有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
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有理數(shù)的加減混合運(yùn)算范文第1篇
關(guān)鍵詞：有理數(shù)；運(yùn)算法則；思想方法；簡(jiǎn)便算法；活用分配律
在學(xué)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，常付出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤、運(yùn)算順序混亂、乘法與加法法則混淆等錯(cuò)誤。掌握一些計(jì)算的方法和原則，可在一定程度上避免這類錯(cuò)誤的出現(xiàn)，使運(yùn)算簡(jiǎn)便快捷。
一、透徹理解運(yùn)算法則
“同同加，異大減”簡(jiǎn)記加法法則：“同同加”概括加法法則中“同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加”；“異大減”概括加法法則中“異號(hào)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值”。這樣就形象易記，易把握住加法法則。
在進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，要“一定符號(hào)二相乘”。先是確定積的符號(hào)，再求出積的絕對(duì)值。可以說(shuō)積的符號(hào)問(wèn)題是有理數(shù)乘法的新特征。在進(jìn)行多個(gè)因數(shù)相乘時(shí)，我們可以總結(jié)出積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。“奇負(fù)偶正”，其實(shí)質(zhì)與乘法法則中“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”相吻合。這樣去把握既好又確切，實(shí)踐表明，可減少符號(hào)錯(cuò)誤的出現(xiàn)。
二、樹(shù)立轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法
根據(jù)所學(xué)的減法法則、除法法則及乘方的意義可知，減法運(yùn)算利用相反數(shù)轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算來(lái)實(shí)施，除法和乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算來(lái)實(shí)施，因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握“遇減化加，遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來(lái)的一些混亂，同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)的本質(zhì)問(wèn)題。
三、注重原則，使運(yùn)算有“法”可依，有“章”可循
針對(duì)學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)步驟過(guò)繁過(guò)簡(jiǎn)、運(yùn)算速度慢、準(zhǔn)確性差等問(wèn)題，為了有效地解決這些問(wèn)題，在實(shí)踐中切實(shí)把握如下原則：
1.同時(shí)性原則
對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算，怎樣分段呢？主要有以下幾種方法：（1）運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分為若干段。（2）括號(hào)分段法。有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。（3）絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，從運(yùn)算順序的角度來(lái)說(shuō)，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的。因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算。（4）分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。
2.最簡(jiǎn)性原則
體現(xiàn)在運(yùn)算中，計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來(lái)的就同時(shí)算出來(lái)；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。
3.整體性原則
體現(xiàn)在運(yùn)算中，乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分。加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)部分拆開(kāi)，分別統(tǒng)一計(jì)算。
4.口算原則
口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，但口算易出現(xiàn)錯(cuò)誤。一定要進(jìn)行有效的口算練習(xí)。實(shí)踐表明，習(xí)慣口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。
四、有理數(shù)運(yùn)算的靈魂
若我們對(duì)有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算仔細(xì)加以分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問(wèn)題。在有理數(shù)運(yùn)算中，加減法是統(tǒng)一的，乘除法是統(tǒng)一的，而乘方運(yùn)算則是特殊的意義，乘方也就不難掌握了，由此可見(jiàn)，轉(zhuǎn)化是掌握有理數(shù)運(yùn)算的靈魂。
總之，把我們所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來(lái)起來(lái)，可歸納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是通過(guò)絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法。二是通過(guò)相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法。三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式，若掌握了有理數(shù)符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段，有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了。窺一斑而見(jiàn)全豹，一葉知秋，正用或逆用乘法分配律，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，提高了準(zhǔn)確率。
