概率論與數理統計試題

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概率論與數理統計試題范文第1篇

考試科目有：高等數學、線性代數、概率論與數理統計。考試內容比較多、全面、題目設置有一定難度。在試卷內容中，各科目所占比例為：高等數學56%、線性代數22%、概率論與數理統計22%。

考研數學二

考試科目有：高等數學、線性代數。在試題中，各科目所占比例為：高等數學78%、線性代數22%。

考研數學三

概率論與數理統計試題范文第2篇

按照應用性為主的教學目的要求，在概率論與數理統計教學過程中，應該以培養學生應用概率論與數理統計方法解決實際問題的能力為出發點，使學生掌握概率論的基本知識和理解統計方法的基本思想，并將理論的學習轉化成一定的統計應用能力。隨著目前統計工作所面臨的數據日益龐大，傳統教學中的計算公式已經很難使用手工計算的方式進行求解，因此借助于計算機及統計軟件完成統計計算，分析統計結果、做出統計推斷便成為統計教學中不可忽視的一個手段。使用軟件輔助概率論與數理統計的教學能使課程中的數據處理和數值計算更簡易、更精確。伴隨著計算機技術及數學軟件的發展，使得諸多的統計分析借助數學軟件得以實現，如參數估計、假設檢驗、方差分析和回歸分析等計算問題，也無需擔心大量的統計數據帶來的計算量等問題。同時，在高等教育統計教學中應用統計軟件，有利于培養學生學習統計、計算機及軟件等專業課的興趣，提高學生的計算能力和利用專業知識解決實際問題的能力，科學整合統計教學內容，促進統計教學面向社會需要，提升學生的實踐能力。在教學中進行軟件的訓練也能為學生將來的工作打下初步的基礎，為了更好進行概率論與數理統計的教學和實踐，近年來新編教材也增加了數學軟件的內容，在概率論與數理統計課程教學中使用數學軟件已成為改革發展的趨勢。在課堂教學中，為了讓學生加深對理論的理解，實踐環節的設置變得非常關鍵，概率論與數理統計課程中加入數學實驗能很好的填補學生在理論和實踐之間的空白。數學實驗的開展可以在數學教育中體現學生的主體意識，讓學生做到邊學邊用，提高學生學習的趣味性、體現數學教育的時代性。因此，將數學實驗融入概率論與數理統計教學，是概率論與數理統計教學改革中非常值得探討和研究的課題。根據概率論與數理統計課程的特點，數學實驗的內容設計可以和案例教學方法進行有機結合。案例式教學能解決概率知識綜合運用的問題，能豐富課程內容、加深學生對知識的理解。教學案例能將所學知識有機聯系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對案例設置問題的求解，便能使學生完成由學概率論與數理統計理論到用概率論與數理統計解決問題的轉變。在解決實際問題的過程中輔以軟件進行數值計算試驗，能最大限度發揮軟件的優勢，使學生學以致用，將理論學習與實際應用有機結合起來。在傳統概率論與數理統計教學過程中，概率論與數理統計課程計算量大一直是困擾課堂教學的難點問題，如二項分布，若試驗次數較多，其中的具體概率計算將變得十分復雜。復雜的計算往往使得教師的教學重點發生偏移，側重課后習題計算的處理，使得課程的設計重點偏向排列組合公式的計算。另外在教學過程中，前后知識的聯系對初學者也是一個障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機變量時還會用到，但在教學實踐中我們會發現，由于缺少互相聯系的教學實例，學生一般都是將這兩部分分開來學習，不習慣將前面的知識和隨機變量進行有機結合。因此設計恰當的案例，將知識前后貫通是教師面臨的重要任務。

