分式方程的解法
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分式方程的解法范文第1篇
關鍵詞 常微分方程 二階微分方程 一階隱式方程 通解
中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：A
Several Solutions of Second-order Ordinary Differential Equations
LI Ziping
（Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）
Abstract The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that cannot be obtained from the （，，，） = 0.
Key words ordinary differential equation； two order differential equation； first order implicit equation； the general solution
對于高階常微分方程，一般沒有固定的實際解法。在二階常微分方程 （，，，）中，若能解出，則可用降階法求原方程得的通解（見文[1]），但有些方程卻不能解出。本文就四類解不出的二階隱式常微分方程進行求解。
1 形如 = （，）（a）的隱式常微分方程
令 = ，則 = = ，
從而，方程（）可化為
= （ ） （1）
兩邊對求導，得：
= （ ） + （ ）
或[（ ）] + （ ） = 0 （2）
為以為自變量，為未知函數的一階微分方程，解得（2）的通解為 = （，）或 = （，）或 （，，） = 0。
下面對這三種情況，求出原方程的通解。
（i）、若（2）的通解為 = （，），
代入（1）得： = = （，（，））
積分得： = （，（，）） + （，為任意常數）
即為原方程（a）的通解。
（ii）、若（2）的通解為 = （，），
代入方程（1）得（1）的參數形式通解為：
，其中為參數
則
= = （（， ），） = （（， ）， ）（， ）
則積分得：
= （（， ），）（， ） + = （，，）（，為任意常數） 即為原方程（a）的參數形式通解。
（iii）、若（2）的通解為 （，，） = 0，
則（1）的通解為，
= = ，
= = （）
積分得： = （） +
因此，（為參數；，為任意常數）
即為原方程（a）的參數形式通解。
2 形如 = （， ）（b）的隱式常微分方程
令 = ，則 = = ，
于是方程（b）化為：
= （， ） （3）
兩邊對求導得：
= （， ） + （， ） （4）
或[ （， ）] + （， ） = 0
為以為自變量，為未知函數的一階微分方程，其通解為
= （，）或 = （，）或 （，，） = 0。
下面分別在三種情形下，求原方程（b）的通解。
（i）、若（4）的通解為 = （，），
則方程（3）的通解為：
= （，（，））
即 = （，（，）（，）） （5）
（a）若能從（5） 中解出， = （，）
則 =（，） + ，
即為原方程（b）的通解。
（b）若從（5）中不能解出，則令 = = ，
則 = （，）
兩邊對求導，得：
1 = （，） = （，）
或 （，） = 0
其通解為
= （，，）或 = （，，）或（，，，） = 0。
于是原方程（b）的通解為： = （（，，））
或 或 （為參數；，為任意常數）
（ii）若（4）的通解為 = （，），
則方程（3）的通解為：
即
=
= （，） = （，）（，）
積分得： =（，）（，） +
因此，原方程（b）的參數形式通解為：
（為參數；，為任意常數）
（iii）、若（4）的通解為， （，，） = 0
則方程（3）的通解為：
（為參數；為任意常數）
即為原方程（b）的參數形式通解。
3 形如 （， ） = 0（c）的隱式常微分方程
若方程（c）可寫成參數形式：（為參數）
則由 = ，
得： = = （）（）
積分得： = （）（） + = （，）
又 = ，
則 = = （，）（）
積分得， = （，）（） + = （，，）
因此，原方程（c）的通解為：
（為參數；，為任意常數）
4 形如 （ ，） = 0（d） 的隱式常微分方程
若方程（d）可寫成參數形式（為參數）
則由 = 得： = =
積分得： = + = （，）
又 = ，
則 = = （）（，）
積分得： = （）（，） + = （，，）
則原方程（d）的通解為
（為參數；，為任意常數）
例：求解微分方程 = 0
解：原方程即為， =
用文中類型（b）的方法
令 = ，則 = =
方程化為： = （*）
方程兩邊對求導，得： = +
即[] =
為以為自變量，為未知函數的一階微分方程，
為便于運算，設 = ， =
則有（） =
=
兩邊積分得： =
即： =
由此得（*）的參數形式通解：
= = =
=
=
= [] + []
= + +
+ +
= ∣1+∣+ ∣1∣ + +
由此，原方程的通解為
（為參數；， 為任意常數）
參考文獻
[1] 王高雄，周之銘.常微分方程（第二版）[M].高教出版社，1983.
