最簡的，由此可以想象取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，垂足為K，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，所得方程更為簡單。（展示了思維的層次性）

在這里，老師將學生的習慣思維和原有的知識作以對比，引導學生通過不同的角度思考問題，有助于學生思維層次的提高，考慮問題顯得更加細致周到。

師：下面我們就進行推導，

如圖，取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設動點M的坐標為（x，y） ，由拋物線的定義可知，化簡得此處推導簡潔到位，同時對于舊知識也進行了復習，處理得當。

師：我們再按照最先想到的做法進行推導，與前面的結論作以對比。

如圖，若以準線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準線L:x=0由拋物線的定義，可導出拋物線方程為比較之下，顯然方程 更為簡單。

此處讓學生動手實踐，通過自主對比找出最簡結果，通過這樣的體驗能夠加深學生對結果的理解認識，并再次熟練了推導的過程，培養了學生探索的精神。

評述 通過從不同的角度對問題進行深入的思考，先產生一個直覺上的認識，再進行實踐，對比結果發現最優結果，增強知識的系統性，對相關問題進行聯系。同時，讓學生對所考慮的問題進行自主研究，從而使思維達到一個較高的層次。

三、延思――訓練思維的變通性

師：我們所推導的方程

叫做拋物線的標準方程。其中 p 為正常數，它的幾何意義是：焦點到準線的距離。

方程 表示的拋物線，其焦點位于X軸的正半軸上，其準線垂直于X軸的負半軸，即焦點為準線為。

但是，一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式。請同學們思考拋物線的標準方程還有哪些形式? 其它形式的拋物線的焦點與準線呢？（鼓勵與激發全班同學參與）

一石激起千層浪，此處的提問使學生又一次的展開了思維，在考慮到各種情形后，進入到對方程的研究，學生自然的想到能否利用前面的結果加以解決，這樣的變化讓學生的思維也發生了一些變通。

師：大家已經想到了還有開口方向朝左、朝上和朝下幾種情形（展示拋物線的各種形式），我們先來考慮開口朝左的情形。請問大家從圖象上觀察與朝右的情形有什么聯系？

生：（急切的回答）關于y軸對稱！

師：那對于方程的研究有什么幫助呢？

生：（脫口而出）圖象關于y軸對稱，即圖象上的點是關于y軸對稱，而關于

y軸對稱的點橫坐標相反，縱坐標不變！故開口朝左的方程為

師：很好！大家的思維非常棒！看來同學們是用形與數的關系解決的，那么對于開口朝上的又如何考慮呢？能否用剛才的辦法呢？（激發學生的思維）

生：（對比圖象之后）開口朝上的圖象可以看作是將開口朝右的圖象按照逆時針方向旋轉90°而得到的！

師：觀察得很好！可是我們并沒有學習過旋轉變化呀！那么能不能把這個旋轉變化歸于我們學習過的對稱變化呢？請大家再觀察。（進一步激發學生的思維）

生：由于是逆時針方向旋轉的了90°，因此可以看作是關于直線對稱！

師：非常好！那么我們的問題就可以得到解決了！具體如何給出方程呢？

生：關于直線對稱的兩點互換了橫縱坐標，因此將開口朝右的方程中的x、y互換位置即可！即方程為。（展示了思維的靈活性）

師：分析的非常到位，那最后一種情形很容易就可以給出結果了！我們一起來完成下面的表格，鞏固知識。

通過引導和提問，使學生積極的思維，自主觀察研究解決問題，提高了思維的變通性，激發了學生的學習熱情！

師：想一想，怎樣把拋物線的位置特征(標準位置）和方程特征（標準方程）統一起來？以便我們記憶！

生：從開口方向來看可分為上下型和左右型；上下型x帶平方，左右型y帶平方；朝負方向帶負號，朝正方向則不帶！

師：很好！通過這樣的統一歸類，我們記憶起來就更加的容易了！

通過歸類研究，培養了學生提煉知識的能力，養成了學生總結的習慣。

評述 這部分內容是本節課的重點，在教學的處理上也是難度比較大的，直白的給出使學生接受時比較困難，也不利于以后的記憶和應用，通過一系列的引導，使學生充分的參與進來，積極的思考，在高效的學習過程中，不知不覺中提高了學生思維的變通性，能夠應對不斷變化的問題，使知識的反饋面更加廣泛，知識的綜合運用性更加深化，達到了訓練學生思維變通性的目的。同時，利用舊方法，通過遷移解決新問題，極大的提高了學生的能力，這正是高考考察的重點！

