中學數學解題教學探析論文

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[摘要]解題教學是我國中小學教學教育的重要組成部分，它不僅是實現數學課堂教學目標的手段，而且也是實現其他學科教學目標的重要手段，為此。解題教學多年來受到我國中小學數學和其他學科教育的重視。建國60年來，數學解題教學在實踐中存在不同的傾向、認識上的分歧等有關爭鳴的問題：解題教學是模仿教學還是思維教學?是堅持“題海戰術”還是倡導“精講精練”?應用題解題教學是否應當劃分問題類型?“問題解決”是否可以替代傳統解題教學?等等。對這些爭鳴進行思考的主要結論是，解題教學既是我國傳統數學教學文化的傳承，又有明顯的應試教育痕跡。數學教育應當堅持素質教育背景下的解題教學觀，通過爭鳴和反思，糾正解題教學中的應試傾向，不斷促進解題教學的研究與發展。

[關鍵詞]中小學；數學；解題教學

美國數學家哈爾莫斯(P.P.Halmos)說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟。”美籍匈牙利數學家、數學教育家G·波利亞(ceorgePolya)稱：“掌握數學就意味著善于解題。”羅增儒先生認為：“數學學習中真正發生數學的地方都一無例外地充滿著數學解題活動。”張乃達先生指出，“數學教育應該以解題為中心”“解題教學正是達到教學目的的最好手段”。可見，在數學家、數學教育家眼里，解題和解題教學具有舉足輕重的地位。的確，在數學教育中，無論是概念的形成，定理、公式、結論的推導，還是過程、方法的探索都離不開解題教學。解題教學之所以重要與其教學功能有著極大的關系。由于解題的每一步都離不開所學的數學知識和技能，因此，解題既是對原有知識和技能的應用，又可保持并鞏固相應知識的記憶，提高相應技能的熟練程度；通過解題教學還可使學生提高和發展推理能力、化歸能力、形式化處理問題的能力、分析和解決問題的能力，因此，數學教育中解題教學幾乎成了實現數學教學目的的必不可少的手段。

一、解題教學是我國數學教育的重要組成部分

中國數學教學大綱、教材和課堂教學多年來都注重基礎知識與基本技能的掌握，因此也都強調解題的訓練，數學教材中提供了解題教學的例題、課堂練習和課后習題，課堂內外都充滿了解題教學和解題訓練，中國因而常常被稱為“解題大國”。

1952年教育部頒發的《中學暫行規程(草案)》中，提出了中學的教育目標之一是使學生獲得“現代科學的基礎知識和技能”，這是我國首次明確提出數學“雙基”的教學。之后，在歷次教學大綱和教材編寫指導思想中都十分注重強調“雙基”的教學。1963年教育部頒布的《全日制中學數學教學大綱(草案)》明確指出：為了保證學生牢固地掌握基礎知識，具有正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和空間觀念，并且能夠靈活運用，必須切實地加強練習。事實上，小學數學大綱和中學數學大綱一樣。同樣提出了“雙基”和加強練習的要求，重視解題教學。為了切實掌握和鞏固“雙基”，培養學生的三大能力，尤其是正確迅速的運算能力，教學大綱要求必須切實加強練習。因此，教學中教師大量講解例題，學生的課內外作業幾乎都是解題訓練，解題教學成為學生理解和深化數學知識，培養學生技能技巧，學會數學思維方式的重要教學活動和手段，也成為了我國數學教育的重要組成部分，甚至成為我國中小學數學教育的優勢和特色。在數學課程加強邏輯系統性，教學內容崇尚邏輯嚴密的年代，中國數學教育工作者通過習題訓練的分析研究，總結出了“講深講透”“精講多練”等提高解題教學水平的方法，“變式教學”則是所謂“精講多練”方法之精髓所在。扎扎實實的解題教學尤其是針對英才的解題教學還使我國在國際數學奧林匹克競賽上自1986年以來連續15次取得了令國際矚目的佳績。由此，數學解題教學在我國數學教育中的重要地位更加明顯。

二、解題教學的一些主要問題爭鳴與反思

建國以來，我國一直重視數學解題教學。1977年高考恢復之后，由于出現了“千軍萬馬過獨木橋”的趨勢，應試教育開始加劇，富有中國特色的數學解題教學被異化，精講多練發展成“題海戰術”，解題思維教學變成解題模仿教學。人們在數學解題教學的實踐中出現了不同的傾向，認識上產生了分歧，我們把這些都作為數學解題教學中的爭鳴問題予以討論。