2軟件介紹

在強調學生為主體的實踐式教學設計中，教師設計案例的求解一般要選擇合適的軟件進行輔助，當前數學軟件眾多、功能強大，如綜合性軟件Mat－lab，統計專業軟件SPSS、SAS等。對于專業數學軟件一般要先進行軟件的學習才能用來解決實際問題，對于概率論與數理統計這樣一門獨立的課程，顯然不宜專門來進行軟件的培訓，為了應對實踐教學課堂應用，簡單易學且容易配置的軟件能最大限度實現教學任務。在此以Excel為例介紹案例式教學和利用Excel進行軟件試驗的一點嘗試。Excel使用簡便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進行操作，且具備有強大的圖形功能，便于概率結果的呈現和分析。Excel有豐富的概率函數，能幫助用戶進行各種類型的概率計算，或進行隨機模擬來學習概率論與數理統計。Excel可以計算大部分常用理論分布的概率密度函數PDF、累積分布函數CDF以及模擬產生服從常用概率分布的隨機數據。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強大的學習工具。選用Excel作為概率論與數理統計教學輔助軟件的另一個原因是作為微軟Office工具之一，大部分學生均了解Excel的使用，因此不用進行軟件的教學即可用來解決實際問題，在學習過程中也能進一步促進學生對軟件的使用增強他們解決實際問題的能力。下面介紹一個利用Excel輔助的案例式實驗教學設計實例。為了使數學實驗背景貼近學生的學習生活，以考試中選擇題成績分析為例。背景分析：考試是每個學生都經歷的學習過程，其中選擇題是經常遇到的類型，選擇題的設計與概率知識之間有密切的關系。通過與學生密切相關的問題引入概率教學，能極大激發學生的學習興趣。問題設計：選擇題在解答時不同于填空題或者解答題，因為在完全不會的情況下仍有可能靠猜測得到正確的答案，那如何來評估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數理統計的基本知識予以研究？

3實驗教學案例設計

首先提出基本假設，考試時一個選擇題有4個選項，僅有一個選項是正確的，如果不會做就隨機作答，因此在不會做題的情況下隨機選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對了，對于老師來說，按照成績評價學生實際知識水平非常重要，因此需要評估在答案正確的前提下求學生實際會做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會做該題的概率一直大于被試者實際會做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區分被試者的不同程度，需要適當調節題目的難度來區分被試者是不是真的會做。作為一個例子，若學生會做與不會做的概率相同，取x＝0．5，則容易計算出P（A｜B）＝0．8，即實際會做概率為0．5時，選擇題表現出來的得分可能為0．8分。對于數學實驗來說，讓學生自己對該案例進一步討論，親自實踐在軟件輔助下的概率解題，對促進學生將理論用于實際非常重要。在課堂講授的基礎上，可以將學生自學內容引申到用隨機變量的分布律和分布函數來研究在實際考試中選擇題得分情況演示，結合二項分布理論研究選擇題對學習評價的情況。評價借助于Excel軟件設計如下實驗。假設某項考試由100道選擇題組成，每道題1分，學生會做該題的概率為x（實際問題中相當于難度系數為1－x），當x＝0的時候，被試者對考試內容完全不會，每題都隨機選擇，可以看成服從參數為（100，0．25）的二項分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數進行二項分布概率密度值和分布函數值的計算來演示考試結果。函數用法為：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數量，可以使用單元格自動生成，n，p為二項分布的參數。n表示總試驗次數，p表示每次試驗中事件出現的次數即答對題的概率。后面的參數FALSE／TRUE用來說明是計算概率密度函數和是計算分布函數。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示對A2單元格中的自變量計算參數為（100，0．25）的二項分布概率密度函數值。使用Ex－cel的自動填充功能，便可方便生成該二項分布的概率密度表。為方便調節二項分布參數，可以將參數（n，p）用單元格的絕對引用代替，改變參數單元格的數值就能得到不同二項分布的概率密度表格。Excel還可以對概率密度表和分布函數表生成條形圖和線圖，若試題難度系數0．5，學生事實會做的題目應該有50道，因此會做的題目有50道，另外不會做的隨機選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。

