數(shù)列的極限

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數(shù)列的極限范文第1篇

一、問題的提出

引例1：計算（）n3。

解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2。

本例中數(shù)列極限（1+）=e許多學生認為是由于（1+）n=e，但這種想法似是而非，嚴格地講這是由（1+）x=e得出來的，同一個類型的例子基本上都是這樣，由此可見x=e這個式子的正確使用是我們必須要掌握的。

引例2：證明（1+）x=e。

證：對于任意的x>1，有（1+）[x]

其中[x]表示x的整數(shù)部分，令x-> +∞ 時，不等式左右兩側表現(xiàn)兩個數(shù)列的極限 （1+）n=e與（1+）n+1=e，再利用函數(shù)極限的夾逼定理得到（1+）x=e。

接下來我們重點了解一下能不能從數(shù)列極限 （1+）n=e求函數(shù)極限 （1+）[x]=e 。研究數(shù)列極限和函數(shù)極限時，許多學生會想到海涅定理，根據(jù)海涅定理， （1+）[x]=e的充分必要條件是對于任意趨于+∞的數(shù)列{n }都有。

當xn=n時，數(shù)列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。

當xn=n2時，數(shù)列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是數(shù)列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。但是當 xn=時，數(shù)列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，顯然數(shù)列{（1+）n}是數(shù)列{（1+）[xn]}的子列，因此從邏輯上我們就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接將{（1+）[xn]} 認為是{（1+）n}的子列，則明顯錯誤的。

二、得到的重要結果

通過上面的分析，我們就可以提出下面的定理。

定理1 設f（x）在[a，+∞]上有定義，（a>0），如果存在數(shù)列{xn }，{yn }滿足對于任意x>=a，當n

證明：對于任意 A>0，由于 xn= yn=A，所以存在N∈N+ （假設N≥a），當n>N時，就會有x-AN且n0≤x≤n0+1，由條件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-A≤f（x）-A≤yn-A，于是f（x）-A≤max{xn-A，yn-A}

由極限定義知f（x）=A。

例1：證明=（1+）x=e。

證明：對于任意x≥1，當時n≤x

而 （1+）n=（1+）n+1=e，即有（1+）n

由定理1可知 （1+）x=e。

例2：證明 x=1。

證明：對于任意的x≥1，當n≤n+1時有=[x]

在學習定積分時且遇到下面的問題：

例3 ： 計算極限。

解： 對于任意的x≥，當≤x≤（k∈N+）時，有costdt≤costdt+costdt=1+2k及costdt≥costdt+costdt=1+2（k-1），于是=≤≤=，而且==。

所以受定理1的啟發(fā)，結論應該是=。

數(shù)列的極限范文第2篇

關鍵詞：平均值；極限；聚點

關于數(shù)列平均值的極限有下面著名的結論：

定理1 數(shù)列{an}極限存在為a，則由前n項的平均值構成的數(shù)列a1+a2+…+ann極限也存在且等于a。

下面我們考慮該定理的逆命題及否命題是否成立。首先我們考慮否命題，也即“如果數(shù)列{an}極限不存在，那么數(shù)列a1+a2+…+ann極限存在”是否成立呢？我們給出下面的例子。

例1 令an=n，則有l(wèi)imn∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我們有l(wèi)imn∞a1+a2+…+ann=+∞。

可見當{an}極限不存在時平均值a1+a2+…+ann的極限可能不存在，也即定理的否命題不成立。如果將無窮（+∞、-∞或∞）看成是廣義極限（或非正常極限）的話，那么上面的例2并不能說明問題，我們再給出下面的例子。

例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}極限不存在。n=3k-2時，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

n=3k時，

a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

可知數(shù)列a1+a2+…+ann有兩個子列收斂到不同的極限，從而a1+a2+…+ann極限不存在。

上面的兩個例子中數(shù)列{an}都是無界數(shù)列，an的變化很大，導致了平均值的極限不存在，那么我們就會有這樣一個想法，對有界數(shù)列{an}而言，an總在上下界之間變化，改變幅度有限，這樣會不會使得平均值極限一定存在呢？我們有下面的例子。

例3 如下定義數(shù)列{an}：

a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

假設前2?3k項已定義，令a2?3k+1=…=a2?3k+2?3k=1，a2?3k+2?3k+1=…=a2?3k+2?3k+2?3k=-1。

很顯然，數(shù)列{an}有界，且極限不存在。對于平均值數(shù)列a1+a2+…+ann，當n=2?3k時，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2?3k=0；