(一)解題教學是模仿教學，還是思維教學在我國數學教學實踐中，對解題教學的認識并不一致，引起了解題教學行為的不同傾向：解題教學是教學生學會模仿做題?還是教學生學會思維、學會思考?這也是一直有爭議的問題。眾所周知，行為主義、認知主義和建構主義教學理論對數學等學科教學產生了很大影響。就數學解題教學而言，這些學派的教學理論影響著我國中小學數學課堂教學實踐，廣大教師對解題教學的認識也常常出現觀念上的不同，從而引起實際教學行為的差異，出現解題教學的不同傾向。那么，解題教學究竟應該屬于模仿教學，還是屬于思維教學呢?一種傾向：解題教學是模仿教學。模仿教學，簡單地說，就是解題教學以教師課堂解例題為示范，學生課后模仿練習為主，把教學建立在學生的模仿性、被動性和依賴性上，實質是一種接受學習。追溯模仿教學的起源，在教學論發展史上可以溯源到17世紀捷克教育家夸美紐斯倡導的“自然適應”的直觀性和鞏固性教學原則，強調觀察、“模仿+記憶”的方法對學習的作用。美國心理學家奧蘇貝爾對接受學習有系統論述。“模仿教學”以行為主義學習理論為基礎，認為解題教學就是解題教學行為上“刺激一反應”的變化。模仿教學對數學等學科教學實踐有很大影響，許多教師認為解題教學就是教師例題示范，學生練習模仿，課堂教學就是給學生講清解題思路與步驟，學生解題時模仿效法。持這種觀點的人們認為，中小學生具有較大的可塑性，模仿能力強，在解題教學中，不需要向學生解釋過多的道理，只要認真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學生進行模仿，就可以鞏固數學知識，掌握解題方法，實現解題教學的目的。特別是對低年級學生來說，由于智力發展尚未成熟，模仿是一種不可替代的解題教學方法。這里要說明的是，模仿不是生搬硬套的仿效，而是一種有意義的接受學習，模仿使學生逐漸獲得解題的基本思路、方法和技能，漸漸地由生變熟，直到駕輕就熟，達到提高解題能力的目的。因此認為，模仿是學生學會解題的一種基本方法，解題教學屬于模仿教學。另一種傾向：解題教學是思維教學。思維教學，是指解題教學不僅在于解題基本活動形式本身，更重要的是解題認知活動思維的產生，實質上是一種發現式學習。思維教學最早可以追溯到蘇格拉底的“產婆術”，18世紀法國啟蒙運動思想家、教育家盧梭曾倡導發現教學，現代美國教育心理學家布魯納則對發現學習有過精辟的論述。思維教學是建立在以建構主義為基礎的認知心理學的基礎之上的，認為解題教學就是解題思維認知結構的變化。堅持解題教學是思維教學的人認為，解題教學的本質是思維教學。第一，解題教學是解題活動的教學，而活動的本質屬性是解題思維的活動。因此，解題教學就其本質來說，是對解題思路的分析活動，是對解題方法的感悟與思考，是對學生解題思維活動的調動與展開，從而達到對學生理解及概括水平的培養。第二，解題教學是學生解題思維認知結構建構的過程教學。奧加涅相在《中小學數學教學法》中曾指出：“思維和解題過程的密切聯系是公認的。著名心理學家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過這種聯系：‘在心理中，思維被看作是解題活動。’雖然思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實現。”因此，解題教學不僅要向學生暴露“怎樣解題”的思維過程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學會解”的解題認知結構建構的思維方法，教師應盡量讓學生的解題思維活動顯性化，也就是多讓學生進行交流思考，使學生清晰地認識到自己解決問題的依據、步驟、原因和所產生的思維障礙。換言之，解題教學的金科玉律是達到對學生思維訓練的目的，因而，解題教學本質上應該是一種思維教學。模仿教學在一線教學中較為普遍，尤其在小學和初中階段更普遍，這種解題教學的直接結果就是學生聽得懂但并不真正會解題，因為學生并沒理解為什么要這樣做，即學生不能理解解題活動的本質，例如，當讓學生對x2+px+q進行配方時，學生卻當作方程來解或對其進行因式分解，“只能就題論題地掌握某具體活動的外部操作方式”。模仿教學長此以往將會削弱學生學習技能內化的質量，阻礙學生思維品質的提高，究其緣由是對解題教學的本質與功能缺乏深刻認識所致。“模仿+記憶”的套路式的解題教學適應于學習的初始階段，盡管模仿教學能適應考試，但模仿教學是一種機械學習，不能創新，不能作為一種模式持久下去。