有理數(shù)的加減混合運(yùn)算范文第2篇
以下是
1.2有理數(shù)1.2.1有理數(shù)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。1.2.2數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的作用：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表達(dá)。注意事項(xiàng)：⑴數(shù)軸的原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度三要素，缺一不可。⑵同一根數(shù)軸，單位長(zhǎng)度不能改變。一般地，設(shè)是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)－a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度。1.2.3相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。在任意一個(gè)數(shù)前面添上“－”號(hào)，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。1.2.4絕對(duì)值一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。比較有理數(shù)的大小：⑴正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。⑵兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。
1.3有理數(shù)的加減法1.3.1有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法法則：⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。加法交換律：a＋b＝b＋a三個(gè)數(shù)相加，先把前面兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1.3.2有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法來(lái)進(jìn)行。有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a－b＝a＋(－b)1.4有理數(shù)的乘除法1.4.1有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。ab＝ba三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。（ab）c＝a（bc）一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。a（b＋c）＝ab＋ac數(shù)字與字母相乘的書(shū)寫規(guī)范：⑴數(shù)字與字母相乘，乘號(hào)要省略，或用“”⑵數(shù)字與字母相乘，當(dāng)系數(shù)是1或－1時(shí)，1要省略不寫。⑶帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，帶分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)化成假分?jǐn)?shù)。用字母x表示任意一個(gè)有理數(shù)，2與x的乘積記為2x，3與x的乘積記為3x，則式子2x＋3x是2x與3x的和，2x與3x叫做這個(gè)式子的項(xiàng)，2和3分別是著兩項(xiàng)的系數(shù)。一般地，合并含有相同字母因數(shù)的式子時(shí)，只需將它們的系數(shù)合并，所得結(jié)果作為系數(shù)，再乘字母因數(shù)，即ax＋bx＝（a＋b）x上式中x是字母因數(shù)，a與b分別是ax與bx這兩項(xiàng)的系數(shù)。去括號(hào)法則：括號(hào)前是“＋”，把括號(hào)和括號(hào)前的“＋”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào)。括號(hào)前是“－”，把括號(hào)和括號(hào)前的“－”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。1.4.2有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。a÷b＝a? (b≠0)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。因?yàn)橛欣頂?shù)的除法可以化為乘法，所以可以利用乘法的運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算。乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。
1.5有理數(shù)的乘方1.5.1乘方求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪。負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：⑴先乘方，再乘除，最后加減；⑵同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；⑶如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行1.5.2科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)），使用的是科學(xué)記數(shù)法。用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)n位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n－1。1.5.3近似數(shù)和有效數(shù)字接近實(shí)際數(shù)目，但與實(shí)際數(shù)目還有差別的數(shù)叫做近似數(shù)。精確度：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)精確到哪一位。從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0 數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。對(duì)于用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a×10n，規(guī)定它的有效數(shù)字就是a中的有效數(shù)字。
有理數(shù)的加減混合運(yùn)算范文第3篇
一、填空題
1．計(jì)算：的相反數(shù)是，倒數(shù)﹣2，絕對(duì)值是．
【考點(diǎn)】倒數(shù)；相反數(shù)；絕對(duì)值．
【專題】計(jì)算題．
【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．
倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．利用這些知識(shí)即可求解．