分式方程的解法范文第2篇
人教版九年義務教育數學教材中，解分式方程安排在八年級下期系統學習了分式的四則運算之后，專用一小節學習可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應用，另外在九年級上期一元二次方程一章學習了一元二次方程的解法之后涉及了可化為一元二次方程的分式方程的解法。
分式方程的教學是初中階段代數方程教學中的重要內容。在分式方程的教學中，要讓學生體會分式方程是一種有效描述現實世界的數學模型，解分式方程的基本方法是去分母法，通過這種解法的教學滲透一種重要的數學思想，即轉化思想。
通過探究，我們總結出了分式方程教學的基本模式：創設問題情境——列出分式方程——歸納得出概念——自主探究解法——合作交流疑點——剖析增根原因——總結驗根方法——練習鞏固提高。
在教學可化為一元一次方程的分式方程時，我們進行了如下教學設計：
1 確立導學目標
知識技能：了解分式方程定義，理解分式方程的一般解法和分式方程可能產生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。
過程方法：通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的數學模型，發展學生分析和解決實際問題的能力，培養應用意識，滲透轉化思想。
情感態度：強化用數學的意識，增進同學之間的配合，增強在數學活動中運用知識解決問題的成功體驗，樹立學好數學的自信心。
2 確定導學重難點
導學重點：解分式方程的基本思路和方法。
導學難點：理解分式方程可能產生增根的原因。
3 導學過程設計
3.1 創設問題情境，引導列出方程。
數學來源于生活，數學教學應走進生活，生活也應走進數學，數學與生活的結合，會使問題變得具體、生動，學生就會產生親近感、探究欲，從而誘發內在學習潛能，主動動手、動口、動腦。因此，在教學中，我們應自覺地把生活作為課堂，讓數學回歸生活，服務生活。培養學生的動手能力和創新能力，豐富和發展學生的數學活動經歷，并使學生充分體會到數學之趣、數學之用、數學之美。為此，我們設置了兩個問題情境：
情境一：在一次信息技術課上，老師對同學們進行打字速度測試。在相同時間內，吳龍同學錄入了80個字，羅靜同學錄入了60個字，已知吳龍每分鐘比羅靜多錄入5個字，求羅靜同學每分鐘錄入多少個字？
情境二：暑假期間，樂樂一家從煙臺乘船到大連旅游。在船上，樂樂的爸爸給她出了這樣一道題：我們這艘船在靜水中的最大航速為20千米∕時，它以最大航速順流航行100千米所用的時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間是相等的。樂樂，你能計算出海水的流速是多少嗎？看到樂樂眉頭緊鎖的樣子，媽媽給了她一點提示：我們可以考慮用方程的思想來解決這個問題。同學們，你能幫助樂樂列出方程嗎？
老師啟發學生設適當的未知數，根據題意列出方程。同學們經過思考，不難列出方程。在情境一中，設羅靜同學每分鐘錄入x個字，可列方程為：80x+5=60x；在情境二中，設海水的流速為x千米/時，可列方程為：10020+x=6020-x。
老師啟發學生觀察方程的特點，引導學生歸納得出分式方程的概念，并讓學生領會分式方程與以前學過的整式方程的區別。
3.2 自主探究解法，合作交流疑點。
現代認知學習理論認為：數學學習的過程是學生在教師的引導下，能動的構建數學認知結構，并使自己得到全面發展的過程。所以在課堂中教師不應單純地講解知識，應引導學生主動探究。在分式方程教學中，教師要有意識地引導學生主動參與學習，鼓勵學生進行自主探索和反思并與同學、老師共同合作交流。在新知識的學習過程中引導學生去體會數學思想，使學生對解分式方程的基本思想方法的認識理解能隨著學習內容的擴充而不斷深化。讓學生主動的獲得知識，而且在學習過程中產生積極的學習體驗和興趣，同時提高對新知識與已熟悉知識之間聯系的認識。
