南開大學自主招生

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南開大學自主招生范文第1篇

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

在現實世界中，相等是相對的，不等是絕對的．不等關系是現實生活中最普遍的數量關系，不等式是刻畫不等關系的一種重要數學模型．不等式與數、式、方程、函數、導數等知識都有著天然緊密的聯系，是學習高等數學的重要基礎．在自主招生考試中，不等式問題主要分為三類：利用不等式求最值、解不等式、證明不等式．在本期內容中，我們討論用均值不等式和柯西不等式解決這三類問題．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（i＝1，2，…，n） ，記a1到an這n個正實數的平均數如下：調和平均數Hn＝■＝■，幾何平均數Gn=■=■，算術平均數An=■=■，平方平均數Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，當且僅當a1=a2=…=an時，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用頻率比較高．

柯西不等式： ai，bi（i＝1，2，…，n）為實數，則■■■■≥■aibi2． 若ai≠0，當且僅當■=■=…=■時，等號成立；若ai=0，默認bi=0，等號也成立.柯西不等式的二維形式為（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad＝bc 時，等號成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值時，要對所求的函數或代數式進行適當的“湊配”，“湊配”主要以“和為定值，積最大”“積為定值，和最小”為依據，在函數或代數式的轉化過程中找到定值．

利用柯西不等式求最值時，也要對系數進行適當的“湊配”，“湊配”的主要目的是把目標函數向柯西不等式的形式轉化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值時，都要注意等號成立的條件．

例1 （2008年南開大學自主招生考試試題） 已知正數a，b，c滿足：a2+ab+ac+bc＝6+2■，則3a+b+2c的最小值為 ．

解析：由題意可知（a+b）（a+c）＝6+2■，即a+b與a+c的乘積為“定值”． 3a+b+2c＝（a+b）+2（a+c）≥2■＝2■+2■，當且僅當a+b＝2（a+c）時，等號成立. 3a+b+2c的最小值為2■+2■.

例2 （2007年復旦大學自主招生考試第81題） 給定正整數n和正常數a，若a1，a2，a3，…成等差數列｛an｝且｛an｝滿足不等式■+■≤a，則和式■ai的最大值為

（A） ■（n+1） （B） ■n

（C） ■（n+1） （D） ■n

解析：根據題意，設｛an｝的通項公式為an＝a1+（n-1）d，則由題意得■ai＝■＝■＝■． 如何把■與■+■聯系起來呢？將■視作（-a1）2，在■+■前面乘以系數（32+12），根據柯西不等式的二維形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，可得（3an+1-a1）2≤（32+12）?［■+（-a1）2］≤10a，即3an+1-a1≤■. 當an+1＝-3a1，■+■＝a時等號成立． ■ai的最大值為■（n+1）． 選A．

三、利用均值不等式和柯西不等式求解代數式

利用均值不等式和柯西不等式解題時，若等號成立，不等式便可轉化為等式．據此，我們可以求出一些代數式的值．

例3 （2002年上海交通大學自主招生考試第10題） 若a，b滿足關系：a■+b■=1，則a2+b2= ．

解析：直接對a■+b■=1進行兩邊平方化簡，很難求出a2+b2的值． 如果我們聯想到a2+（■）2＝1，b2+（■）2=1，則由柯西不等式可得（a■+b■）2≤（a2+1-a2）（1-b2+b2）＝1.又由條件a■+b■＝1可知不等式a■+b■≤1能取到等號， ■＝■，化簡得a2+b2=1．

四、利用均值不等式和柯西不等式證明不等式

利用均值不等式和柯西不等式可以拓寬不等式證明的思路：借助均值不等式可以實現“和”與“積”的轉換，借助柯西不等式則能起到“降次、升冪、去分母”的作用．

例4 （2011年“華約”自主招生考試第13題） 已知函數f（x）=■，f（1）=1，f■=■，令數列｛xn｝滿足xn+1＝f（xn），x1＝■．（1） 求數列｛xn｝的通項；（2） 求證：x1?x2?…?xn>■．