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．
【解答】解：的相反數(shù)是，倒數(shù)﹣2，絕對(duì)值是．
故答案為：，﹣2，．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)，要求學(xué)生牢固掌握相反數(shù)、絕對(duì)值和倒數(shù)的性質(zhì)及其定義，并能熟練運(yùn)用．
2．列式表示：P的3倍的是．
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【分析】根據(jù)題意，得P的3倍的是×3p=．
【解答】解：×3p=．
【點(diǎn)評(píng)】列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確理解文字語(yǔ)言中的關(guān)鍵詞，找到其中的數(shù)量關(guān)系．注意代數(shù)式的正確書(shū)寫：數(shù)字寫在字母的前面，數(shù)字和字母之間的乘號(hào)要省略不寫．
3．?dāng)?shù)軸上的A點(diǎn)與表示﹣3的點(diǎn)距離4個(gè)單位長(zhǎng)度，則A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣7或1．
【考點(diǎn)】數(shù)軸．
【分析】此類題注意兩種情況：要求的點(diǎn)可以在已知點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)A在﹣3的左側(cè)時(shí)，則﹣3﹣4=﹣7；
當(dāng)點(diǎn)A在﹣3的右側(cè)時(shí)，則﹣3+4=1．
則A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣7或1．
故答案為：﹣7或1
【點(diǎn)評(píng)】注意：要求的點(diǎn)在已知點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，用減法；要求的點(diǎn)在已知點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，用加法．
4．若單項(xiàng)式5x4y和25xnym是同類項(xiàng)，則m+n的值為5．
【考點(diǎn)】同類項(xiàng)．
【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義中相同字母的指數(shù)也相同，得出m、n的值，即可求出m+n的值．
【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式5x4y和25xnym是同類項(xiàng)，
n=4，m=1，
m+n=4+1=5．
故填：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同類項(xiàng)；同類項(xiàng)的定義所含字母相同；相同字母的指數(shù)相同即可求出答案．
5．長(zhǎng)城總長(zhǎng)約為6700000，用科學(xué)記數(shù)法表示為6.7×106．
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于6700000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6．
【解答】解：6700000=6.7×106．
故答案為：6.7×106．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵．
6．如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案中的基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)為3n+1（用含n的式子表示）．
【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．
【專題】規(guī)律型．
【分析】先寫出前三個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖案的個(gè)數(shù)，并得出后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多3個(gè)基礎(chǔ)圖案，從而得出第n個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖案的表達(dá)式．
【解答】解：觀察可知，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，4=3+1
第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，7=3×2+1，
第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，10=3×3+1，
…，
第n個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖形有：3n+1，
故答案為：3n+1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．
二、選擇題
7.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是5，則這個(gè)數(shù)是（）
A．±5B．5C．﹣5D．25
【考點(diǎn)】絕對(duì)值．
【專題】常規(guī)題型．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義解答．
【解答】解：絕對(duì)值是5的數(shù)，原點(diǎn)左邊是﹣5，原點(diǎn)右邊是5，
這個(gè)數(shù)是±5．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的定義，要注意從原點(diǎn)左右兩邊考慮求解．
8．下列計(jì)算正確的是（）
A．﹣（﹣1）2+（﹣1）=0B．﹣22+|﹣3|=7
C．﹣（﹣2）3=8D．
【考點(diǎn)】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算；有理數(shù)的乘方．
【專題】計(jì)算題．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)，即可作出判斷．
【解答】解：A、﹣（﹣1）2+（﹣1）=﹣1﹣1=﹣2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、﹣22+|﹣3|=﹣4+3=﹣1，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、﹣（﹣2）3=﹣（﹣8）=8，正確；
D、﹣+（﹣）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，特別要注意運(yùn)算順序，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把﹣22誤認(rèn)為是（﹣2）2．
9．單項(xiàng)式﹣3πxy2z3的系數(shù)和次數(shù)分別是（）
A．﹣3π，5B．﹣3，6C．﹣3π，7D．﹣3π，6