在素質教育觀下解題更應有解題理解，獲得對數學解題認知思維結構的認識，獲得對解題思想方法的元認知認識，如解題思維過程：用什么方法去做?為什么要用這個方法?是否還有更好的方法?哪一種方法最優?等等。這實際是獲得對解題認知活動的元認知。“數學是思維的體操”，解題教學應當教會學生數學思考，培養學生自主、合作、探究的學習方法，這才是解題教學的根本目的。

(二)解題教學是堅持“題海戰術”，還是倡導“精講精練”解題教學方法是指數學解題教學活動的具體實現方式，“題海戰術”與“精講精練”是實施解題活動的兩種基本對立的形式。從方法論的角度來看，兩種方法的不同不僅在于解題量的“多”與“少”的問題，而且反映兩種不同的數學教育觀、解題教學觀和解題觀的問題，實質反映了數學解題教學的一個根本性的有爭鳴的認識問題：數學解題教學是要做大量的題，還是只需做少量的題?

一種傾向：解題教學應當堅持“題海戰術”。

題海是客觀存在的課程資源，題海戰術就是讓學生做大量的題，熟悉各種題型及其解法。堅持解題教學是“題海戰術”的教師認為：“題海戰術”對提高學生的能力有一定的積極作用。“題海戰術”既是我國傳統文化的傳承，更是我國解題教學的法寶。我國古代提倡的“熟能生巧”“拳不離手，曲不離口”“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”的古訓都顯示了大量訓練對學習的重要性。我國學生多次在國際性評估中成績名列前茅的事實，從正面肯定了我們的傳統做法：大量數學習題訓練和經常性測驗考試，是提高成績的有效途徑。不少教學質量較高的學校，尤其是高考升學率高的學校，成績優秀的學生，甚至多屆全國高考狀元，在談到成功的經驗時，都對“題海戰術”抱以肯定的態度。根據行為主義理論，人類的學習行為是操作性條件反射的結果，是教學環境的刺激和學習行為反應之間的聯接，它隨練習次數的增多而加強。因此，在解題教學中，學生不涉入“題海”，不經過足夠的訓練，是不可能真正掌握解題方法和解題思路的，解題能力也是難以提高的。大多數一線教師在教學實踐中感觸頗深，學生只有通過大量的做題訓練，才能加深對數學知識的理解和掌握，才能提高解題技巧和答題速度。因此認為，“題海戰術”對于解題教學，是非常必要的，應該堅持。

另一種傾向：解題教學應當倡導“精講精練”。

“精講精練”與“題海戰術”相對立，“精講”在德國教育家瓦根舍因“范例教學”的教學論思想中也有體現，意指教師在解題教學中要選擇真正基礎的本質的知識作為解題教學內容，通過“范例”內容的講授，使學生達到舉一反三掌握同一類知識規律的方法。“精練”的含義與“精講”相得益彰，堅持解題教學應當“精講精練”，符合波利亞數學解題思想。波利亞反對讓學生做大量的題，認為一個數學教師，“如果把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生，他就扼殺了學生的興趣，妨礙了他們的智力發展……”。換言之，與其讓學生做大量的反復性的題目，還不如選擇一個體現多種思想方法功能的又不太復雜的題目去幫助學生深入發掘題目的各個側面，使學生通過這道題目，獲得對數學解題思想與方法的認識。“精講”的目的在于促使學生獨立學習，而不是要學生被“填鴨式”地灌輸知識，要使學生所學的知識能夠遷移到其他方面，進一步發展新的學習知識。同時“精練”也不是“不練”，而是“練”要有尺度，體現度和量的有機統一。因此，解題教學應當倡導“精講精練”。我國數學解題教學長期倡導“精講多練”，但“多練”的度難以把握，在應試教育的氛圍下，多練常被異化為“題海戰術”。“題海戰術”的本質是要做大量的題，以達到“熟能生巧”的目的。“題海戰術”是應試教育的產物，目前，在片面追求升學率的影響下，扎扎實實地進行著“題海戰術”式的強化訓練在中小學常見，表現為，為應付各類考試，教師們讓學生進行著大量反復的題型、題組訓練，以期從量變到質變，達到考試得高分的目的。考試試題是“題海戰術”的風向標，由于中考、高考中時有偏題、怪題出現，數學教學實踐中，忽視傳統題常規題的典范作用及“雙基”的訓練，忽視思維過程的教學，而一味追求解題的新、奇、巧，追求偏題怪題的現象普遍存在。這樣，師生在題海中越陷越深，“題海戰術”越演越烈，最終導致在課堂上數學教學演變為純解題教學，解題教學則被異化為“題海戰術”。