解析： （1）由f（1）=1，f■=■解得a=1，b=1， f（x）=■．由x1＝■，xn+1＝f（xn）解得x2＝■，x3＝■，x4＝■，故猜想xn＝■．用數學歸納法證明：當n=1時，x1＝■=■成立；假設n=k時猜想成立，即xk＝■． xk+1=f（xk）=■=■=■， 當n=k時，猜想成立. ｛xn｝的通項公式為xn＝■ ．

（2） 要證x1?x2?…?xn >■，只需證■

到這里，解此題必用的結論■1+■n=e登場了，作為課外補充，該結論需要同學們牢記.

■1+■n=e， 1+■1+■?…?1+■■．

例5 （2008年南開大學自主招生考試試題） 設a，b，c為正數且a+b+c＝1．求證：a+■2+b+■2+c+■2≥■．

解析：首先來分析待證不等式的結構特征．由于不等式左邊是二次代數式的和，右邊是常數，而已知條件是一次代數式的和，所以我們要設法把不等式左邊的二次式降為一次式，再把一次式降為常數，這樣柯西不等式才會有用武之地．

a+■2+b+■2+c+■2=■（12+12+12）a+■2+b+■2+c+■2≥■1?a+■+1?b+■+1?c+■2=■1+■+■+■2=■?1+（a+b+c）■+■+■2≥■1+■?■+■?■+■?■22＝■（1+9）2＝■．

解題過程中兩次使用了柯西不等式，第一次等號成立的條件是a+■＝b+■＝c+■，結合a，b，c為正數和a+b+c＝1，解得a＝b＝c＝■．第二次等號成立的條件是a＝b＝c＝■．兩次等號成立的條件相同，故所證不等式成立．

例6 （2010年浙江大學自主招生考試第5題） 有小于1的正數x1，x2，…，xn且x1+x2+…+xn=1，求證：■+■+…+■>4 ．

解析：待證不等式右邊為常數4，左邊是一些分式的和，形式復雜，難以通分求和. 我們考慮從不等式左邊的分母著手，使之與已知條件相關聯：將不等式左邊的分母x1-■，x2-■，…，xn-■相加，和式中就出現了x1+x2+…+xn的形式.

由柯西不等式可得［（x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）］■+■+…+■≥n2． x1+x2+…+xn=1， （x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）＝1-（■+■+…+■）． 0

通過以上講解，我們發現，在求解不等式問題的過程中，均值不等式和柯西不等式起著“神來之筆”的作用．另外，排序不等式、琴生不等式的用處也很大，如果你掌握了它們，在自主招生考試中，或許會有意想不到的收獲．

排序不等式：

設a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，則有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（反序乘積和）≤a1br1+a2br2+a3br3+…+anbrn（亂序乘積和）≤a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn（同序乘積和）． 當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時，等號成立．

琴生不等式：

南開大學自主招生范文第2篇

關鍵詞：試點學院；教育教學改革；借鑒

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0101-02

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010―2020年）》的標明高等教育將進入全方位注重教育質量的新階段。人才培養作為高等教育的基本職能，是高等教育的核心任務，人才培養的質量問題是高等教育的核心問題[1]。提高人才培養質量是高等教育內涵式發展的必然要求，它要求大學不應再一味地追求規模、強調硬件，而必須潛心地追求教學質量[2]。然而，隨著高校的擴招，人才培養的質量問題不斷凸顯，主要存在規模結構不合理、辦學特色不突出、條件保障不健全等問題，大大阻礙了高等教育事業的發展。而破解高等教育發展深層次矛盾，關鍵在于深化體制機制改革。為此教育部于2011年啟動了試點學院改革項目，以創新人才培養體制為核心、以學院為基本實施單位，在所選取的17所高校試點學院推行綜合改革，并于2012年11月出臺《關于推進試點學院改革的指導意見》，提出24項支持性政策措施，進一步明確了改革的目標和要求。這項改革將是推進高等教育體制機制創新的重要突破口，對高等教育全面內涵式發展具有巨大的推動作用。本文將結合教育部試點學院的先進經驗，探索高等教育改革的有效途徑。