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【分析】利用單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式﹣3πxy2z3的系數(shù)是：﹣3π，次數(shù)是：6．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A．?dāng)?shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)與表示+2的點(diǎn)的距離是2
B．?dāng)?shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是0
C．所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)
D．的負(fù)整數(shù)是﹣1
【考點(diǎn)】數(shù)軸；有理數(shù)大小比較．
【專題】計(jì)算題．
【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的方法得到數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)與表示+2的點(diǎn)的距離是4；數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是0；所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來(lái)；﹣1是的負(fù)整數(shù)．
【解答】解：A、數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)與表示+2的點(diǎn)的距離是4，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
B、數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是0，所以B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來(lái)，所以C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、﹣1是的負(fù)整數(shù)，所以D選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸：數(shù)軸有三要素（正方向、原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度），原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)，右邊的點(diǎn)表示正數(shù)．
11．多項(xiàng)式4x2y﹣5x3y2+7xy3﹣6的次數(shù)是（）
A．4B．5C．3D．2
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式．
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)定義即可求出答案．
【解答】解：多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)項(xiàng)的次數(shù)，
故選（B）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式的概念，屬于基礎(chǔ)題型．
12．下列說(shuō)法正確的是（）
A．0.720精確到0.001B．3.6萬(wàn)精確到個(gè)位
C．5.078精確到百分位D．?dāng)?shù)字3000是一個(gè)近似數(shù)
【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字．
【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度對(duì)A、B、C進(jìn)行判斷；根據(jù)準(zhǔn)確數(shù)和近似數(shù)的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、0.720精確到0.001，所以A選項(xiàng)正確；
B、3.6萬(wàn)精確到千位，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、5.078精確到千分位，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、數(shù)字3000為準(zhǔn)確數(shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法；從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．
13．下列去括號(hào)正確的是（）
A．﹣（2x+5）=﹣2x+5B．
C．D．
【考點(diǎn)】去括號(hào)與添括號(hào)．
【專題】常規(guī)題型．
【分析】去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)則括號(hào)里面的各項(xiàng)需變號(hào)，若括號(hào)前面是正號(hào)，則可以直接去括號(hào)．
【解答】解：A、﹣（2x+5）=﹣2x﹣5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、﹣（4x﹣2）=﹣2x+1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、（2m﹣3n）=m﹣n，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、﹣（m﹣2x）=﹣m+2x，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)的知識(shí)，難度不大，注意掌握去括號(hào)的法則是關(guān)鍵．
14．買一個(gè)足球需要m元，買一個(gè)籃球需要n元，則買4個(gè)足球、7個(gè)籃球共需要（）
A．（7m+4n）元B．28mn元C．（4m+7n）元D．11mn元
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【專題】經(jīng)濟(jì)問(wèn)題．
【分析】總價(jià)格=足球數(shù)×足球單價(jià)+籃球數(shù)×籃球單價(jià)，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：4個(gè)足球需要4m元，7個(gè)籃球需要7n元，
買4個(gè)足球、7個(gè)籃球共需要（4m+7n）元，
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】考查列代數(shù)式，得到買4個(gè)足球、7個(gè)籃球共需要的價(jià)錢的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量．
三、解答題
15．計(jì)算
（1）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）
（2）﹣82+3×（﹣2）2+6÷（﹣）2
（3）﹣24×（﹣+﹣）
（4）﹣12016﹣（1﹣0.5）××[3﹣（﹣3）2]
（5）x+7x﹣5x
（6）﹣4x2y+3xy2﹣9x2y﹣5xy2
（7）4（2x2﹣y2）﹣5（3y2﹣x2）
【考點(diǎn)】整式的加減；有理數(shù)的混合運(yùn)算．