“題海戰術”是與應試教育相伴而生的一種教育現象，“題海戰術”從出現至今就一直存在爭議，其根源在于教育考試制度的弊端。“題海戰術”加重學生的學習負擔，不利于學生創新能力培養，并且損害學生身心健康，這是與數學素質教育背道而馳的。我們應當清醒地認識其危害性，積極轉進行解題教學改革，提高解題教學效益，應當倡導數學解題教學素質教育教學目標，在解題教學中大力推進實施“精講精練”，把學生和教師從題海里解放出來，使數學素質教育得到真正落實。從多練到精練不僅有認識觀點上的激烈碰撞，還有教學方法的重大改革，還需進行積極探索。

(三)解題教學中應用題教學是否應當劃分問題類型

建國以來，應用題一直是我國中小學數學的重要教學內容，在教材中具有極其重要的位置。解放初期，我國各行業百廢待興，“向蘇聯學習”成為當時的重要選擇。1952年頒布的建國后第一個教學大綱，遵循了“對蘇聯大綱的內容和體系一般不做大的改動”“先搬過來后中國化”的指導思想，以當時蘇聯初等學校教學大綱為藍本編制而成，對應用題劃分類型的做法隨之從蘇聯傳入我國。在1956年修訂大綱中，應用題類型名稱又被一一列出，如歸一問題、倍比問題、相遇問題、植樹問題、工程問題、行程問題等。

自應用題類型名稱在我國出現后，圍繞這個問題的爭鳴便沒有間斷過，特別是20世紀80年代曾開展過大討論，并出現了截然不同，甚至是完全對立的觀點。

一種傾向：應用題教學不應劃分問題類型。

堅持應用題教學不應劃分問題類型的教師認為：教師在教學中，把各種應用題劃分為不同的問題類型，致使應用題教學“模式化”。學生把學習的重點放在死記硬背問題類型、生搬硬套解題程序上。學生做題時，往往是首先辨別問題類型，然后模仿解題套路，而較少對其中的算理進行深入思考。長此以往，將會嚴重阻礙學生思維的發展和創新能力的培養。特別是，在應試教育的影響下，教師為了讓學生牢固掌握各種類型的應用題，常會采用“題海戰術”的做法，布置大量的不同類型的應用題，不僅加重學生的學業負擔，更易導致學生產生厭學情緒，更何況有些應用題是根本不能劃分類型的。因此，應用題教學不需要劃分問題題型。

另一種傾向：應用題教學應該劃分問題類型。

堅持應用題教學應該劃分問題類型的教師認為：數學本來就是一門關于模式的科學。把應用題分為不同的問題類型，可以讓學生從總體上把握應用題的概貌，辨析各類應用題的結構特征，把握各種題型的解題方法。對應用題劃分不同類型，不僅有利于發展學生的抽象概括能力，而且可以提高解題速度。再者，典型類型的應用題是各種較復雜應用題的組成部分。只有掌握了典型類型的應用題，才能更好地解決各種不同的應用題。總之，把應用題劃分為不同問題類型，對于教師的教和學生的學都是非常有益的。我們何樂而不為呢!

