已知三角函數值求角數學教案

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【教學過程】:

一．問題的提出：

在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們如何表示呢？相當于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性，它們不存在反函數，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區間滿足：

（1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函數值域上的所有值。

顯然對，這樣的區間是；對，這樣的區間是；對，這樣的區間是；

二．新課的引入：

1．反正弦定義：

反正弦函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.

對于注意：

（1）（相當于原來函數的值域）；

（2）（相當于原來函數的定義域）；

（3）；

即：相當于內的一個角，這個角的正弦值為。

反正弦：符合條件（）的角，叫做實數的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。

2．反余弦定義：

反余弦函數：函數，的反函數叫做反余弦函數，記作：.

對于注意：

（1）（相當于原來函數的值域）；

（2）（相當于原來函數的定義域）；

（3）；

即：相當于內的一個角，這個角的余弦值為。

反余弦：符合條件（）的角，叫做實數的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負值時，表示的是鈍角。

3．反正切定義：

反正切函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.

對于注意：

（1）（相當于原來函數的值域）；

（2）（相當于原來函數的定義域）；

（3）；

即：相當于內的一個角，這個角的正切值為。

反正切：符合條件（）的角，叫做實數的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質，有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于對稱這一特性，得到反三角函數的性質。根據新教材的要求，這里就不再講了。

練習：

三．課堂練習：

例1．請說明下列各式的含義：

(1)；(2)；(3）；(4)。

解：（1）表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角是；

（2）表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角不存在，即的寫法沒有意義，與，矛盾；

（3）表示之間的一個角，這個角的余弦值為，這個角是；

（4）表示之間的一個角，這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

例2.比較大?。海?）與；（2）與。

解：（1）設：，；，，

則，，

∵在上是增函數，，

∴，即。

（2）中小于零，表示負銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3．已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個，即：，

在中正弦值為的角還有一個，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。

例4．已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個，即：，

在中余弦值為的角還有一個，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5．求證：（）。

證明：∵，∴，設，，

則，即：，即：，

∵，∴，

∴，∴，即：。

例6．求證：（）。

證明：∵，∴，設，，

則，即：，即：（*），

∵，∴，

∴，∴，即：。

注意：（*）中不能用來替換，雖然符號相同，但，不能用反余弦表示。

四．課后作業。

書上：P76.練習,P77.習題4.11。（均要準確值，劃掉書上的精確到）