當n=4?3k時，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12?3k個4?3k=12。

可知數(shù)列a1+a2+…+ann有兩個子列收斂到不同的極限，從而a1+a2+…+ann極限不存在。

從上面例子可以看出不論數(shù)列{an}的有界性保證不了平均值極限的存在性。

接下來我們考慮定理的逆命題，也即“如果數(shù)列a1+a2+…+ann極限存在，那么數(shù)列{an}極限存在”是否成立。這個命題也是不成立的，我們有下面的例子。

例4 令an=（-1）n，很顯然{an}極限不存在。但a1+a2+…+ann為-1或0，是有界量，從而limn∞a1+a2+…+ann=0。

比較上面的例3和例4我們發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列都只是由1和-1構成的，那么為什么會造成一個平均值極限存在，一個平均值極限不存在呢？這主要是由于1和-1出現(xiàn)的頻率不同造成的。在例3的數(shù)列中1和-1在前n項所占比例隨著n的增加變化很大，而在例4的數(shù)列中1和-1在前n項所占比例比較穩(wěn)定，n增加時二者所占比例趨近于1/2。這又為什么會造成平均值極限存在呢？我們可以用概率的觀點來理解這件事情。把例4數(shù)列理解為一個隨機事件，那么1和-1在前n項所占比例也就是頻率，頻率的穩(wěn)定值是概率，所以該隨機事件中出現(xiàn)1和-1的概率都是1/2，從而數(shù)學期望為12×1+12×（-1）=0，而數(shù)學期望正是平均值的穩(wěn)定值，所以平均值的極限存在且等于0。其實不光對例4我們可以這樣理解，對其它一些情況也有類似的結論。我們給出下面的定理。

定理2 假設有界數(shù)列{an}有且僅有兩個聚點x和y，其中xx+y2}中元素的個數(shù)。如果極限limn∞xnn=p，則有l(wèi)imn∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

證明 將{an}中小于等于x+y2的項構成的子列記為{bn}，大于x+y2的項構成的子列記為{cn}。下面證明limn∞bn=x，limn∞cn=y。

反證法。若{bn}不收斂于x，則必存在x的一個鄰域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的無限多項。而{bn}為有界數(shù)列，這無限多項也是有界的，從而由聚點定理可知這無限多項至少有一個聚點z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，從而z≠y。也即{bn}有一個不同于x和y的聚點，這也意味著{an}有一個不同于x和y的聚點，這與{an}只有兩個聚點矛盾，limn∞bn=x得證。同理可證limn∞cn=y。

由定理1可知limn∞b1+…+bnn=x，limn∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n項中有xn項屬于子列{bn}，有yn項屬于子列{cn}，故limn∞a1+a2+…+ann=limn∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

=limn∞b1+…+bxnxn?xnn+c1+…+cynyn?ynn

=limn∞b1+…+bxnxn?limn∞xnn+limn∞c1+…+cynyn?limn∞ynn

=xp+ylimn∞n-xnn=px+（1-p）y.

可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情況。上面的定理是對于只有兩個聚點的數(shù)列得到的，其實對有有限多個聚點的數(shù)列也有類似的結論，我們不加證明地給出下面的定理。

定理3 假設有界數(shù)列{an}有k個聚點x1，x2，…，xk，其中x1

參考文獻：

[1] 《數(shù)學分析》，華東師范大學數(shù)學系編，高等教育出版社，2010（第四版）

數(shù)列的極限范文第3篇

【關鍵詞】前列腺切除術；手術配合；護理

前列腺增生是老年人常見病，一般認為最主要的發(fā)病因素是機體內(nèi)激素的平衡失調(diào)所致，手術方法有兩種：一種是經(jīng)尿道前列腺切除術，只適合前列腺增生較小的患者；另一種是恥骨上前列腺切除術，此手術解除梗阻較徹底，并發(fā)癥少。2006~2008年我院對56例患者施行恥骨上前列腺切除術，取得了良好的效果，現(xiàn)將手術配合介紹如下：