【分析】原式去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）
=﹣40﹣28+19﹣24
=﹣73；
（2）﹣82+3×（﹣2）2+6÷（﹣）2
=﹣64+12+
=﹣51；
（3）﹣24×（﹣+﹣）
=﹣24×
=20﹣9+2
=13；
（4）﹣12016﹣（1﹣0.5）××[3﹣（﹣3）2]
=
=﹣1+1
=0；
（5）x+7x﹣5x
=3x；
（6）﹣4x2y+3xy2﹣9x2y﹣5xy2
=﹣x2y+5xy2
（7）4（2x2﹣y2）﹣5（3y2﹣x2）
=8x2﹣4y2﹣15y2+5x2
=13x2﹣19y2
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
16．已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，并且x的絕對(duì)值等于2．試求：x2﹣（a+b+cd）+（a+b）2016+（﹣cd）2016的值．
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值；相反數(shù)；絕對(duì)值；倒數(shù)．
【分析】由相反數(shù)及倒數(shù)的性質(zhì)可求得a+b及cd，由絕對(duì)值的定義可求得x的值，代入計(jì)算即可．
【解答】解：
a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于2，
a+b=0，cd=1，x=±2，
原式==4﹣1+0+1=4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0、互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1是解題的關(guān)鍵．
17．在數(shù)軸上畫(huà)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并回答下列問(wèn)題：
﹣3，0，﹣1.5，﹣2，3，
（1）哪兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等？
（2）表示﹣2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)相差幾個(gè)單位長(zhǎng)度？
【考點(diǎn)】數(shù)軸．
【分析】（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等；
（2）數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離是這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值．
【解答】解：如圖所示：
（1）﹣3和3與原點(diǎn)的距離相等；
（2）表示﹣2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)相差：|﹣2﹣3|=5個(gè)單位長(zhǎng)度．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸，由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
18．先化簡(jiǎn)，再求值：
2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x=1，y=﹣1．
【考點(diǎn)】整式的加減—化簡(jiǎn)求值．
【專題】計(jì)算題．
【分析】先將原式去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再把x=1，y=﹣1代入化簡(jiǎn)后的式子，計(jì)算即可．
【解答】解：原式=2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y=﹣5x2y+5xy，
當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，
原式=﹣5×12×（﹣1）+5×1×（﹣1）=0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值．整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，這是各地中考的常考點(diǎn)．
19．某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：
星期一二三四五六日
增減+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9
（1）根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)599輛；
（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)26輛；
（3）該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過(guò)部分每輛另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？
【考點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)數(shù)減最小數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的量乘以單價(jià)，可得工資，根據(jù)超出的部分或不足的部分乘以每輛的獎(jiǎng)金，可得獎(jiǎng)金，根據(jù)工資加獎(jiǎng)金，可得答案．
【解答】解：（1）5﹣2﹣4+200×3=599（輛）；
（2）16﹣（﹣10）=26（輛）；
（3）5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9=9，
（1400+9）×60+9×15=84675（元）．
故答案為：599，26，84675．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
20．觀察下列等式：，，，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：=1﹣=1﹣=．
（1）猜想并寫出：=﹣．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①+…+=；
②…+=；
（3）探究并計(jì)算：…+．
【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算．
【分析】（1）根據(jù)題中給出的例子即可得出結(jié)論；
（2）①②根據(jù)（1）中的猜想進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）由（1）中的例子找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1），，，
=﹣．
故答案為：﹣；
（2）①由（1）知，=﹣，
+…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故答案為：；
②…+
=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=．
故答案為：；
（3）=•，=•，
原式=（++…+）
