英國中學數學教育
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2005年10月筆者參加了江蘇省教育廳組織的為期一個月的數學教師赴英國培訓項目。在英國曼徹斯特城的“蘇曼”教師培訓中心，聆聽了英國文化部教育官員和中小學教師的專題講座，并與英國同行進行了座談和交流，同時參觀訪問了當地具有代表性的中小學。
一、英國中小學教育的總體印象
英國教師認為：數學的學習應當是以自然的方式進行，就如同學游泳一樣，不下水練習，不嗆水，就學不會游泳。英國教育非常注重培養學生的獨立學習能力，啟發學生主動學習，鼓勵學生廣泛閱讀，深入研究，并就所學內容提出疑問，不斷思考。
在課程設置方面，從初中起，學生就可以選擇自己喜歡的專業，一般選三至五門學科，其中不包括英語。義務教育（5～16歲，其中5～11歲為小學，中學分兩個階段：11～16歲為中學第一階段）后，學生參加GCSE（相當于我國初中畢業文憑）考試，進入第6學級（也稱為第五學段，16～19歲為中學第二階段，相當于我國高中時期）的學生分流，一部分人學習A-Level（高級水平）課程，準備升入大學；另一部分人學習GNVQ課程（國家通用職業資格教育），準備就業。學生從11歲開始學習系統的數學，包括應用數學和純數學兩大領域四大門類（機械學，純數學，統計學，離散數學），學生在A-Level時自選四大類中的17本書學習，學生可以選3,6,9,12,15本學習，每本書單獨考試，每3本組成一個成績（一個證書），當然學生也可以選擇有關未來大學科目的書目學習。
英國的普通高中稱為“學院”（大學預科），在上課方式方面，學生實行“走班制”，即學生沒有固定的教室，比如上數學課的教室就是數學教師的“家”，教師按照自己的喜好布置教室，坐等學生來上課。對學生進行分層次教學，相同學習水平的學生被安排在一起。在獨立學習方面，英國的每個中學生都能開展課題研究，撰寫小論文等。
1．注重區別化
區別化是英國數學教學的一個顯著特點，在英國中小學數學課程大綱、教材和教學方法等方面有明顯的反映：“水平考試”的區別化；第6學級數學課程的分流并實行必修加選修的結構，設計廣泛的彈性課程；教材的多樣性以及教學進度的靈活性等等。
英國的數學教育由“英才教育”轉向“普及教育”，多級水平的課程和考試正適應了這一要求，這極大程度地照顧了大多數學生的發展。因此，不要奇怪試卷上可能寫著適合15、16歲學生的字樣。學生的智力水平、興趣愛好和學習發展的速度各不相同，學生在明確自己與別人差距的同時，通過多級考試也能看到自己的進步。從一個較低的水平級上升到一個較高的水平級，會受到學校和教師的肯定和鼓勵，這有利于樹立學生的自信心，這種自信心又成為學生新的奮進的動力，這種動力和鼓勵促進了學生學習進步的良性循環。
在教學內容安排上，實行區別化大綱，針對中學生的各種能力水平設計不同的數學課程；在教學目標上實現水平區別化，對于同一學段的學生所要達到的目標水平有很大的彈性；在數學活動的組織上，同一年齡段的學生，按其能力水平不同，創造條件使學生按各自的進度，安排學習活動。例如，筆者曾訪問的一所中學，其九年級（相當于中國初二）學生的數學課被分成三個班進行，分別相當于水平9～8，7～6和5～4（注：英國國家課程義務教育分為四個主要學段：第一學科（5～7歲）水平1～3；第二學段（7～11歲）水平2～6；第三學段（11～14歲）水平3～8；第四學段（14～16歲）水平4～10。）。對于教學評價，一方面注重多方面的評價，不但要看考試的分數，而且注重教師在日常教學過程中對學生進行考查了解的情況；另一方面GCSE考試與階段末的國家統一考試，也都提供了不同水平不同要求的試卷。
(1)可選擇的學習任務是區別化教學的中心環節