1 心理護理

本病系老年病，大多數(shù)病人對手術抱有懷疑、恐懼、擔憂等心理，需要根據(jù)患者不同的心理采取相應的心理護理，因此，手術前應向患者講明手術的目的、過程及預后情況等，讓患者放松，解除不必要的思想負擔和恐懼心理，為術中保持穩(wěn)定的情緒奠定了基礎。

2 巡回護士

2.1 患者進入手術室，巡回護士應嚴格執(zhí)行查對制度，做好手術部位皮膚準備，以及血型、配血、術前用藥等。

2.2 協(xié)助麻醉師進行麻醉后，讓患者平臥，給患者導尿，沖洗膀胱，臀下墊小紗袋，將臀部抬高15°，以便暴露手術視野，再固定好四肢。

2.3 用大號留置針連接三通管，輸入液體、血液，便于靜脈給藥。

2.4 摘除前列腺后，失血較多，準備好60℃左右熱鹽水，同時準備5cm寬、700cm長、縫好的無毛邊紗布條，用熱鹽水紗布條壓迫止血。2.5 密切觀察病情變化，注意吸引器、電刀等功能是否完好，準確無誤，快速執(zhí)行醫(yī)囑，確保患者生命安全及手術順利進行。

3 器械護士

3.1 術前了解情緒，熟悉步驟，做到心中有數(shù)；術中做到配合準確、迅速、注意力集中，器械護士對手術臺上的一切用物都必須與巡回護士查對。

3.2 在恥骨上做一正中切口，切開腹直肌前鞘及錐狀肌，上推腹膜，暴露膀胱，切開膀胱前壁，兩邊各用腸線縫合一針做牽引用，切開膀胱時，即用吸引器引出膀胱內(nèi)尿液。

3.3 前列腺摘除后，手術部位大量出血，此時立即用熱鹽水紗布止血，再用可吸收線在膀胱頸3~9點處作多個8字縫合止血，再逐層向外縫合，待縫好皮膚后將適當型號的三腔導尿管插入尿道，在氣囊內(nèi)注入20~30ml鹽水，手術完畢，器械護士和巡回護士查對用物無遺漏后，擦凈患者體表血跡，包扎好切口，待生命體征平穩(wěn)后送返病房，并與當班護士交待有關情況和要點。

數(shù)列的極限范文第4篇

1優(yōu)點

1.1這種療法非開放性手術,術后病人身體上看不到傷痕,醫(yī)生只需將電切鏡通過尿道插入就可以完成全部手術操作,無需切開皮膚等各層組織,術后不留疤痕。

1.2手術時間短,電切鏡插入后,尿道即直接達到前列腺組織,省略了切開縫合多層組織的操作程序節(jié)省了很多時間,而且由于電切操作時需要不斷用大量沖洗液保持視野的清晰和帶走切除的組織,時間過長又引起經(jīng)尿道電切綜合征,發(fā)生“水中毒 ”的危險,因此手術本身要求在1小時內(nèi)結束,這也決定了手術時間不能太長。

1.3手術創(chuàng)傷較小,由于經(jīng)尿道前列腺電切術是非開放性手術,手術時間又短,對患者的打擊較開放性手術自然要小,一些難以承受開放手術的高年患者,部分有合并癥的病人也可以接受這種手術。

1.4電切術可以重復進行不單對前列腺增生過大患者可采用分次經(jīng)尿道電切最終完成整個增生前列腺的切除的手術,而且對于開放性前列腺切除有組織殘留,癥狀不得緩解或者經(jīng)尿道電切術后癥狀復發(fā)者還可以進行電切術或者再次電切以解除梗阻。

2護理

2.1術前護理

2.1.1一般護理:前列腺增生病人大多數(shù)是老年病人,常有不同程度的高血壓,冠心病、慢性支氣管炎等,術前積極配合醫(yī)生進行有關功能檢查,了解病人全身情況以便進行充分的手術準備,提高手術耐受力。

2.1.2心理護理:患者大多數(shù)較緊張,應穩(wěn)定病人情緒,向病人解釋手術的優(yōu)點,創(chuàng)傷小,出血少,手術過程短。

2.1.3戒煙酒:預防肺部感染,術前常規(guī)灌腸排空腸道,術前針,手術日禁飲食,必要時合血,病人有活動性齒應取下。

2.2術后護理

2.2.1飲食指導:術后6小時內(nèi)禁飲食,6小時后進流質(zhì)飲食,患者皆為老年人抵抗力差,加之手術消耗身體虛弱,應矚患者家屬為病人準備營養(yǎng)豐富的高蛋白,高微生素飲食,以加速創(chuàng)面愈合,增強體力,早日康復。