對于剛才列出的分式方程，啟發學生通過與含有分母的一元一次方程的解法進行類比，自主探究其解法。部分學生通過類比，得出了通過去分母轉化為整式方程求解的基本方法。教師引導學生反思探究過程，歸納出解分式方程的一般方法，讓學生體驗到轉化這一重要的數學思想，解分式方程的基本思想就是要通過去分母把
分式方程轉化為整式方程再求解。這也體現了數學上常常要化新知為舊知的基本思路。
此時，教師給出一個會產生增根的分式方程讓學生求解，并要求學生驗根。例如：解分式方程3x-3=18x2-9。
學生在解出后進行驗根，卻發現原方程的分母為0。由此產生疑問，這是怎么回事呢，難道解錯了嗎？學生合作交流，反思解題過程，未發現錯誤。教師適時介入，介紹增根的概念。
3.3 剖析增根原因，總結驗根方法。
教師引導學生剖析解分式方程有可能產生增根的原因，是因為在分式方程的兩邊都乘以一個含有未知數的整式時，這個整式有可能為零，在把分式方程轉化為整式方程后，未知數的取值范圍就擴大到了全體實數，因而有可能產生使原方程分母為零的根，這就是增根。因為解分式方程有可能產生不適合原方程的增根，因此必須檢驗。學生由此明確了增根產生的原因，并理解了解分式方程驗根的必要性，教師適時強調解分式方程必須檢驗。那么如何驗根呢？教師引導學生歸納出驗根的基本方法。
3.4 例題示范小結，練習鞏固提高。
教師給出例題示范，并由學生小結解分式方程的一般步驟和注意事項。通過課堂練習鞏固，布置課后作業。
分式方程的解法范文第3篇
教師作為數學教學主導，在設計數學活動時要遵循以下原則：
一、根據學生的年齡特征和認知特點組織教學。
二、重視培養學生的應用意識和實踐能力。
1、讓學生在現實情境和已有的生活和知識經驗中體驗和理解數學。
2、培養學生應用數學的意識和提高解決問題的能力。
三、重視引導學生自主探索，培養學生的創新精神。
1、引導學生動手實踐、自主探索和合作交流。
2、鼓勵學生解決問題策略的多樣化。
四、教師對教學目標，難點，重點把握要恰當、具體。
數的計算非常重要，計算是幫助我們解決問題的工具，只有在具體的情境中才能讓學生真正認識計算的作用。首先應當讓學生理解的是面對具體的情境，確定是否需要計算，然后再確定需要什么樣的計算方法。口算、筆算、估算、計算器和計算機都是供學生選擇的方式，都可以達到算出結果的目的。
一、設計思想：初中數學說課稿
數學來源于生活，數學教學應走進生活，生活也應走進數學，數學與生活的結合，會使問題變得具體、生動，學生就會產生親近感、探究欲，從而誘發內在學習潛能，主動動手、動口、動腦。因此，在教學中，我們應自覺地把生活作為課堂，讓數學回歸生活，服務生活。培養學生的動手能力和創新能力，豐富和發展學生的數學活動經歷，并使學生充分體會到數學之趣、數學之用、數學之美。
處理好教與學的關系。教師既要做到精講精練，又要敢于放手引導學生參與嘗試和討論，展開思維活動 。
根據新教材留給學生一定的思維空間的特點，教師要鼓勵學生自己動腦參與探索，讓學生有發表意見的機會，絕對不能包辦代替，使學生不僅能學會，而且能會學。充分發揮網絡在課堂教學中的優勢，力爭促進學生學習方式的轉變，由被動聽講式學習轉變為積極主動的探索發現式學習。數學問題生活化，主導主體相結合，發揮媒體技術優勢，探究練習相結合，符合《課標》精神。
網絡環境下代數課的教學模式：設置情境-提出問題-自主探究-合作交流-反思評價-鞏固練習-總結提高
二、背景分析：