在應用題教學中，把應用題劃分為不同問題類型，既有利，也有弊。我們認為，應用題教學的目的不僅僅是讓學生鞏固數學知識和解決特定類型的應用題，重點是培養學生獨立的分析問題、解決問題的能力。在現實生活中，有些實際問題難以劃歸為哪種問題類型，要解決這樣的問題，學生只能認真分析題意，挖掘題目中隱含的數量關系，尋找解題思路，從而得到問題的答案。如果教師在教學中過于重視應用題分類教學，那么學生對難以說清屬于哪類問題類型的題目將很不適應，甚至是束手無策。所以，對于應用題教學，我們的觀點是，應用題教學可以作為讓學生了解介紹一點應用題的問題類型，但是不應過于關注應用題的問題類型。應用題解題教學時要通過認真分析題意，探尋題目中隱含的數量關系，重點放在學生分析問題和解決問題的能力培養上。

(四)解題教學中“問題解決”是否應該替代傳統解題教學

在國際數學問題解決潮流進入我國之后，國內數學教育方面的專家學者為了讓我國數學解題教學擺脫“題海戰術”的困境，大力提倡“問題解決”。隨著素質教育的推進，特別是在新課程改革背景下，數學教育的觀念、教學內容和教育方法都發生了深刻的變化，傳統解題教學更是成為眾矢之的，遭到許多人的指責，“問題解決”教學大有替代傳統的解題教學之勢。在這一背景下，對于“問題解決”是否應該替代傳統解題教學出現了不同的看法。

一種傾向：“問題解決”教學應該替代傳統解題教學。

傳統解題教學中面對的題目往往是一些人為編造的、屬于特定類型的題目，它們具有接受性、封閉性和確定性等特征，其結構是常規的，答案確定、條件不多不少，解題的過程只是套題型之后的“算法化”。傳統解題教學的題目更多的是培養學生學習程序化的規律性的東西，對學生思維的訓練作用大打折扣。社會的進步要求人們具有現代化的數學修養，具有發現、提取、分析和處理信息的能力。從這個角度來看，原來的傳統解題教學極不適應現代社會所必需的收集處理信息數據、發現和提出問題、合情推理以及估計意識、應用意識、運籌和優化意識、創新意識等各種能力要求，極不利于國家創新型人才的培養。因此一些人認為，問題解決教學應該替代傳統解題教學。

另一種傾向：“問題解決”教學不應替代傳統解題教學。

“問題解決”教學雖然有利于培養學生分析、解決實際問題的能力，但是，一般來說，“問題解決”教學中涉及的問題較為復雜，既有實際問題背景，又包括多重關系，特別是問題中的數量關系較為隱蔽，對相當一部分學生來說，存在一定難度。如果學生不經過傳統解題教學的訓練，直接接受“問題解決”’教學，可能不僅不會提高學生分析和解決實際問題的能力，反而會越學越糊涂，即使基礎的應用題也不能完成，最終制造出更多的差生。因此，有專家提醒，莫讓“問題解決”成為“問題”。也就是說，學生只有將傳統的應用題學好了，即打好了“雙基”，才談得上進行高層次思維水平的問題解決教學，否則，只能是適得其反。因此認為，“問題解決”不能替代傳統的解題教學。從傳統的解題教學到“問題解決”教學的提出，既是社會發展的需要，也是數學教學觀演變的結果。信息社會要求學生學會生存、學會創新、學會合作、學會適應，因此，數學教育應立足于提高學生的素質，特別是數學素養的提升。與傳統的解題教學相比，“問題解決”教學一般按照“問題情境一建立模型一解釋一應用一拓展”的思維模式進行，這更有利于開展探索與合作交流，培養學生的綜合實踐能力，這正體現了素質教育時代數學教育素質目標。同時，我們也要看到，傳統的解題教學對于學生鞏固基礎知識、掌握基本的解題能力是不可或缺的。有經驗表明，“問題解決”教學是培養學生創新精神、創新意識的重要渠道，傳統的解題教學正是“問題解決”教學不可逾越的基礎。因此，我們不應該把“問題解決”教學與傳統的解題教學對立化，更不能讓“問題解決”教學完全替代傳統的解題教學，應該把“問題解決”教學看作是解題教學內涵的豐富與發展，是時代對解題教學賦予的新的意蘊，是對傳統的解題教學的補充和提升，更是素質教育背景下加快解題教學發展的有效途徑。

建國60年來，盡管數學解題教學見諸于文字的爭鳴并不多，但是實踐中，解題教學的發展與爭鳴一直如影隨形。正是由于來自實踐和研究中的解題教學爭鳴與反思才促進了我國解題教學的發展。實際上，解題教學不是數學教育的專利，物理、化學等學科教育都涉及解題教學，都在不同程度上經歷著數學解題教學中出現的問題。因此，探討數學解題教學中出現的爭鳴，對于更好地認識和解決各學科教育解題教學實踐中出現的問題，可以說是一個很好的參考和借鑒。超級秘書網：