四、反思――訓練思維的深刻性

知識點學習結束，不能看成是相應的數學活動終結，也不能意味著學生真正的掌握了知識，還要通過具體的問題對知識加以深化和鞏固。

師：下面我們通過具體例子深化對拋物線方程及相關量的認識并鞏固之。

例1：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程

師：若已知拋物線的標準方程，求其焦點坐標和準線方程；或是已知焦點坐標和準線方程，求其拋物線的標準方程，應該注意什么呢？（訓練思維的深刻性）

生：“先定位，后定量”。

師：很好！我們先研究形的特點，然后再結合所學知識，解決相應的問題，這樣一來，思路就能夠十分流暢，而且還增強了嚴謹性。下面再通過一個例子來感受“先定位，后定量”。

例3：求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程。

分析：由點在第二象限，結合圖形知拋物線開口有朝上和朝左兩種情形。

解:(1)設拋物線的標準方程為

師：下面我們來看兩道高考題，希望同學們以最快的速度給出結果！（訓練思維的敏捷性）

練習:(2003• 天津卷) 拋物線的準線方程是y=2 則a的值為

（A） （B） （C）8 （D）-8

思考:(2000 • 全國卷)過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別為p、q則 等于

（A） 2a （B） （C） 4a（D）

生：練習中先將方程化為標準式，可知選B。

生：思考中同樣先將方程化為標準式，再由直線的任意性，可取垂直于對稱軸的直線加以計算，可知選 C。

師：非常好！說明我們對知識有了一個系統的掌握，希望在課后再加強練習以鞏固本節課所學的知識點。

評述 通過反思，可以認識到訓練思維品質的重要性，要使學生的思維具有嚴謹性、深刻性、靈活性、發散性、敏捷性，教師必須把課堂作為訓練學生思維的主要陣地，讓課堂煥發出思維的活力！

拋物線的標準方程范文第3篇

關鍵詞：探究學習；小組合作；問題意識

探究學習可以增加學生對數學的理性認識，加深對數學問題的理性思考，有助于培養數學思維意識. 本文從分析“拋物線及其標準方程”一節教學實錄出發，充分體現學生數學思維的培養，體現學生在當今課堂中的主體地位.

1.創設情境，導入新課

活動一：

師：在初中我們學習過二次函數的圖象就是拋物線.請同學們思考一下，生活當中，有沒有拋物線的的影子呢？請大家舉例.（學生思考片刻后，回答踴躍）

生1：拱橋、彩虹.

生2：投籃所形成的弧線.

師：很好，大家舉的例子都符合.

（課件展示圖片（大橋、彩虹、噴泉、投籃）和Flas：投籃運動，并配以優美的音樂）.

師：這節課我們將從曲線和方程的角度來學習拋物線.（引出本節課題：拋物線及其標準方程）.

【設計意圖】通過創設情境，激發學生的學習興趣，感受數學來源于生活.

2.問題引導，共探新知

活動二：

師：課前讓大家思考了教材64頁“信息技術應用”中提出的問題.（用ppt展示）

已知：點F是定點，是不經過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂

直平分線交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發現點M滿足的幾何條件嗎？

師：請同學們仔細觀察！（利用幾何畫板演示畫圖過程）

（學生觀察畫圖過程，積極思考并討論）

師：誰來談談自己的看法？

生4：點M隨著H的運動，始終有|MH|=|MF|.也就是點M與定點F和定直線的距離相等.

生5：點M的軌跡是拋物線.

師：很好，你們觀察得很仔細，值得稱贊.（學生鼓掌）請同學們嘗試一下，給拋物線下個定義.

生5：到點 F 的距離和到直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.

師：這樣歸納完整嗎？

生6：平面內到一個定點F 和到一條定直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.

生7：還要注意定點不能在定直線上.

師：為什么啊？

生8：如果這樣，就只能找到一個點.

師：我們繼續來思考：若定點F恰好在定直線上，軌跡會是什么圖形？（學生積極思考，相互討論）

生8：當定點F在定直線上時，滿足條件的點的軌跡是一條直線.

生9：且是過點F垂直于直線的一條直線.

師：大家覺得這兩名同學的想法可以統一嗎？（大家七嘴八舌，觀點基本一致）

師：說得很好！這里F 叫做物線的焦點，定直線L 叫做物線的準線.（教師板書：拋物線的定義：把平面內與一個定點F和一條定直線（不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.其中點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.）

【設計意圖】首先利用幾何畫板動畫演示拋物線的生成過程，可以起到化解難點作用.其次經歷了一次讓學生自行歸納、完善定義的過程，使他們對拋物線的定義有更準確的把握，印象更為深刻，同時也鍛煉了學生類比、歸納總結的能力.