4結束語

概率論與數理統計試題范文第3篇

關鍵詞：概率論與數理統計；案例教學法；應用

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0080-02

一、引言

隨著現代科學技術的不斷進步與計算機技術的飛速發展，無論在自然科學領域還是在社會科學領域中，傳統的肯定性數學已經不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應用問題，因而在這個過程中隨機性數學即概率論與數理統計得到了突飛猛進的發展[1]。長期以來，隨著概率論與數理統計在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學、社會科學、工農業生產、工程技術等領域中的應用日益廣泛和深入。當今許多新興學科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎；它與基礎學科相結合已發展出許多邊緣學科，如生物統計、統計物理、數理經濟等。基于上述實際應用背景，概率論與數理統計的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數理統計課程已成為理工科各專業大學生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學數學統考試題中重要內容之一。因此，學習與掌握概率論與數理統計的基本理論與應用，不僅是將來從事科學研究與工程實際工作的需要，也是繼續學習現代科學技術與個人深造的需要，也是高度發展的現代科學技術對現代化人才提出的基本要求[1]。

概率論與數理統計課程是研究和探索隨機現象統計規律的一門數學科學。通過本課程的學習，培養理工科學生靈活地運用概率論與數理統計的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實際隨機現象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數理統計》教學模式過于側重理論推導和計算技巧訓練，忽視對學生解決問題的思想方法和應用能力的培養。在上述傳統教學活動過程中學生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學活動，不能充分發揮學生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數理統計的方法去解決實際問題。因此，如何提高課堂效率和達到最佳教學效果成為從事此類教學工作的教師長期關注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數理統計》案例教學法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實施案例教學成為教學工作者研究的重點內容。

結合多年的教學實踐，針對傳統教學法存在的不足，筆者就在《概率論與數理統計》課程的古典概型知識點的課堂教學中如何合理地應用案例教學法提出自己的一些認識和見解。

二、案例教學法的內涵及優勢

案例教學法自20世紀初被美國哈佛商學院倡導用于管理學教育以來，已被許多國家的教學實踐證明是一種具有啟發性、實踐性并有利于提高學生應用能力和綜合素質的教學方法[5]。

案例教學法是以案例為基礎的教學方法，教師在教學過程中，根據課程教學內容和教學目標的需要，選擇含有問題或疑難情境在內的真實發生的典型事件（案例），采用引導、啟發、參與等多種教學方式，通過深入分析、討論和交流的教學互動過程，以設計者和激勵者的角色組織學生積極參與課前精心設計的案例所提供的客觀事實和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學生對課堂教學內容理解和提高學生分析問題和解決問題能力的一種教學方法。案例教學法具有教學目的明確、引用案例客觀真實、對學生有深刻的啟發性、充分發揮學生主體性、較強的實踐性等特點，在實際教學過程中發揮著重要的作用[10]。

與傳統教學法相比，案例教學法具有明顯的優勢[6]，具體包括：①有利于提高學習的趣味性；②有利于調動學生學習的主動性；③有利于提高學生的語言文字表達能力；④有利于培養學生交流和合作的意識；⑤有利于實現教學相長。同時，大量研究表明：案例教學法可以調動學生學習的主動性與積極性，充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，從而達到“教”和“學”的互動交流，增強師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。

三、案例教學法在課堂教學中的應用

1.案例教學法的應用步驟。根據案例教學法的上述內涵可知，案例教學法是在課堂教學中對案例進行深入分析和討論的基礎上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實例推理、求解，而這樣可以提高學生對這一知識的理解和掌握，進一步提高學生的學習興趣和增強學生發現、分析和解決實際問題的能力。因此在課堂上應用案例教學法時，通常要遵循以下幾個步驟。

（1）根據所講授的知識點內容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解，任何理想化的、脫離實際的例子都會誤導學生，從而失去教學的意義，這是實施案例教學的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實性、針對性、典型性和時代性，是大家共同感興趣的話題。總體而言，為了達到良好的教學效果，應選擇與相應專業比較貼近的案例，以便調動學生學習的積極性。