=（1﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=×
有理數(shù)的加減混合運(yùn)算范文第4篇
雖然新教材使用已有兩年了，可今年我才第一次接觸到，兩年間別的同事對(duì)新教材的看法和見(jiàn)解我也頗有耳聞。當(dāng)我拿著這本書(shū)時(shí)，覺(jué)得真是有種煥然一新的感覺(jué)，到處都是生動(dòng)的圖畫(huà)和一些類似與漫畫(huà)書(shū)中的對(duì)話框，而且很多題目、事例都采用現(xiàn)實(shí)生活中的學(xué)生常見(jiàn)的事例，整本書(shū)把我的教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)，日常的生活和數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系到一起，用一句話形容：數(shù)學(xué)來(lái)自于生活！
我覺(jué)得新教材更能體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，并且能更好的體現(xiàn)大綱的要求。比如，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)軸探求物體的兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則，這個(gè)過(guò)程學(xué)生自己討論、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而獲得結(jié)論，體驗(yàn)成功的喜悅。因此，他們體會(huì)了從特殊到一般，從具體到抽象的過(guò)程，使他們既能發(fā)現(xiàn)又能解決問(wèn)題，大綱要求學(xué)生掌握的就是這種能力。
二教學(xué)前的思考
有理數(shù)這一章是學(xué)生從小學(xué)升入初中以來(lái)接觸到的第一章，對(duì)于所有的新生來(lái)說(shuō)，這是他們的新起點(diǎn)，這一章學(xué)習(xí)效果的好壞直接關(guān)系到他們今后學(xué)習(xí)這門功課的信心和態(tài)度。所以，本章的教學(xué)我個(gè)人認(rèn)為應(yīng)該是“穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步為營(yíng)”，也就是說(shuō)，每一節(jié)課必須讓絕大多數(shù)學(xué)生能輕松掌握，不能為了趕進(jìn)度，一定要夯實(shí)基礎(chǔ)，為他們今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，讓他們感覺(jué)到“數(shù)學(xué)并不是很難”。樹(shù)立他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)他們數(shù)學(xué)的興趣。
三教材分析
1．地位：本章是數(shù)與代數(shù)這一部分的起始內(nèi)容，是整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的奠基部分，這一部分的掌握情況直接關(guān)系到后面一元一次方程以及今后實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)！包括對(duì)平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)都有一定的幫助！
2．主要內(nèi)容：書(shū)上是分為兩部分，一部分是有理數(shù)的概念，另一部分是有理數(shù)的運(yùn)算我個(gè)人認(rèn)為可分為三部分，有理數(shù)的意義（包括正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值和有理數(shù)比較大小），有理數(shù)的加、減、乘、除和四則混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算。
3.知識(shí)結(jié)構(gòu)：
本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：
正數(shù)
零
負(fù)數(shù)
數(shù)軸
有理數(shù)的運(yùn)算
有理數(shù)比較大小
相反數(shù)
絕對(duì)值
有理數(shù)
4.課程學(xué)習(xí)的目標(biāo)：
①理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大小。
②借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值（絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母）。
③理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方的運(yùn)算法則，能進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算（以三步為主）。
④理解有理數(shù)是運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。
⑤能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
⑥了解近似數(shù)和有效數(shù)字的有關(guān)概念，能對(duì)含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷。
5.本章的重點(diǎn)：有理數(shù)的運(yùn)算，其中以有理數(shù)加法和乘法中符號(hào)法則尤為重要。在小學(xué)里，我們只有在運(yùn)算是才會(huì)見(jiàn)到括號(hào)，而現(xiàn)在，我們學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)，很多時(shí)候用把負(fù)數(shù)括起來(lái)，比如：-（-5）、-|+3|、15+（-9）等，由于符號(hào)更加復(fù)雜了，學(xué)生在很多時(shí)候容易弄混淆，如：-|-5|=-5很多學(xué)生卻等于5。
本章的難點(diǎn)：有理數(shù)運(yùn)算法則的理解，特別是有理數(shù)的乘法法則。
學(xué)習(xí)的關(guān)鍵：數(shù)軸的掌握，絕對(duì)值的理解和有理數(shù)的運(yùn)算法則。
6.數(shù)學(xué)思想方法：
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要組成部分，也是數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，通過(guò)分析，本章的數(shù)學(xué)方法主要有：