活動三：

師：了解了拋物線的定義，接下來我們最想知道的就是拋物線的方程了，那么如何求拋物線的方程呢？

師：請同學們回想一下，之前我們學過的求曲線方程的基本步驟是怎樣的？

生8：建系；設點；列式；化簡；證明.

師：很好.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，我們該如何建系呢？（小組討論，集中探索）

（教師巡視，一段時間后用實物投影展示學生作品）

方案（一） 方案（二） 方案（三）

師：大部分小組都是上面三種建系方案中的一種.猜想一下，哪個好呢？

生9：方案二比較簡單.

生10：方案一比較簡單，它是以定直線為y軸，定點F在x軸上設計的，結果應該比較簡單.

生11：方案三以拋物線的頂點為原點，定點F在x軸上，具有一定的對稱性，結果應該更好一些.

師：看來大家的意見不是很統一啊！那就讓我們親自驗證一下吧！請同學們按照求曲線方程的步驟得出三種方案的拋物線方程.（提示：不妨設焦點F到準線的距離為p（p>0）.）

（一段時間后，找小組代表上黑板展示過程，師生共同點評）

方案一 方案二 方案三

師：同學們，哪種簡單啊？

生眾：方案三.

【設計意圖】這一環節，通過有啟發性的活動，使學生在分析探究中，不斷獲得解決問題的方法，有效解決教學重難點.

師：我們把方案三得到的方程叫拋物線的標準方程.注意這里標準的規范是頂點在原點，圖象關于x 軸對稱.（教師板書：拋物線的標準方程）

3.新知應用，鞏固提高

例1：求下列拋物線的焦點坐標、準線方程：

（1）， （2）

【設計意圖】熟悉焦點、準線與標準方程的關系.強調解決拋物線問題時要先轉化為標準方程.

例2：請同學們參照上面的例題，自編一道題目.

【設計意圖】培養學生創新、發散思維.

l結語

為了充分調動學生的積極性，本節采用“引導探究”式的教學模式，貫徹“教師為主導，學生為主體，探究為主線”的教學思想，通過教師的適時引導，生生、師生間的交流互動，啟迪學生思維；讓學生構建自己的知識體系，體驗合作學習的快樂.

參考文獻

拋物線的標準方程范文第4篇

關鍵詞： 非退化二次曲線 標準方程 切線方程

高中數學中解析幾何這部分內容里常有計算曲線的切線類問題，通用的方法是用代入法，即先把直線方程代入曲線方程，消去一元y后，得到關于x的一元二次方程，再利用判別式=0確定切線斜率，展開運算.這種方法運算量相當大，很容易出錯.下面對非退化二次曲線的切線問題進行歸類比較，得出簡單的公式，可以幫助我們輕松地解決此類問題.

1.圓的標準方程x■+y■=R■，過圓上一點P（x■，y■）的切線方程為xx■+yy■=R■.

這個結論容易證明.

證明：直線OP的斜率K■=■

過P點的切線方程為：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）

整理得xx■+yy■=R■.

圓的切線可以用求導函數的方法求斜率，但根據垂直二線的斜率積為-1，再利用過切點的半徑與切線垂直這一性質，就更加容易了.

2.橢圓的標準方程為■+■=1，過橢圓上一點P（x■，y■）的切線方程我們猜想為■+■=1.

證明：曲線在第一象限部分的函數方程為y=b■

求導得：y′=-■■

過P的切線斜率為k=-■■

過P點的切線方程為：y-y■=-■■（x-x■）

又■+■=1

整理化簡得■+■=1

和拋物線一樣，橢圓在第二、三、四象限部分的函數解析式略有不同，其證明方法相同.焦點在y軸上的橢圓的標準方程為■+■=1，其切線方程為■+■=1.

3.雙曲線的標準方程為■-■=1，過雙曲線上一點P（x■，y■）的切線方程為■-■=1.

證明方法和橢圓的切線一樣.焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為■-■=1，曲線的切線方程為■-■=1.

4.拋物線標準方程為y■=2px，過拋物線上一點P（x■，y■）的切線方程為yy■=px+px■.

證明：如圖，不妨取P（x■，y■）為第一象限點

曲線在第一象限部分的函數方程為y=■x■

求導得：y′=■■x■

過P的切線斜率為k=■

過P點的切線方程為：y-y■

=■（x-x■）

又y■■=2px■

整理化簡得yy■=px+px■.