（2）對挑選出的案例進行問題設計，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學的中心環節。對案例進行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發來剖析案例，說明自己的觀點和看法。教師要掌握討論的進程，讓學生成為案例討論的主體，同時把握好案例討論的重點和方向，進行必要的引導。同時，在組織案例教學時要輔以各種有效的教學方法，如啟發式教學、討論式教學，讓學生積極參與，大膽發表意見，提出觀點，深入思考，激發學生的學習熱情及科研興趣，使案例教學效果達到最佳，培養學生運用概率統計原理解決實際問題的能力[2，7]。

（3）對所選的案例所解決的問題一定要進行歸納總結。案例總結是保證和提高案例教學質量的必備環節。對案例的總結一般要包括以下內容：一是對討論過程進行總結，對于一個案例，讓學生提出各種觀點及其案例所包含的概率統計原理，讓學生通過分析和評價案例，掌握正確處理和解決復雜多變的現實問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點、難點問題作補充或提高性的闡述，指出學生在分析案例時存在的問題，并提出需要進一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進行總結分析，所選取的教學案例是否恰當，與課堂知識點的結合是否良好，案例教學是否達到了預期效果，存在哪些問題，以便加以改進[7]。

2.案例教學法應用實例。在教授古典概型時，可以采用如下步驟進行案例教學。

（1）案例引入。引入擲骰子實驗，提出的問題是：①實驗的可能結果是什么，是否是有限的？②每一個實驗結果是否是等可能出現的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數點的概率是多少？

（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實驗結果即樣本空間？贅={1，2，3，4，5，6}，從而得到實驗的結果是有限個；其次，討論每一個實驗結果是否等可能的發生，經過討論得出在骰子質量均勻分布情況下，每個實驗研究結果都是等可能發生的，從而得出每個實驗結果出現的概率為■；然后，在第二個問題討論的基礎上，得出偶數點的出現概率為出現點數為2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。

（3）歸納總結。

（a）經過歸納可知，擲骰子實驗有兩個特點：①實驗的結果是有限的；②實驗的每個結果是等可能發生的。凡是滿足上述兩個特點的實驗，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學生對古典概型的認識，也可以對拋硬幣、抽取產品、買彩票等實驗進行分析，以判斷它們是否為古典概型。

（b）授課教師在課堂上通過引導學生參與討論與分析，總結出古典概型中事件A的概率計算公式，即

P（A）=■

（4）實例應用。在公園門口，一個擺地攤的賭主將8個白色的、8個紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續費”后，可一次性從袋子中摸出5個球；在摸出的5個乒乓球中，有5個紅球獎勵20元，有4個紅球獎勵2元，有3個紅球獎勵價值5角的紀念品，而僅有1個或2個紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數十次，結果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎者寥寥無幾，這是怎么一回事呢？請計算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計算，賭主一天可掙多少錢？

分析：由題意分析可得，從袋子中取球屬于古典概型，因此摸到紅球的概率計算可采用上述古典概型事件概率計算公式。從袋子中摸出5個球的情況共有C■■種，摸到5個紅球的情況有種C■■，摸到4個紅球的情況有種C■■C■■，摸到3個紅球的情況有種C■■C■■。因此，摸獎者獲得20元獎金的概率為C■■/C■■=0.0128，獲得2元獎金的概率為C■■C■■/C■■=

0.128，獲得紀念品的概率為C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸獎者獲得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計算得到的概率值，獲得20元獎金的次數為13次，獲得2元獎金的次數為128次，獲得紀念獎的次數為359次，因此賭主支付的獎金總額為13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續費為1000元，則賭主一天可掙1000-695.5=304.5元。

從上述實例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學，學生在課堂上不僅學習了新知識，還增強了自身對社會詐騙行為的防范意識，進而激發學生的學習興趣。