①數(shù)形結(jié)合思想。本章數(shù)與形的轉(zhuǎn)換提供了一個(gè)基本支撐點(diǎn)——數(shù)軸。有了數(shù)軸這個(gè)基礎(chǔ)，數(shù)與形就聯(lián)系起來(lái)了，就可以用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題了。利用數(shù)軸規(guī)定有理數(shù)的順序，既直觀又涵蓋了有理數(shù)比較大小的各種情況，書(shū)上16面有這樣的規(guī)定：在數(shù)軸上表示，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；利用數(shù)軸分析物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)例，可以非常直觀地獲得物體兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，從而引出有理數(shù)加法的運(yùn)算法則；利用數(shù)軸、通過(guò)蝸牛運(yùn)動(dòng)的例子引出有理數(shù)乘法法則。有了數(shù)軸，上述內(nèi)容就能夠清楚地呈現(xiàn)。
比如教材上12面的第1、2題和17面的第2題：在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：
15，-3/8，0，0.15，-30，-12.8，22/5，+20，-60
②分類討論的思想。本章中關(guān)于有理數(shù)的分類，就利用了這一思想。
如：正整數(shù)正整數(shù)
整數(shù)零正數(shù)
負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)
有理數(shù)有理數(shù)零
正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)負(fù)數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)
③對(duì)立統(tǒng)一的思想。由于本章引入了負(fù)數(shù)，相反數(shù)和倒數(shù)的概念，使加與減、乘與除統(tǒng)一起來(lái)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，加法與減法、乘法與除法都是對(duì)立的，現(xiàn)在則不同了，所以，在這章中，特別有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行“對(duì)立統(tǒng)一”思想方法的教育。如：在進(jìn)行有理數(shù)減法學(xué)習(xí)時(shí)讓學(xué)生觀察4-（-3）=7和4+（+3）=7由此可得4-（-3）=4+（+3），讓學(xué)生理解減法是可以化成加法的。最后讓學(xué)生總結(jié)減法法則。
④轉(zhuǎn)化的思想。本章中，通過(guò)“絕對(duì)值”的概念和符號(hào)法則，把有理數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為非負(fù)有理數(shù)（即小學(xué)學(xué)過(guò)的算術(shù)）的運(yùn)算來(lái)解決，這是非常重要的思想方法，它的引入不僅解決了有理數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題，而且對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供了一種重要的思想方法。
6.教學(xué)建議：
①讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)與符號(hào)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要語(yǔ)言。
②搞好與前兩個(gè)學(xué)段的銜接。整數(shù)、分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）的知識(shí)，即正有理數(shù)及0的知識(shí)，還學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)的知識(shí)，這些都是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的基礎(chǔ)。
③教師的語(yǔ)言要生動(dòng)形象能吸引學(xué)生的注意力，語(yǔ)速要稍慢。
④適當(dāng)練習(xí)。
⑤給學(xué)生留有一定的學(xué)習(xí)空間，讓學(xué)生參與活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。
⑤注重信息技術(shù)的應(yīng)用。
7.幾點(diǎn)思考：
①對(duì)于負(fù)數(shù)、有理數(shù)的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)實(shí)際的情境，使學(xué)生在實(shí)際情境中體驗(yàn)、感受、和理解有理數(shù)的意義。
②對(duì)于“有理數(shù)的運(yùn)算”，降低了復(fù)雜性、技巧性和熟練程度的要求，有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算強(qiáng)調(diào)以三步為主，降低了要求，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)。
③本章在有理數(shù)概念的教學(xué)中，有理數(shù)的運(yùn)算中要有意識(shí)地設(shè)計(jì)具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境。如認(rèn)識(shí)大數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會(huì)大數(shù)的情境，了解大數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，建立數(shù)感，光年和納米就是理解大數(shù)和小數(shù)的實(shí)際背景。
8.典型例題的處理：
教材第23面例4，圖文并茂，我采用多媒體展現(xiàn)題目，既省時(shí)間，學(xué)生又能清晰了解題意。書(shū)中第一種解法是教師和學(xué)生共同討論總結(jié)出來(lái)，第二種解法由學(xué)生分組討論，讓學(xué)生自己計(jì)算小結(jié)，讓他們能通過(guò)小組學(xué)習(xí)獲得成功的喜悅，促進(jìn)學(xué)習(xí)的積極性。
四中考回顧
1.同位素的半衰期表示衰變一半樣品所需要的時(shí)間，鐳—226的半衰期約為1600年，1600用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A：1.6×103B：0.16×104C：16×102D：160×10
有理數(shù)的加減混合運(yùn)算范文第5篇
數(shù)學(xué)源自于實(shí)際。因此，在數(shù)學(xué)講析、習(xí)練過(guò)程中，教材的編排設(shè)計(jì)和教師的授課都著重于從實(shí)際出發(fā)，總結(jié)、歸納出規(guī)律，形成數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而解決一般化的問(wèn)題。但是，由于數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的提煉性和概括性，有些知識(shí)有時(shí)比較難以找到生活當(dāng)中的原型或痕跡，這就勢(shì)必造成這樣的情形：根據(jù)現(xiàn)有知識(shí)的演繹及推理而取得高一層次的知識(shí)，然后，在此基礎(chǔ)上又經(jīng)過(guò)新的演繹和推理再取得更高層次的知識(shí)……如此類推，數(shù)學(xué)就有了發(fā)展。結(jié)構(gòu)圖如圖1：