這個結論是把標準方程為y■=2px化為y■=px+px之后，就容易想到了.證明中省略了對第四象限的部分，其證明方法相同.

拋物線的標準方程范文第5篇

【關鍵詞】考查的知識、能力、思維；思維障礙，試題解析思路，一題多解，變式與拓展，反思總結

題目：已知拋物線C：x2=2pyp>0上一點S（m，4）（m>0）到焦點F的距離為|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t>0）過P點的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值.

波利亞在《數學的發現》的序言中寫道：“中學數學教學首要的任務就是加強解題的訓練.”從近幾年的高考試題看，注重對教材中的基礎知識，基本技能，基本方法和基本思想的考查.這道題設計巧妙，知識覆蓋面廣.對于教師把握新課標要求更高，思維能力更強.能有效檢測教師的專業能力，教學能力和教研能力.同時又能考查學生基礎知識，基本技能，及解題時注重通性通法.還能培養學生的思維能力，提高學生的綜合素質，達到真正有效的教學.此題通過以下三個方面考查：

（一）考查要求

從知識方面：

（1）考查拋物線的定義，標準方程和簡單的幾何性質；

（2）直線方程，曲線的切線方程及導數的幾何意義，曲線與方程、不等式等多種知識之間的交叉、滲透和綜合.

從能力方面：

（1）培養學生運算求解能力；

（2）數形結合能力及識圖、析圖數據處理能力；

（3）化歸轉化能力，使學生知識形成系統性，各種能力得到整合，獲得全面發展.

從思想方法：

（1）幾何問題代數化；

（2）數中有形，形中有數，數與形的完美結合的思想；

（3）函數與方程的基本思想.

（二）學情分析

（1）第一小題考查拋物線的定義及幾何性質難度中等偏易的題，學生易錯點是求拋物線的準線方程，正確理解拋物線的定義；

（2）第二小題涉及太多點的坐標是未知的，首先應克服心理關.注意解題時的通性通法.繁難的計算如何逐步分解，盡量減少未知量分別求出Q，M，N的坐標，對于MN是曲線的切線，利用切線的幾何意義的處理.大部分的學生有一定的困難，或者理解M點在過N點的切線方程.涉及函數方程的思想方法求t的最小值是此題的難點，如何突破難點？怎樣讓學生構建一個有序的網絡化的知識體系，使學生各種能力得到整合，獲得全面的發展.通過對本題分析講解，一題多解，拓展與變式得以鞏固.

（三）析題

切入點：對問題（1）準確理解拋物線的定義，求m，p；對問題（2）減少未知量使用，用t表示P，Q，M，N點的坐標，利用數形結合，把幾何問題代數化.

關鍵點：分別求出P，Q，M，N的坐標，準確理解MN是曲線C的切線與N的導數值關系.存在P點就是PQ的斜率存在，關于k的方程有解.利用函數方程的思想，求t的最小值.

（四）解題

圖1

（1）解拋物線的準線y=-p2，則FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在拋物線上，m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）過P點（t，t2）斜率存在的直線方程可設y-t2=kx-t，聯立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.設Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的兩根，則x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直線QN與PQ垂直直線QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），聯立方程組y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

則又x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切線，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

關于k的方程有解則，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），t≥23，t的最小值23.

點評先確定PQ的直線方程，聯立方程組求出M，Q點坐標.QN與PQ垂直，確定QN的直線方程，求出N點坐標.直線MN與曲線C相切，利用導數的幾何意義，整理出關于t，k的方程，方程有解，從而求t的最小值.解題時注意通性通法，在不同知識交匯處要進行有效整合.解析幾何常常用“山重水復疑無路，柳暗花明又一村.”

第二小題解法2：設Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，則直線MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因為NQQP，且兩直線斜率存在，所以kPM?kNQ=-1.即2t22t-x0?x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直線PM上，則MQ與MP共線，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

點評分別設出P，Q，N的坐標，利用直線MN，求出M點坐標，直線PM與NQ互相垂直，又M，Q，P三點共線，用t表示x0，整理得關于x，t的函數利用均值不等式求t的最小值.第二種解法利用三點共線應用曲線方程與不等式知識的有效結合.

（五）變式與拓展

變式1已P知拋物線C：x2=2pyp>0，其焦點F到準線的距離12.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過M（0，1）作兩條直線l1，l2，l1與拋物線交于點A，B，l2與拋物線交于E，F，且直線AE，BF，且直線AE，BF交于點P，直線AF，BE交于Q點，求證：MP?MQ是定值.

變式2已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（C>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當點Px0，y0為直線l上的定點時，求直線AB的方程.