案例教學法在數理統計教學中的應用

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摘要：作為研究隨機現象、統計規律的重要數學分支，概率論與數理統計在社會生產、生活中發揮著重要的作用。然而在傳統的教學理念下，概率論與數理統計教學普遍存在“重理論、輕實踐”的現象。本文筆者將在充分結合概率論與數理統計學科特點的基礎上，從具體教學案例出發，深入探究案例教學法在概率論與數理統計教學中所發揮的重要作用，旨在為促進概率論與數理統計教學改革與創新提供充足的理論依據與實踐借鑒。

關鍵詞：案例教學法；概率論與數理統計；教學研究；應用

作為研究社會隨機現象、統計普遍規律的重要數學分支，概率論與數理統計的相關理論其方法被普遍應用于社會科學發展、生產生活及國民經濟各個領域，從子彈的命中率問題、航天器的碰撞概率問題到硬幣投擲問題、彩票中獎問題都需要用概率論與數理統計的相關內容進行分析和解答。正如法國數學家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率問題。”可見，概率論與數理統計在我們的生產生活中發揮著不可忽視的重要作用。這就需要高等數學中的概率與數理統計教學要充分結合本學科特點，在充分激發學生學習積極性和主動性的基礎上，促進學生學習效率、學習質量、學習水平的不斷提高，為他們用概率論與數理統計理論知識解決實際問題奠定扎實的基礎。然而，我國當前部分高校的概率論與數理統計教學中普遍存在“重理論講解、輕實踐操作，重技巧應運用、輕數學思維”的現象，使學生花費大量精力學習概率論與數理統計相關理論知識后，即便是得到較高的書面分數，卻很難在實際生活中應用所學知識靈活地解決實際問題，而無法達到學以致用的目的。這種傳統的教學模式不僅不利于學生綜合素質和全面能力的培養及提高，而且還會因為枯燥的課堂教學扼殺學生的學習興趣、降低概率論與數理統計課堂教學的實效性。因此，新時代背景下的概率論與數理統計教學，應從學生的認知水平、實際情況出發，在理論與實踐緊密結合思想的指導加強實用性教學。而案例教學法，即通過在課堂教學過程中引入有代表性的、學生感興趣的、與課堂內容緊密結合的實際問題，實現對理論知識的分析和講解。在概率論與數理統計教學過程中應用案例教學法，引導學生自主學習、探究學習、合作學習，在發現問題、思考問題、分析問題、解決問題的過程中，提高將概率論與數理統計應用于實際問題解決的相關能力。

一、案例教學法的特征及優勢

案例教學法就是教師在課堂中通過引入與教學內容緊密結合的實際問題，并將其作為教學案例，引導學生參與案例分析和討論，實現理論知識與生活實踐的緊密結合，并促進學生發現問題、思考問題、分析問題、解決問題及將理論知識應用于生活實踐等相關能力的不斷提高。與其他數學課程一樣，概率論與數理統計也具有理解起來難度高、理論內容豐富抽象、相關試題復雜多樣等特征?；谶@些數學學習特征，傳統的教學方法不僅加大了教師的教學難度，而且也不利于教學效果的提高。這就需要教師積極的創新教學理念和教學方法，結合案例教學法激發學生的學習主動性和積極性，促進教學質量的不斷提高，以最終獲得理想的教學效果。在概率論與數理統計教學中應用案例教學，可以讓學生在生動形象的實際問題中，加深對抽象、難懂理論知識的理解。此外，學生還可以在具體案例的討論分析和探究過程中，獲得更高的學習熱情和興趣，以最終促進學生學習質量和教師教學效果的全面提高。從教學的層面而言，案例教學法充分發揮了學生在課堂學習中的主體作用，有效地培養了學生的自主學習能力、合作學習能力、探究學習能力。因此，案例教學法是溝通概率論與數理統計理論知識與生活實際相聯系的重要橋梁。

二、在概率論與數理統計教學中應用案例教學法需注意的問題

再好的教學方法都應該與教學內容相適應、與學生的認知水平、興趣愛好相一致，案例教學法同樣也要滿足這些要求。因此，在概率論與數理統計教學過程中應用案例教學法需注意以下幾個問題：

1、案例的選擇

案例教學法的實施過程中，要特別注重對案例的選擇。要選擇與所學理論知識聯系密切且難易程度適中、便于學生理解的案例。同時，在課堂教學中的應用的案例，還要具有一定的延伸性和拓展性，讓學生一方面可以在生動有趣的案例中，提高學習熱情；同時，也可以在經典案例的指引下，開闊思維、拓展視野。在概率論與數理統計的發展史上，有很多像“平分賭金”一類的經典案例。當然教師也可以根據專業背景、社會趨勢的具體變化，審時度勢地選擇與教學內容緊密結合的案例，以為學生營造一個輕松、自由、和諧的課堂氛圍，最終實現概率論與數理統計課堂教學的有效性的不斷提高。