四、案例教學法的應用效果

與傳統的灌輸式教學方法相比，案例教學法可以充分發揮教學互動的優點，體現學生是教學主體，使原本枯燥刻板的數學概念、數學理論變得直觀易懂。教師結合案例的應用，用通俗易懂的教學方式將這些理論講細、講透，讓學生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業課的理論難度；案例教學法的討論模式既豐富了教學形式，又要求學生靈活地運用所學知識，模擬解決實際問題，促使學生主動思考、分析、解決問題；同時，學生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學生合作共事與交流協作的能力[8，9]。

與其他教學法相比，在《概率論與數理統計》課堂教學中應用案例教學法可以更好地加深學生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實施案例教學法可以顯著提高學生對《概率論與數理統計》課程的學習積極性與主動性，增強學生的實踐能力、創新能力、語言表達能力，從而取得良好的教學效果。

參考文獻

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[10]于蘭，楊穎.案例教學法在“思想道德修養與法律基礎”中的運用[J].教育與職業，2013，753（5）：110-111.

概率論與數理統計試題范文第4篇

Abstract Statistical inference plays a central location in the current scientific research. The course of probability theory and mathematical statistics is a introductory course of statistical inference， it is especially important to correctly grasp the nature of basic concepts of probability theory and mathematical statistics for those students who will engage in research works in the future. Based on the current syllabus of probability theory and mathematical statistics， this paper explores some of concepts which are easy to overlook their nature by students while they are studying， combined with practical examples to further understand the nature of the concepts.

Keywords Independence； conditional probability； correlation coefficient； digital features； maximum likelihood estimation

2002年美國國家基金委組織了有關“當前和顯露出來的概率論學科中研究機遇”的系列報告，指出概率論與數理統計在當前已是一門核心數學學科，其概率推理理論在目前不同學科中解決其研究問題有著顯著功效，其理論研究的重要性也呈現爆炸性的增長。[1]然而，鑒于目前相當一部分科研論文中使用的統計方法存在概念性的錯誤，[2]國際著名的學術期刊《科學》在2014年表示將增加一個特別的統計學專家團隊來檢驗投稿論文中的統計方法是否有誤。[3]其他重要的學術刊物，包括《自然》也相繼提出了一些檢查方案來保證論文中統計方法的使用得當。[4]統計推理應用的廣泛性同基本概念錯誤理解之間的尖銳矛盾提示研究者在學習統計推理理論時不能停留在概念的表象，需要深入理解其本質內涵。2015年研究生入學考試的數學（一）科目中統計推理部分的試題就能很好的考察學生是否真正掌握了統計推理基本概念的本質。2015年研究生入學考試的數一試卷中概率論與數理統計部分內容一共是34分，內容覆蓋了隨機事件性質，概率分布，數值特征計算，假設檢驗等內容。從題目的難易程度來講，在掌握基本概念內涵的前提下，基本上不存特別難的題目。但在筆者小范圍的調查表明，越是考察基本概念的題越是失分嚴重，反而有固化解題步驟的題目得分就較多。針對目前統計推理的重要性和基本概念理解不夠透徹的普遍問題，再一次為我們從事概率論與數理統計的教學工作者提出了一個在教學中一直強調的問題，如何讓學生在學習過程中抓住基本概念的內在實質。結合概率論與數理統計的教學大綱，以及近幾年的教學過程中學生的反饋和自己的思考，針對大學本科工科概率論與數理統計部分教學中的一些基本概念內涵教學做一個初步探討。