區別化教學要求向學生提供適應差異的不同的教學內容和學習方式。每學年、每月、每周的學習計劃由教師來制定，但具體的教學計劃，強調師生的共同協商。盡管學生的學習內容不可能脫離教師的計劃和安排，但他們對各種具體的學習活動有選擇的自由。
在所參觀的有些學校里，我們了解到所有的學生學習共同的教材，但按照不同的速度來學習。具體來說，根據學生的學習能力把學習內容處理成在廣度和深度上有一定差別的幾套學生活動，學生被分成學習同一學科、不同程度的教材的幾個班，學生可以根據自己的學習情況從一個班轉到另一個班，甚至向高一年級升級也不受時間的限制，給他們創造自由發展的條件。
(2)靈活的分組是實現課堂教學區別化的有效形式
分組教學是區別化教學的基本形式。在課堂中進行分組的標準是極其靈活的，學生的共同興趣、同等能力、不同能力、學習方法及在課堂中的位置都可成為分組的依據。而按不同能力組合的小組，由于小組成員間可以互相幫助而減輕了教師的負擔。英國課堂教學中集體講授的時間較少，學生在進行自己的學習活動時，可互相詢問、討論。在課堂和講座之余會經常安排一些小型的、非正式的小組指導，學生可以與教師自由交換意見和觀點，這也是一個鼓勵提出新觀點、新方法的學習過程。分組是介于班級授課和個別教學間的一種形式，是體現教學區別化的有效形式。
2.注重應用
英國教育改革法認為：學校必須提供寬廣而和諧的課程，一方面它應促進學生精神、道德文化、智力和身體的發展；另一方面應為學生準備好成年后生活工作的機會、責任感與經驗。從英國中小學數學課程的目標與內容可以看出，他們首先考慮的是滿足所有學生今后生活和工作的需要，并不惜打破傳統的中學數學邏輯體系，不僅將運用和應用數學單獨列為一項成績目標，而且貫穿于整個數學課程，成為其他四項目標的靈魂與核心。
運用和應用數學首先體現在將純粹數學、應用數學（包括力學、概率統計、數值方法等）結合成一門統一的數學學科，既體現出數學知識的內在聯系，又體現出數學與其他學科的橫向聯系。應用數學的學習，可以使學生認識到數學在科學、建設、金融等領域的廣泛應用，合情合理的有趣的數學問題的研究探討有利于激發、保持學生學習的積極熱情，加強對純粹數學知識的認識和解決問題的技巧，抽象的數學因其廣泛的來源背景和應用去處顯得生動形象。其次體現在日常教學中十分注意解決實際問題，包括提出問題、設計任務、做出計劃、收集信息、選用數學、運用策略、獲得結論、檢驗和解釋結果等等，而不是局限在書本上現成的“問題”。
我們聽了第6學級的數學課，教師十分重視“問題解決”，特別是培養學生建立數學模型的能力，A水平的數學不僅專門開設了“問題解決”作為必修單元，而且由于微積分、概率統計、力學的引入拓寬了數學建模的范圍。有“微積分入門”中優化問題（極大極?。┑臄祵W模型，“微積分方法”中列微分方程的數學模型，在“牛頓運動定律”單元的第一個課題也是“數學模型”，至于選修單元，更是顯著地研究兩大系列（力學、概率）中的大量數學模型。
教學評價也反映了加強應用的思想，GCSE考試不僅常規的筆試中有許多聯系實際的試題，而且還專門有一項課題作業，占總成績的20%，它是由實踐性和開放性作業組成的，主要考查運用和應用數學的能力，包括口頭交流、討論數學思想、收集并處理數據等。例如交通路線的選擇：要求選用一條從倫敦到伯明翰耗時最短的路線。問題采用表格的形式，列出幾條鐵路經過的城市名、千米數、火車時速，表格中已提供部分數據，還有的需要考生計算后填入?？忌挥型ㄟ^正確計算填好這些表格，才能選擇出耗時最短的路線。再如土地和房屋面積的丈量問題，要求畫出平面圖，因為其中又有幾個各種形狀的小圖，只有逐個正確計算出小圖的面積，才能求出需要的面積。這種緊密聯系現實的題目，不僅使考生做起來趣味盎然，有助于培養他們現實生活中的計算能力，還能培養學生商品經濟的意識，再例如2003年的GCSE樣卷，水平4有一份小型作業（“籃球”），其中有這樣一題：“約當的靴”：約當是芝加哥公牛隊的隊員，他身高2.01米，體重88千克，題中給出一張圖，畫出他的一只靴底的實樣和靴子的直觀圖（縮小的，標出其高為19cm）。(1)求靴底的近似面積。(2)設計一只盒子，可裝這樣的一雙靴子。(3)畫出所設計盒子的展開圖，標上必要的尺寸。