（一）學情分析：
內容是義務教育課程標準實驗教科書（人民教育出版社）數學八年級下冊第十六章：《分式》
學生是本校初二實驗班的學生，參加北師大“基礎教育跨越式發展”課題實驗一年半，學生基礎知識較扎實，具有一定探索解決問題的能力，電腦使用水平較熟練，對于網絡環境下的學習模式已適應。
本節課實施網絡環境下教學，采用自學導讀式教學模式。學生喜歡上網絡數學課，學習數學的興趣較濃。
（二）內容分析：
本節內容是在學生掌握了一元一次方程的解法和分式四則運算的基礎上進行的，為后面學習可化為一元二次方程的分式方程打下基礎。
通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意
識，滲透類比轉化思想。
（三）教學方式：自學導讀—同伴互助—精講精練
（四）教學媒體：Midea---Class純軟多媒體教學網 幾何畫板
三、教學目標：初中數學說課稿
知識技能：了解分式方程定義，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能產生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。
過程方法：通過經歷實際問題列分式方程探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意識，滲透轉化思想。
情感態度：強化用數學的意識，增進同學之間的配合，體驗在數學活動中運用知識解決問題的成功體驗，樹立學好數學的自信心。
教學重點：解分式方程的基本思路和解法。
教學難點：理解分式方程可能產生增根的原因。
設計說明：情感、態度、價值觀目標不應該是一節課或一學期的教學目標，它應該貫穿于初中數學教學的每一堂課，它應該與具體的數學知識聯系在一起，才能讓教師好把握，學生好掌握，否則就是空中樓閣，霧里看花，水中望月。
四、板書設計：
a不是分式方程的解
（二）學習方法：類比與轉化
教學思考：伴隨教學過程的進行，不失時機的，恰到好處的書寫板書，要比用多媒體呈現出來效果好，絕不能用媒體技術替代應有的板書，現代教育技術與傳統教育技術完美的結合才是提高課堂教學效率的有效途徑之一。
五、教學過程：
活動1：創設情境，列出方程
設計說明：教師不失時機的對學生進行思想教育，激勵學生，寓德于教。體現了教學評價之美-激勵啟迪。
設計說明：通過經歷實際問題列分式方程，體會分式方程是一種有效描述現實世界的模型，發展學生分析問題解決問題的能力，培養應用意識，激發學生的探究欲與學習熱情，為探索分式方程的解法做準備。
活動2：總結定義，探究解法初中數學說課稿
使學生能從整體上把握數、式、方程及它們之間的聯系與區別；通過合作探究分式方程的解法，培養學生的探究能力，增強利用類比轉化思想解決實際問題的能力及合作的意識。
教學思考：再一次體現了對全章進行整體設計的好處，在學習16.1分式和16.2分式的運算時，幾乎每一節課都運用類比的思想-分式與分數類比和進行算法多樣化訓練，所以才出現了這樣好的效果。在利用媒體技術拓展學習內容時要遵循以下原則：一、拓展內容要與所學內容有有機聯系。二、拓展內容要符合學生實際認知水平，不要任意拔高。三、拓展內容要適量，不要信息過載。
分式方程的解法范文第4篇
【關鍵詞】問題分析 道路施工 相關措施 造價控制
前言：道路施工項目成本的管理是指在道路施工過程中運用一定的技術和管理手段對生產經營所消耗的人力、物力和費用進行組織、實施、控制、跟蹤、分析和考核，及時糾正將要發生和已經發生的偏差，把各項施工費用控制在目標成本范圍內，以保證成本目標實現的一個系統過程。在道路施工管理工作中，成本管理具有相當重要的戰略地位。