1 隨機事件之間相互獨立的本質是隨機事件概率的獨立性

隨機事件之間存在多種關系，其中互斥（互不相容）和相互獨立在概率論的學習中使用最多，學生也最容易混淆。當內容延伸到隨機變量時，隨機變量的相互獨立和隨機變量間的相關性又會帶來混淆。在講授這些定義時，若強調其本質并加以對比就能使學生比較容易區分隨機事件之間的不同關系描述的差異。首先是定義的范圍不同，互斥關系定義在樣本空間中，反映事件的集合性質；而相互獨立和相關性是定義在事件概率的數值關系中，反映事件間的概率屬性。其次相互獨立表述是事件概率的一般數值關系，而相關性表述的是事件的線性關系。通過強調隨機事件相互獨立的本質是隨機事件概率的獨立性，就能辨別隨機事件互斥同隨機事件獨立之間的關系：兩事件互斥推導不出它們相互獨立，同時兩事件相互獨立也推導不出它們互斥。通過強調隨機事件相互獨立反映隨機事件概率間的一般數值關系，就能辨別隨機事件相互獨立同相關性之間的區別：隨機變量相互獨立可以推?С鏊?們之間不相關，但是反之不行。[5]

2 條件概率同普通概率定義本質的統一性

條件概率定義為：設A，B為兩個事件，且P（A）>0，則有事件A發生的條件下事件B發生的概率為P（B|A）=P（AB）|P（A）。該定義明確直觀，易于使用，在實際使用時一般都是基于單個事件概率已知前提下求條件概率，但是通過挖掘其本質，并同普通事件的概率建立關聯，那么在使用的時候不會再將條件概率同一般事件概率割裂，而會形成一個統一概念。對于任意隨機事件C，記其概率為P（C），當同條件概率的定義建立聯系時，我們引入樣本空間S，則有P（C）=P（C|S）=P（CS）/P（S）=P（CS）。通過這種變化形式可有效的解決特定事件概率不易求解的問題；同樣，這也是全概公式的實質所在。

實例1：設2人抓鬮，一共5個鬮，其中2個鬮中寫有“是”字，三個空白。問抓鬮是否同次序有關。

解析：分析可知所求為依次抓鬮時抓到“是”的概率是否相同。

設A1，A2分別為第1，2個人抓到“是”字的事件。則有

P（A1）=2/5

故抓鬮同次序無關。該方法可以延伸到更多人數抓鬮的問題。

3 二維正態隨機變量同一維正態隨機變量之間的紐帶關系――相關系數

正態隨機變量有許多優良的統計性質，也是概率論與數理統計課程中重點的分布。學生一般對于一維的正態分布有較深刻的認識，但是一旦擴展到了二維及二維以上的正態分布時就不容易掌握。而二維正態分布同一維正態分布之間有很強的相關性；比如（X，Y） 符合二維正態分布，則其關X于和關于Y的邊緣分布就是一維正態分布。二維正態分布的求解在一些特定場合可以轉化為一維正態分布的求解，其紐帶關系就是相關系數。二維正態分布中，X，Y相互獨立的充分必要條件是X，Y相關系數為零。當二維正態隨機變量中相關系數為零，則二維正態隨機便分解成兩個獨立的一維正態分布隨機變量的乘積。

實例2：設二維隨機變量（X，Y）服從正態分N（1，0；1，1，0）布，則P（XYY

解析：因為（X，Y）～N（1，0；1，1，0），其中X，Y，相關系數為0

故有X～N（1，1），Y～N（0，1），且X，Y相互獨立

進而有X1～N（0，1），且與Y相互獨立

故由標準正態分布的性質可得到結果

P（XYY

4 隨機變量的數字特征是常量

隨機變量的分布一旦確定，其數值特征是常量；在實際的使用中，一般不會明確隨機變量的分布形式，只是指稱隨機變量符合某種分布，在這個前提下，隨機變量的數值特征一般用一個符號表示。如果不知曉隨機變量的數值特征是一個常量，在解題的過程就會發生把數值特征當作變量使用。在教學的過程中一定要多次強調此概念。尤其在講授方差計算公式的時候，可以通過對其的證明來強調隨機變量的數值特征是常量這一概念。[5]