3.注重過程
英國數學教學從教材到教學活動的組織上都突出學習過程，注重學生的數學活動，特別是探究活動。無論何種類型課，很少有教師講學生聽，多數是教師與學生一道參與一系列活動，如實驗、游戲、討論、讓學生自己去發現規律，獲取知識。他們對知識點，對各種數學結論包括公式、定理、法則等遠遠不及我們數學教學那么注重，不僅數量少而且對于記憶的要求也不高，一個明顯的例子就是考試中許多基本公式，諸如三角形面積公式、一元二次方程求根公式等即使對于水平10也都附在試題前給出，他們更看重的是獲得知識的過程，注重對知識的理解和應用，對一般規律的探究能力的培養和激發學生學習數學的興趣。
在洛瑞托學院（高中），數學系主任托曼在給11年級講微積分時，他舉了一個買車的例子：不同的人對買車有不同的理解，不同的人所偏好的車的類別也不同，但他們肯定有一點相同：那就是花盡量少的錢，買盡可能好的車！現在市場上有三種車：A.8000英鎊；B.9000英鎊；C.14500英鎊。約翰想買一輛汽車，他一共有9000英鎊。他到底該買哪輛車呢？如果他能從銀行貸款且他對C種車非常滿意，他也有可能買。我們假設他不能貸款，并且我們知道他對A種車的滿意度偏低，對B種車的滿意度較高，對C種車的滿意度最高，我們仍然無法確定他應該買哪種車。
學生們在積極地思考，他們試著從數學的角度給出購買決定的理由。托曼繼續講道：“我們假設約翰對各類汽車總體的滿意度主要取決于汽車的速度(S)和耐用性(Y)，約翰對速度偏好，而他父親更偏好耐用性，不同偏好可用不同的數學表達式表示出來……”他停頓一下說：“這就是在經濟學中應用最為廣泛的微積分學！”這樣的引入由于與生活實際緊密相關、生動有趣，一下子就調動起學生學習微積分的興趣。
然后，再提出問題：等，問學生能發現什么？有些學生發現了，舉手，教師走近俯首聽學生輕輕講述他的發現，可以看出學生流露出成功的喜悅。值得注意的是：在這堂課上，教師并沒有向全體學生說明問題的答案，更沒有給出平方差公式，而是布置一個作業：請學生將自己的發現用代數句子寫出來。教師認為這樣做，學生自己發現結論，記得牢。
據2006年的英國《衛報》報道，英國教育大臣阿蘭·約翰遜宣布了一項耗資400萬英鎊，讓學生對數學感覺“酷”的計劃。約翰遜大臣將投入200萬英鎊推廣互動白板在教學中的應用，鮑蘭德基金會已宣布為這個項目投入等額的經費，這項計劃旨在讓教師獲得更多激發學生學習動力的新穎的教學方法。通過許多“案例研究”題目，使學生迷上數學。這些題目所涉及的事物要能調動學生的積極性，例如學生將思考，為了容納參加2012年倫敦奧運會的所有運動員，需要在奧運村修建多少套公寓；要制作一套時裝，一共需要多少原料等等。
我國正在推行新課程改革，盡管各國國情不同，但是我們面對同一個信息時代，面對同樣的挑戰，每個國家都希望在國際競爭中立于不敗之地，而數學學習本身對人類普遍存在著智力價值、文化價值和應用價值，“大眾化、生活化、活動化、個性化”正是各國數學課程改革的普遍取向。英國的數學教育是在總結反思60年代的“新數運動”，70年代的“回到基礎運動”，在得與失的基礎上，經過三年的調研論證，逐步形成確立的，并在80年代的“問題解決”，90年代的“大眾數學”的浪潮中，經受了考驗，當然英國數學教育特點的形成與完善離不開其文化背景、教育體制和考試制度。因此，在堅持我國數學教育優良傳統的前提下，認真處理好繼承、借鑒、發展、創新之間的關系，吸收國外先進的教育教學理念用于我國的新課程改革的實際是十分有必要的。
