詮釋數學填空有法可依

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1．直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果.

例1設表示不大于x的最大整數，集合A={x|x2-2=3}，B={x|18＜2x＜8}，則A∩B=.

解析：此題是一元二次方程根分布問題，涉及指數不等式的解法，函數與方程思想，分類討論思想等.求解此題惟有直接法.

不等式18＜2x＜8的解為-3＜x＜3，所以B={-3,3}.

若x∈A∩B，則x2-2=3-3＜x＜3，所以只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.

若≤-2，則x2=3+2＜0，沒有實數解；若=-1，則x2=1，解得x=-1；

若=0，則x2=3，沒有符合條件的解；若=1，則x2=5，沒有符合條件的解；

若=2，則x2=7，有一個符合條件的解x=7.

因此，A∩B={-1,7}.

說明：用直接法做的填空題，往往是一道小型計算題，此類問題除了考查某些知識點外，往往還考查某種數學思想和方法.

2．特殊化法

當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果.

例2如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別為側棱AA1,CC1上的點，且AP=C1Q，則四棱錐B-APQC的體積為.

解析：P、Q點是變化的，但相互之間存在著條件AP=C1Q的牽制，使得四邊形APQC的面積為定值，而B點到面APQC的距離為定值，所以四棱錐B中國論文聯盟整理-APQC的體積為定值，考慮特殊位置，P→A,Q→C1，則易知VB-APQC=VB-AC1C=13V.

說明：特殊化法，就是將題中的某個條件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的條件下快速算出結果，至于如何將條件“特殊化”，應具體問題具體分析，便于計算即可.

3．賦值法

特殊值代入法，即賦值法，是解填空題題的常用方法.填空題因其題目的特殊性，在有些問題中不要求有嚴密的推理證明，而只要能借助于一些特殊方法寫出正確結果即可，故其應用相當普遍.

例3已知f(x)是定義在R上的函數，對任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.若函數f(x-1)的圖像關于直線x=1對稱，f(1)=2，則f(2011)等于.

解析：因為函數f(x-1)的圖像關于直線x=1對稱，所以f(x)是偶函數，于是由f(x+4)=f(x)+f(2)知f(-x+4)=f(-x)+f(2)=f(x)+f(2)，令x=2，得f(2)=0，所以有f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期為4.

所以f(2011)=f(-1)=f(1)=2，

說明：賦值法在抽象函數問題和二項式定理問題十分有效.

4．構造法

根據已知條件所提供的信息，適當的有目的的去構造函數、數列、方程或幾何圖形等使問題獲解.

例4數3可以用4種方法表示為1個或幾個正整數的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1.問：2009表示為1個或幾個正整數的和的方法有種.

解析：我們將2009個1寫成一行，它們之間留有20088個空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“＋”號.例如對于數3，上述4種和的表達方法對應：111，11＋1，1＋11，1＋1＋1.顯然，將2009表示成和的形式與填寫2008個空隙處的方式之間一對一，而每一個空隙處都有填“＋”號和不填“＋”號2種可能，因此2009可以表示為正整數之和的不同方法有（種）.

說明：構造法的本質就是構造恰當的數學模型，從看似沒有規律的“現象”中找到數學規律，這類問題具有較高的難度，我們應善于聯想，大膽嘗試.

5．等價轉化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果.

例5若函數f(x)=x3+ax2+bx+c.在區間上是單調遞減函數，求a2+b2的最小值為.

解析：由題意知f′(x)=3x2+2ax+b≤0在區間上恒成立，于是有f′(-1)=3-2a+b≤0f′(0)=b≤0，所表示的平面區域如圖所示，a2+b2的最小值即為原點到直線3-2a+b=0的距離的平方.不難算得答案為95.

說明：等價轉化是數學解題的“主旋律”.有些填空題“外包裝”很“華麗”，但一旦“剝去”這層“包裝”，基本的數學問題就會“凸現”，本例就是如此.

6．動態操作法

通過動手操作（實物模型）或模擬空間中的點、線、面元素的位置關系，探究解題過程，如翻折、展開、旋轉、投影等等.

例6如圖2，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2a，E、F、G、H分別是SA、SB、BC、AC的中點，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是.

解析：因為S-ABC是正三棱錐，所以四邊形EFGH為矩形，∴SEFGH=HG?EH，HG=12AB=a，是確定的，EH=12SC，是變化的，考慮EFGH的面積的取值范圍，其實質是SC的變化范圍.因為S-ABC是正三棱錐，S點在過△ABC的中心且垂直于面ABC的直線上運動，當S點處于無窮遠的“極限位置”時，SC趨近于無窮大，當S點處于平面內的“極限位置”時，“SC”=23?32?(2a)=233a，“SEFGH”=33a2，所以，四邊形EFGH的面積的取值范圍是（33a2,+∞）.

說明：動態操作法就是用運動的觀點處理問題，這個方法通常用在立體幾何和解析幾何相關的填空題中.

7．數形結合法

通過以數示形，以形示數，借助圖形的直觀性（函數圖像、幾何意義等）來求解.

例7已知函數y=f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1)，且x∈時，f(x)=x2，g(x)=log5x，則方程f(x)=g(x)的解的個數為.

解析：f(x)=g(x)是個超越方程，我們無法把根一一求出，而結果只關心根的個數，于是想到通過作圖象來直觀判斷.由條件知，函數y=f(x)(x∈R)是以2為周期的周期函數，且當x∈時，f(x)=x2.在同一坐標系內作出y=f(x)與y=g(x)的圖象（如圖），由圖象易知，y=f(x)與y=g(x)有4個交點，故方程f(x)=g(x)的解的個數為4.說明：數形結合法雖然能使答案一望便知，但作圖必須力圖精確，尤其是函數圖象，否則也難保結果準確.

[JX+1.7mm][XC0833B.TIF；%115%100][JX-+1.7mm][KG-23.5mm]8．類比推理法

類比推理是一事物推廣到它事物的過程，即指由某類對象的某些屬性，運用類比推出它所在別的屬性上也可能具有相同或相似的屬性.“類比”的載體可以是平面到空間的升維，也可以是方法的遷移、策略上的推廣、情景上的發散等等.

例8我們可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍.你可以從給出的簡單圖形①、②中[JP3]體會這個原理．現在圖③中的曲線分別是x2a2+y2b2=1(a>b>0)與x2+y2=a2，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為．

解析：用平行于y軸的直線x=t截圖形，截得的橢圓弦長為2baa2-t2，截得圓的弦長為2a2-t2，它們的比為ba，∵圓的面積為πa2，∴橢圓的面積為πab.把這個結論推廣到空間，就是祖恒原理了．

說明：類比推理型填空題是近幾年高考的熱點問題，這類要求我們由此及彼，發散思維，快速找到一些問題的“共同語言”.

其實，解答填空題的方法，何止上文提到的八種！而能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，才是快速準確地解數學填空題的關鍵！