2.2.2:患者取平臥位,將氣囊牽引固定在大腿一側,不得隨意屈曲大腿,改變氣囊固定位置,以防氣囊破裂移位導尿管松脫引起出血。

2.2.3保持外陰清潔:術后要保持會陰清潔,避免大便污染,每日更換尿袋1次,碘伏消毒尿道口周圍2次以保持清潔,防止引起感染。

2.2.4膀胱沖洗指導:術后需進行膀胱沖洗,以清除傷口處的血液,保持膀胱沖洗管道通暢,防止扭曲、折疊、脫落。應觀察沖洗的速度與流出的速度是否成正比,防止尿流不暢。

2.2.5測生命體征、體溫、脈搏、呼吸、血壓,注意觀察患者意識狀態(tài)。因老年患者會有不同程度的心血管病,因此應觀察生命體征變化并做好記錄。術后第一天1-2小時測一次血壓,術后第二天可改為2-4小時測一次。

2.2.6疼痛護理:手術后患者均有不同程度的疼痛,可指導患者讀書 看報 聽音樂以分散注意力,如果疼痛劇烈,可遵醫(yī)囑給予口服或肌注止痛藥物,術后留置連接硬膜導管的陣痛泵,可有效緩解術后疼痛。

2.2.7心理護理:患者為老年男性,性格多比較內(nèi)斂,加上手術部位的原因,一般均有自卑與羞澀心理,應注意安慰體貼患者,解除其心理障礙,使其坦誠對待疾病。

膀胱功能訓練:術后14天拔出尿管,因長期持續(xù)導尿,膀胱張力減低,所以在未拔出尿管前兩天夾閉尿管間斷,每3-4小時一次訓練膀胱功能。

2.2.8預防褥瘡:病人多為老年人,持續(xù)導尿活動不便,因此需要協(xié)助按時翻身,一般3-4小時翻身一次,臀部皮膚按摩促進血液循環(huán)。

3 康復指導

數(shù)列的極限范文第5篇

關鍵詞：獵歌；門德爾松；音樂分析；和聲

1 門德爾松及作品介紹

費力克斯?門德爾松（1809～1847），德國十九世紀上半葉著名作曲家、指揮家。門德爾松在古典音樂傳統(tǒng)與民間藝術的滋養(yǎng)下成長，在啟蒙思想、人道主義精神與浪漫主義思潮的影響下前進。門德爾松是浪漫主義時期鋼琴特性曲的創(chuàng)始人，他首創(chuàng)了無詞歌這一鋼琴體裁，1830年初，門德爾松赴意大利旅行，金色秋天裝點下的威尼斯猶如綻開的睡蓮，他欣賞了文藝復興時期大畫家的傳世之作，這使他很著迷，他在此寫下的《威尼斯船歌》便蘊含著當時的豐富感受，意大利的大自然、光輝燦爛的古代藝術和文藝復興時期的藝術，深化了他的人文主義思想及追求古典美的審美觀念，也豐富了他的審美體驗，觸發(fā)了他的創(chuàng)作靈感，并促使他創(chuàng)作了意大利交響曲、《無詞歌》第一冊等浪漫主義藝術精品。《無詞歌》中獵歌生動的描繪了歐洲的狩獵場景，具有明朗、積極向上的情感，獵歌選自歌德《詩歌集》中的一首詩《獵人的晚歌》而創(chuàng)作的，他想用音樂的語言來解釋文字性的文學內(nèi)容，他曾經(jīng)在給朋友的一封信中寫道：“我所喜愛的一首樂曲所表達的思想要用文字來說明時，不是感到音樂太不確定，而是太確定了。”在獵歌中，我們能夠感受到大自然的清新氣息、浩蕩的狩獵隊伍和人們歡騰愉悅的心情。