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生從實(shí)際生活的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，對(duì)于第一層，比較容易理解和掌握，但越往后，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和能力的差異，能理解和掌握的學(xué)生就會(huì)呈現(xiàn)逐漸減少的趨勢(shì)。這種單線條的知識(shí)結(jié)構(gòu)，會(huì)讓越來(lái)越多的學(xué)生，無(wú)法登上更高的層次。
例如：七年級(jí)數(shù)學(xué)第二章對(duì)于有理數(shù)的加減法的編排，就是這種單線條的方式。結(jié)構(gòu)如圖2：
由于學(xué)生本身存在差異，不是每個(gè)學(xué)生都能順利通過(guò)每一層次。假設(shè)平均每個(gè)層次有80%的學(xué)生能夠通過(guò)，那么，第三層將只有（80%）3=51.2%的同學(xué)能夠掌握。因此，隨著教學(xué)內(nèi)容的增多，層次的提高，后進(jìn)生或?qū)W困生就隨之產(chǎn)生了。
如何解決上述問(wèn)題？筆者的做法是：多從實(shí)際出發(fā)，減少知識(shí)層次，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成有效教學(xué)。將以上結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化為兩層（圖3）：
如此設(shè)計(jì)，把有理數(shù)的加法（知識(shí)A）和減法（知識(shí)B）置于同一層次，都從實(shí)際出發(fā)，可以不分先后次序。而且從實(shí)際生活的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，因處置時(shí)A和知識(shí)B，它們之間可以在相互滲透，相互類比的基礎(chǔ)上共同認(rèn)知和掌握，即知識(shí)A可以促進(jìn)知識(shí)B的認(rèn)知，反過(guò)來(lái)知識(shí)B也可以促進(jìn)知識(shí)B的升華，而不像原來(lái)的對(duì)知識(shí)的把握要建立在對(duì)知識(shí)A的認(rèn)知基礎(chǔ)之上。同樣的知識(shí)內(nèi)容，減少了一個(gè)層次，效果大不一樣。筆者大致設(shè)計(jì)如下：
一、有理數(shù)的加法
對(duì)問(wèn)題的引入，筆者不采用課本的例子，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)課本的例子中有理數(shù)的加法的意義不好理解（農(nóng)村孩子尤其是女孩子接觸足球很少，缺乏實(shí)際經(jīng)驗(yàn)）。而是采用如下例子：武大郎開(kāi)店賣燒餅，第一天賺了a元，第二天賺了b元，那么兩天一共賺了多少元？
答：（a+b）元。
因?yàn)閍和b都是有理數(shù)，可正、可負(fù)，亦可為零，所以a+b可能出現(xiàn)的情況有多種：
①兩正；②兩負(fù)；③一正一負(fù)（賺多虧少）；④一正一負(fù)（賺少虧多）；⑤一正一零；⑥一負(fù)一零。
然后把a(bǔ)和b取具體的有理數(shù)對(duì)應(yīng)上面六種情況，根據(jù)實(shí)際背景，求出a+b的和。在求和的過(guò)程時(shí)，先不讓學(xué)生涉及有理數(shù)的加法法則，而是讓學(xué)生多回到實(shí)際背景，思考其實(shí)際意義。
完成這個(gè)環(huán)節(jié)之后，可以給出一些簡(jiǎn)單的有理數(shù)的加法運(yùn)算習(xí)題，讓學(xué)生完成。絕大部分的學(xué)生都能正確計(jì)算，對(duì)于少部分不能正確計(jì)算的學(xué)生，再指導(dǎo)他們回到實(shí)際背景進(jìn)行思考。這些學(xué)生基本上也都能順利過(guò)關(guān)。
然后讓學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位歸納有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)心得，每個(gè)小組派一名同學(xué)講出來(lái)，不求全面，不求完整，淡化形式，少一些條條框框的東西。這堂課的重點(diǎn)是讓學(xué)生復(fù)習(xí)有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)并能夠進(jìn)行加法練習(xí)，而不是要求學(xué)生把其法則一字不漏地背出來(lái)。能夠抓住主干，其它的盡量淡化。學(xué)生從實(shí)際背景出發(fā)會(huì)計(jì)算有理數(shù)的加法，那么慢慢地他們就可以脫離實(shí)際背景而進(jìn)行計(jì)算，這一點(diǎn)要充分相信學(xué)生。就像小學(xué)生“一個(gè)蘋果+一個(gè)蘋果=兩個(gè)蘋果”之后慢慢掌握“1+1=2”一樣，不再需要蘋果了。
完成以上環(huán)節(jié)，接下來(lái)再給出一些訓(xùn)練題目，適當(dāng)有些層次，比如有些是分?jǐn)?shù)和小數(shù)，還可以是三個(gè)或以上的加數(shù)相加等等，讓學(xué)生在練習(xí)中不斷鞏固和提高。
二、有理數(shù)的減法
問(wèn)題引入：A地的海拔高度是a米，B地的海拔高度是b米。那么A地比B地高多少米？
答：（a-b）米。
因?yàn)閍和b都是有理數(shù)；可正、可負(fù)，亦可為零，所以a-b可能出現(xiàn)的情況有多種：①兩正（a大b小或a少b大）；②兩負(fù)（a大b小或a少b大）；③一正一負(fù)（a正b負(fù)或a負(fù)b正）；（④一零一非零。
然后把a(bǔ)和b取具體的有理數(shù)對(duì)應(yīng)上面幾種情況，根據(jù)實(shí)際背景，求出a-b的差。在求差的過(guò)程時(shí)，筆者同樣不讓學(xué)生涉及有理數(shù)的減法法則，而是讓學(xué)生多回到實(shí)際背景，借助一條正方向向上的數(shù)軸，思考其實(shí)際意義。
三、有理數(shù)的加減互化
在現(xiàn)行的一些數(shù)學(xué)教材中，有理數(shù)的減法是用加法來(lái)闡述的，即a-b= a+（-b）。
把減法化成加法來(lái)做，降低了減法的地位，弱化了減法的實(shí)際意義。而且這種由加法到減法的單向知識(shí)結(jié)構(gòu)，也淡化了它們的內(nèi)在聯(lián)系，不利于學(xué)生對(duì)后續(xù)知識(shí)的掌握。筆者把有理數(shù)的加法和減法放在同一層次上，揭示出它們之間的雙向知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生可以橫向聯(lián)系，兩方面的知識(shí)相互促進(jìn)，共同掌握和提高，首先讓學(xué)生計(jì)算幾個(gè)小題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
接下來(lái)就可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、省略括號(hào)的和的形式（代數(shù)和）等知識(shí)了。