在此強調E（X）是一常量，并且也附加強調D（X）也是一常量，類似于數字特征性質中常數符號a，進而就可以利用已學習過的數學期望的性質得證。

5 最大似然估計方法其本質是使得似然函數取最大值時未知參數的取值就為該未知參數的最大似然估計值

在常規最大似然估計方法的教學中，一般會總結該方法為一個標準的流程，學生在學習的時候也會以記憶該流程作為最終的目的，當解題的條件稍微偏離常規的流程，?W生就不知所措，不知道該如何處理；如果我們在教學的過程中首先讓學生明確最大似然原理的本質意義，就會依據最大似然原理來對常規流程做一變通。2015年考研的最后一個題就很好的體現這種思維。

實例4：設總體X的概率密度為：

其中 為未知參數，X1，X2，……，Xn為，來自該總體的簡單隨機樣本。求 的最大似然估計量（2015年研究入學考試題23.II）。

解析：該題目的求解目的非常清楚，按照解題流程按步推進。

到了這一步發現對似然函數對數求導并不能使之為0，有些同學就卡到了這兒。如果學生知道這步對似然函數對數求導的目的是什么，就可輕易獲得 的估計量。第二步的目的通過求解似然函數獲得最大值時未知參數 的取值，也就是該未知參數 的估計量。既然不能為零，那么我們就探討下這個求導后所得函數的特點，發現該導數函數是關于 單調增加；而由題目中的定義知 的取值范圍為： ≤x≤1，那么我們就能獲取 的估計量為：=min{x1，x2，…，xn}。

概率論與數理統計試題范文第5篇

關鍵詞：小概率事件 小概率事件原理 啟示

在概率論和數理統計的學習中，我們涉及到小概率事件一詞，下面我們就來具體談談有關小概率事件的原理及其應用。

在中國五千年的文化長河中，流傳著許多諸如“常在河邊走，哪有不濕鞋”、“常走山路必遇虎”的諺語，典故，它體現了很強的哲學思想。兒時，常對這些諺語感到不知所云，難解其意。現在看來，這些諺語從數學角度來講，說的就是小概率事件。意思是：一個人如果總在河邊走的話，總有一天鞋會被水弄濕的。一個人往山上走一次，遇見老虎的可能性很小，但是如果常往山上走，遇見老虎的可能性就很大，總有一天會遇見老虎的。

在例如，有一個人在山里丟煙頭，他認為丟煙頭引起火災是不可能的。的確是這樣，對他來說丟一個煙頭（做一次試驗）引起火災這件事是小概率事件，但他忽略了另一方面，如果人人都亂丟煙頭（不斷的獨立重復進行試驗），則火災（小概率事件）遲早會發生的概率為1（幾乎一定要發生），這是人人皆知的。

1.小概率事件的原理

小概率事件應從兩方面認識它：一方面由實際推斷原理知道，小概率事件A在一次實驗中幾乎是不發生的；另一方面，在不斷地獨立重復實驗中，小概率事件A遲早發生的概率為1。

前者是講：在實踐中，人們總結到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發生的”，這一經驗稱為“實際推斷原理”。事實上，“小概率事件”通常是指發生概率在0.01以下或0.05以下的事件。這兩個值稱為小概率標準，主要是為了查表方便，沒有其他特別的含義。對于這類實驗來說，在大量重復的實驗中，平均每100次或20次才發生一次，所以認為在一次實驗中該事件是幾乎不可能發生的。后者是講：盡管“小概率事件”，在一次實驗中幾乎不發生，但如果實驗的次數多了，該事件當然是很可能發生的。

2.小概率事件原理的應用

2.1在一次實驗中小概率事件幾乎不發生

數學中的小概率原理認為：在一次實驗中，概率很小的事件實際上不可能發生。這個“很小”，一般理解為在個別事件中發生的概率小于5，這樣的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次事件中認為是不可能發生的。如果在一次實驗中，某個小概率事件發生了，則認為出現了不合理的現象，由此可以推斷原來的條件或假設是錯誤的。