一 道路工程施工特點下的造價控制
1 工程項目的多樣性和不確定性。在道路工程項目在施工的進行中，通常會遇到很多的問題，而且這些問題的出現并不是十分的確定，施工地點、施工自然環境以及施工的標準都會存在著很多的不確定性，因此，在對施工成本進行控制也存在著方式的差別。不同的工程項目在施工過程中面臨的側重點也會不同，對工程項目的功能以及施工條件要求也存在著不同。不同的工程項目在要求方面也存在著差別，道路的等級不同對材料的質量以及級別要求都會存在著一定的差異。在市場中，不同的材料在價格以及質量方面存在著很大的差異，因此，在成本控制方面就會出現很多的問題，選擇質量好價格比較低廉的材料是成本控制的主要措施。
2 項目施工的數量大和時間長。道路施工項目在形狀方面為線性構造物，其在施工方面形體比較龐大，因此，施工過程中需要的人工數量以及材料數量比較大，項目工程在施工時間方面也比較長，這樣就導致其在長時間范圍內要占用很多的人工以及資金。結合這兩個方面對成本進行控制對不同的道路工程項目就要采取不同的方法。
3 施工項目的固定及生產線的移動性。道路施工項目在建設完成以后是在一個固定的地點不能移動，因此，施工過程中會出現人員和施工機械設備不斷的移動的情況，對施工現場的施工特點進行考慮，能夠滿足施工項目的產品整體要求，同時，在施工過程中一些項目在施工完成以后不能隨意的拆除，這樣在施工過程中就要做到非常的靈活，避免出現施工形式比較固定的情況，在施工過程中對固定的對象進行立體和平行的施工，能夠縮短施工的時間，在施工進度方面也能進行提高，保證整個項目順利進行，在施工成本方面實現良好的控制。
二 道路工程關鍵因素下的造價控制
1 施工方案。施工方案和預算成本之間是相互依賴和相互制約的關系，施工方案能夠對施工技術水平進行很好的反應，同時，施工方案是優越性也能對施工進度進行影響，對施工成本控制進行影響。在施工方案制定方面一定要進行全方面的分析，保證施工順序的合理性，同時，對施工作業的面、空間、時間等方面都要進行很好的利用，對同一施工對象可以進行
立體和平行施工交叉進行，在縮短施工時間的基礎上也能對施工成本進行節約。在施工過程中對機械設備進行選擇也非常必要，要能夠發揮施工機械的最佳施工效率，同時，對機械的使用費用也要進行很好的控制。道路工程施工過程中人員的工作效率進行很好的控制，能夠減少人員的使用數量，同時，在人員支出方面也能進行好的控制。
2 施工現場。道路施工現場管理水平和施工預算成本之間也具有直接的影響，施工現場的統一指揮能夠做到科學的管理，在節約道路成本預算方面具有很好的效果。在施工成本預算控制方面對人工費用、材料費用以及機械使用費用進行控制非常必要，很多的施工在進行過程中要進行臨時房屋的建設，同時，要將用水和用電進行結合，在這個過程中就可以將其
和道路永久性施工設施進行結合，對預算成本進行節約，同時，在施工過程中也可以對已有的資源進行利用，加快整個工程項目的施工進度，并且對施工成本進行控制。
3 自然條件。在道路工程施工過程中，自然條件的影響對施工進度和施工成本都會產生很大的影響，很多的工程要在自然環境比較惡劣的地方來進行施工，天氣情況以及海拔高度都是影響比較大的因素，為了能夠對施工成本進行控制，對自然條件導致的人工以及機械設備的使用增加的情況要進行很好的控制。
三 道路工程造價控制的具體措施
1 編制施工方案和進度計劃。對施工進度進行加快，采取不同的施工方案對工程造價進行節約，這樣能夠在人力、機械以及工具方面都發生很大的不同，因此，施工成本也會出現不同。選擇合理以及科學的施工方案是節約施工成本的重要途徑，對施工方案進行編制，要對道路工程的線型特征進行考慮，同時，對施工長度以及工作面等問題進行考慮，從科學以及合理的角度進行分析，編制節約工程項目成本的施工方案。