2 音樂分析

獵歌的旋律線條并不像人聲一般，因為它完全超出了人聲的音域，但依舊能感受到人們心情愉悅，歡唱的情景。樂曲為活躍的6/8拍子，左手八度音程的演奏，描述著狩獵隊伍號角的吹響，演奏過程中要注意左右手的強弱對比，同時注意左手的根音，為A樂段主題的引出做好鋪墊。以A大調(diào)為基調(diào)，是帶引子、尾聲的再現(xiàn)三部曲式，引子1～5小節(jié)，一個樂句構成。A樂段6～29小節(jié)，分為兩個樂句，6～15小節(jié)為第一樂句，16～29為第二樂句，B樂段為第30～50小節(jié)，再現(xiàn)樂段A1為51～67小節(jié)，為變化再現(xiàn)，是更加豐富的主題呈示，不完滿終止于67小節(jié)的第一拍A大調(diào)I級和弦上。尾聲為68～100小節(jié)，相對來說尾聲的篇幅有點長。

引子部分是向上流動的琶音，和弦明亮飽滿，A段為封閉式樂段，結束在第29小節(jié)的E大調(diào)I級和弦上。主題帶有附點的動力性節(jié)奏，級進上行的旋律型，能人一種向上的勇敢力量。主題音調(diào)激越，情緒高昂，描繪出煙塵滾滾，獵手策馬急鞭的景象，演奏時要注意十六分音符和十六分休止符的節(jié)奏，手腕要靈活，同時要注意力度上的變化。從側面描寫出狩獵者整裝齊發(fā)的雄姿情景。第二樂句16～29小節(jié)八度和大河西安的運用表現(xiàn)出狩獵者的勇敢，演奏時要注意渾厚有力，但不可過于粗壯。在B樂段，運用了新的音樂材料，29小節(jié)的力度標記為ff，演奏時需要注意各個力度標記，左右手旋律表現(xiàn)出樂曲的復調(diào)性特點，調(diào)性依然在基調(diào)的屬方向調(diào)E大調(diào)上進行，右手用八度演奏，加上6/8拍子急促的音符氣勢更加高昂有力，再現(xiàn)段A1主題由左手奏出，右手依然為八度音型，表現(xiàn)獵人隊伍滿載而歸的歡快之情，再現(xiàn)樂段在結構上有8小節(jié)的擴充。尾聲分為兩個部分，第67～75為第一部分，第76～100為第二個部分，因為尾聲的結構相較來說篇幅稍長，并且從材料上看第二部分運用的是A樂段的材料進行的變化重復，所以本曲也有一定的回旋曲式的特點，但更多的是把它作為首位呼應的再現(xiàn)三部曲式，右手是十六分音符的伴奏聲部，左手則為重復主體材料形成首尾呼應。85小節(jié)開始的各聲部的演奏要彈奏清晰，減弱較長，右手的音也要適度的減輕，就像是狩獵者們滿載而歸的馬蹄聲漸行漸遠。

3 藝術表現(xiàn)

樂曲中我們需要注意到八分音符的休止符，速度為比較快的小快板，演奏時要將速度考慮進去，樂曲A段沒有比較明顯的終止點，但是有呼吸的小氣口。

整個A樂段有一氣呵成的感覺，我們可以清楚的看到第三行的左手變成了伴奏，并且以兩小節(jié)為一個氣口，這個氣口我們稱之為“單元”。

在第15小節(jié)的第5拍上只有7音和4音而沒有2，是的樂曲有種空的感覺，在此處樂曲已經(jīng)進入到了E大調(diào)。第29小節(jié)為第16小節(jié)的展開變化，節(jié)奏相同，沒有三音，是本曲一個重要的特點，這是作曲家有意安排進來的，他又可能是有意識的去模糊調(diào)性，也可以更好的去展開調(diào)性。B樂段主題左右手相互交替的是左手部分的材料，具有展開性的寫法，右手第46小節(jié)的556用的是引子左手部分的材料，屬準備是動力化的也是展開的因素之一，再現(xiàn)和屬準備是同步的，并不是銜接的，在69小節(jié)左手又引用了引子左手部分的材料，引子部分貫穿全曲，加強了全曲的統(tǒng)一性。

整首樂曲結構短小，旋律變化很小，演奏時也較容易把握，但我們要學習門德爾松在作曲時對于和聲和織體的巧妙運用，以及對于曲式結構的經(jīng)典示范，通過以上對本曲的淺顯分析，希望能夠幫助大家更好的理解和學習獵歌。

參考文獻：

[1] 吳蕾.論門德爾松鋼琴作品的藝術風格與創(chuàng)作思想[D].華中師范大學碩士學位論文，2008.

[2] 吳祖強.曲式與作品分析[M].北京：人民出版社，2003.