這個小概率原理就是我們假設檢驗這一章理論依據。

小概率原理的推斷方法是概率性質的反證法，首先提出假設，繼而根據一次實驗的結果進行計算，最后按一定的概率標準作出鑒別。

其一般程序是：

第一步：先根據問題的題意提出原假設H0;

第二步：然后在原假設H0 成立的條件下，尋找與問題有關的小概率事件A,并進行一次試驗；

第三步：再觀察試驗結果，看A是否發生？若發生則與小概率事件在一次試驗中不可能發生原理矛盾，從而拒絕原假設H0，否則只能接受原假設H0。

案例：對盤踞在孤島上敵軍實施海上封鎖。為打擊敵物資貨運船隊，需對敵船隊運輸規律作準確推斷。在某星期的空中偵察中，發現那一星期的敵船的12次偷運都是在星期二和星期四進行的。

問敵船在偷運時間是否曾作過規定？

解：（1）假設敵船在偷運時間上沒有規定，故應認為每次偷運在一星期的任一天進行是等可能的。這時事件A：“12次偷運都在星期二或星期四進行”發生的概率P（A）=212/712≈0.0000003，即千萬分之三。這是一個小概率事件。千萬分之三意味1000萬個星期中大概只有約三個星期發生這種事件，因此這個事件在一次試驗（檢查）中不會發生的，而現在一次偵察試驗中發生了，這種不正常現象的發生只能說明假設有問題，故可推斷敵船在偷運時間上有規定。

在假設檢驗的問題中，幾乎沒有一個絕對可靠的判斷，因為“棄真”與“存偽”這兩類錯誤總是與之相伴，所以，作任何判斷、任何結論都要承擔風險，并且風險無法避免。那么怎樣才能將風險降到最低程度？數理統計中一般就用“小概率原理”的“小”來度量和控制這個風險的程度。

2.2在不斷重復的獨立試驗中，小概率事件遲早發生的概率為1。

這種推斷的理論依據是：

問題：設在一次隨機試驗中某一事件A出現的概率為?著（?著

證明：A遲早會出現的意思是，只要試驗次數無限增多，A總會出現。

設AK={A于第k次試驗中出現}，則

P(AK)=?著，P(AK)=1-?著，

則在前n次試驗中A都不出現的概率為

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=(1-?著)n

于是，在前n次試驗中A至少出現一次的概率為

Pn=1-P(A1A2…An)=1-(1-?著)n

把次試驗一次接一次的做下去，即讓n∞，由于0

上述證明用到的事件的獨立性的定義。

例如：用步槍射擊飛機，飛機被擊中的概率為0.004（很小），但用250支步槍同時射擊時，飛機被擊中的概率為：P=1-(1-0.004)250=1-0.996250≈0.63（不太小）。

一般地，設事件A發生的概率為P>0，不論P怎樣小，n次獨立試題中A會發生的概率Pn=1-(1-P)n，當n∞時，總有Pn1，即當大量進行實驗時，A幾乎一定會發生。

3.日常生活中的啟示

小概率事件在一次實驗中幾乎是不發生的。在實際生活中，我們知道雷電傷人是小概率事件，飛機失事是小概率事件，這些小概率事件在一次實驗中幾乎是不發生的。但是小概率事件并不是絕對的在一次實驗中不發生，它還有可能發生。如果小概率事件在一次實驗中發生了，通常人們把它叫做意外。對這些不利因素的小概率事件，我們要警惕它的存在性，防患于未然。

另一方面，小概率事件在多次實驗中遲早會發生的。在平常的生活中，人們常常用“水滴石穿”， “只要功夫深，鐵杵磨成針”來形容有志者是竟成，如果用一滴水來擊石，一次實驗要把石頭擊穿是小概率事件，但是如果次數多了，按照上述證明，石頭被水擊穿還是有可能的。由這個例子可以看出，一件微不足道的小事，只要你堅持做下去就會產生不可思議的結果。所以我們在追求目標實現的過程中，不必放棄每一次努力。

參考文獻：