2、案例教學的具體組織在應用案例教學法時，教師要特別注意案例引入的時機和方法。教師要通過提出問題的方式，先為學生設下懸念，以調動起他們的學習欲望。然后，再帶領新生開始了解和認識新知識，等他們對新知識有了初步的了解后，再結合之前案例中的問題，組織學生進行討論、分析，自由發言。在學生討論過程中教師要做好巡場指導和問題解決工作；在學生發表觀點后，教師要及時地就發現的問題做深入的分析和解答，幫助學生建立其解決實際問題的具體思路和有效方法。在概率論與數理統計的教學過程中，應用案例教學法的教師要特別注重對課堂時間的整體把握，要把握好案例討論和觀點表達的時間，要充分結合多媒體教學方式，以聲音、圖像、視頻等方式，將原本枯燥無味的理論知識形象生動地展示出來，為學生進一步研究和深入探討奠定基礎。

三、案例教學法的運用實例

在概率論與數理統計中，從每道例題到專題討論都可以使用案例教學法。下文筆者將結合幾個具體案例，對案例教學法在概率論與數理統計中的應用展開分析。結合經典的“平分賭金問題”，引入數學期望和古典概率的相關知識。

案例1: 保羅和德梅爾是兩個賭技術相當的賭徒，現他們各出六個金幣做賭注，賭前約定：誰先贏三局，就可以拿走所有的12枚金幣。而已知共堵了三局，保羅一勝兩負，但由于特殊原因要結束賭博，問如何分配這十二枚金幣，才能達到最大程度的公平。在引入這一案例后，教師可以留給學生幾分鐘的時間用于思考和討論，并表達自己的意見。根據學生的回答發現大部分學生是根據已經比賽的結果來對金幣進行分配，即保羅可以拿到1/3（4枚金幣），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金幣）。在同學們表達完自己的想法之后，教師可以引導學生對這一問題進行深入的探討，來分析這種分法是否正確。教師引導學生思考如果再賭兩局會有以下四種結果：德德，德保，保德，保保。前三種情況都是德梅尓先勝三局，那么他就可以獲得12枚金幣。只有最后一種情況是保羅先勝3局，可以得到12枚金幣。因此，整體看來，德梅爾和保羅能分別獲勝的概率為 和 ，那么該案例中金幣合理的分配方法應該是，德梅尓得到 （9枚金幣），保羅得到 （3枚金幣）。接下來教師就可以接著這個案例再進步一步引出古典概率的相關理論知識。同時，從另一個角度而言，如果，引入一個隨機變量 ，用來代表再繼續賭兩局后德梅尓所得，則 的取值為0或12，概率分別是 和 。因此，德梅尓的期望所得為： 。接下來教師就可以順勢引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“數學期望”的相關概念。此外，概率論與數理統計中還有經典的“三門問題”，教師可以在教學過程中通過對“三門問題”的引用，以加深學生對概率統計原理和思想的認識及理解，促進學生運用知識能力的進一步提高。

案例2: 美國二十世紀70年代有一個電視節目中有三扇門，在這三扇門后面有且僅有一扇門有獎品，節目參與者可以在這三扇門中任意選擇一扇門，主持人把另外兩扇門中沒有獎品的一扇門打開，然后問參賽者：“是否要換另外一扇門，還是堅持選擇最初的那扇門。”這時大部分人憑直覺認為，剩下兩扇未被打開的門中，有獎和沒獎的概率都是50%，因此沒有必要再做改變。然而用概率論的相關內容進行分析卻會得出相反的結論。原因是在最初參與者進行選擇時，能選中有獎門的概率為 ，其余兩扇門的中獎概率是 。然而當主持人打開確定沒有獎品的門之后， 的概率都集中到另外一扇參與者沒選的門上，而不會與參與者最初所選進行二次概率分配。也就是說如果參賽者能堅持最初的選擇，那么中獎概率僅為 ，而如果參賽者改變選擇，中獎概率為 。因此，主持人打開一扇門之后，如果參賽者改變最初的選擇，則會提高中獎概率。

參考文獻：

【1】謝安，淺析概率論與數理統計課程教學改革【J】，統計教育2005（04）：331-334.

作者：帕提古麗·木沙 米合甫孜·胡達拜地 單位：和田師范?？茖W校數學與信息學院