一、試點學院概述

試點學院是教育部設立的“高等教育教學改革特別試驗區”，也是高等學校里的“改革特區”。教育部共設立了17個試點學院，分別是：清華大學理學院、北京大學物理學院、上海交通大學機械與動力工程學院、中山大學管理學院、華中科技大學光電子科學與工程學院、北京師范大學教育學部、天津大學精密儀器與光電子工程學院、同濟大學土木工程學院、南開大學泰達學院、上海大學錢偉長學院、中國科技大學物理學院、浙江大學基礎醫學院、四川大學生命科學學院、北京航空航天大學能源與動力工程學院、北京交通大學經濟管理學院、蘇州大學納米科學技術學院和黑龍江大學中俄學院。

17個試點學院來自“985”高校、“211”高校、其他高校的比例分別是13∶3∶1，涵蓋工、理、經管、教育、醫學等5個學科門類（另1個綜合實體學院――南開大學泰達學院、1個培優類學院――上海大學錢偉長學院、1個國際學院――黑龍江大學中俄學院），比例為6∶4∶2∶1∶1，主要分布在華北、華東地區，占比分別是41%和35%。

二、試點學院改革舉措

圍繞教育部《關于推進試點學院改革的指導意見》，試點學院改革主要針對直接影響人才培養質量的生源、師資、培養模式以及體制機制保障等四個方面展開，立足各學院自身特點，實施了一系列改革措施。

1.招錄與選拔機制改革。在本科生生源招錄選拔方面，主要以創新基于國家統一高考的自主招錄方式為主，北京航空航天大學能源與動力工程學院強調從學校、學科、企業三個角度全面觀察選拔學生，設立了“三三制”自主招生委員會[3]；北京師范大學教育學部實行按一級學科大類招生[4]；天津大學精密儀器與光電子工程學院以實施工程科學“夏令營”和“冬令營”為抓手，選拔具有潛力的學生[5]。在研究生生源招錄選拔方面，主要以多元化評價方式為主，北京航空航天大學能源與動力工程學院優先鼓勵招收具有創新實踐活動經歷的學生，破格錄取具有特殊能力的學生[3]；北京師范大學教育學部采取碩士自主命題招生，博士試行“推薦―審核”招生，并單列招生計劃[4]。

2.人才培養模式改革。試點學院對人才培養模式的改革主要集中在改革課程體系、實踐教學、個性化培養以及文化素質培養等方面。如中國科學技術大學物理學院建立了以課程組為主導的教學與管理模式，即課程由教授“組團”來完成授課，每個教授至少參加兩個課程組以參與一線教學活動，同時制定了教授值班制度，以“Open Hour”的形式為學生提供與教授面對面交流的平臺[6]；北京交通大學經濟管理學院通過組建本、碩、博相互融合的新型學生學業團隊培養學生的學習規劃、科學研究和社會實踐能力[7]；天津大學精密儀器與光電子工程學院強調校企深度協同合作，建立融合社會資源的工程實踐基地，企業參與學生培養的同時學生可參與真實的企業實踐訓練，理論聯系實際，提高培養質量[5]；北京航空航天大學能源與動力工程學院強調學生的差異化對待和個性化培養，通過不同類型（科學型、技術科學型、工程型）導師的自由選擇，獲得適合自身特點和興趣愛好的“個性化培養方案”，進行差異化培養[3]；浙江大學基礎醫學院建立“知識、能力、視野、人文”四位一體的人才培養體系，強調提升培養拔尖創新人才能力[8]。