2 提高投標人員素質。對投標人員的綜合素質也要進行提高，因為其對投標的質量具有直接的影響，這是一項專業性非常強的工作，在投標過程中也要解決很多的問題。對工程量清單進行很好的計算，同時，對投標的過程進行科學的組織和管理，能夠在工程造價方面進行改善。
3活用激勵機制。在任何建設項目中都應該活用激勵機制，通過獎優懲劣，調動管理者和職工的積極性，從而有效地控制項目建設成本。在城市道路建設工程項目中，將目標成本和項目部包干工資總額結合起來，以目標成本的高低來調控包干工資，從而將職工的切身利益與成本控制聯系起來，激發職工的積極性。
4 控制施工材料的采購。在道路工程項目中要耗費的材料數量非常巨大，因此材料采購在工程預算中占據的地位非常重要，對材料采購進行控制是成本控制的重要環節。對材料市場進行調查，掌握可靠的信息，將項目的采購計劃建立在詳細的調查基礎上。施工階段的信息和招投標階段的信息也存在著很大的差異，因此，在制定施工階段的材料采購計劃時，要提前對市場進行調查，保證施工方案的經濟合理性，對施工組織設計進行優化。
5 加強對設備費的管理。（l）提高機械設備的利用率，就是有效地利用施工機械運輸設備，充分發揮現有機械設備效能，從而減少單位工程成本中的折舊費和其他機械使用費。要提高機械設備利用率，首先要將自由設備和租賃設備區別開來。（2）對自由設備要建立機械維修保養制度，由專人負責對機械設備的保養和維修，對機械設備要嚴格執行合理的操作規程，避免不規范操作的現象，使機械設備經常處于良好的狀態，增加機械設備的使用壽命。
6 加強索賠工作。在索賠方面要保證能夠保證企業的權利得到充分的體現，保證自己的合法權益，在出現重大的變革的情況下，能夠對工期和費用進行索賠。對施工單位來說，合同索賠是重點和最終目標，經常會出現業主和承包商之間的費用糾紛，一般都在合同條款上出現不同的理解。在實際工作中經常會出現業主不履行合同規定義務的情況，這樣就會導致施工方受到不必要的損失，因此，提出索賠非常的必要，這樣能夠對企業的利益進行維護。
四 結 語
綜上所述，道路工程施工項目成本的控制的意義在于合理使用人力、物力、財力，只有這樣，才能在保障工程的施工質量的同時，合理的控制預算成本，保證在進行施工控制的過程中獲得最佳的經濟效益及社會效益，增加企業的競爭力。
參考文獻：
[1] 茍明志.道路施工項目成本控制及應用研究 [D]. 華北電力大學，2013.
分式方程的解法范文第5篇
要：本文先用實例說明什么是常規思維和創造性思維以及它們之間的關系；其次，論述了用創造性思維解測量井深與繩長的“古代問題”，并引出互逆思維的創造性思維方法；最后，用“雞兔同籠”問題的創造性思維來說明創造想象在創造性思維中的特殊、重要的作用.
關鍵詞：常規思維；創造性思維；互逆思維；聯想；想象
波利亞說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.” 本文提出的是要加強解應用題的思維訓練.
■常規解與創造性思維解的比較
例1 甲、乙兩地相距36千米，某人騎自行車去時是一段上坡路與另一段坡度相同的下坡路，去時用2小時40分鐘，回來時只用了2小時20分鐘，并知走下坡路比走上坡路每小時快6千米，問上坡路每小時多少千米？
筆者把小黑板的例1往上一放，全班學生正拿草稿紙作，小芳與小華在黑板兩邊也開始板書.
小華用的是常規思維的解法：設上坡路每小時x千米， 下坡路y千米， 則依題意有下列分式方程組
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教師：你這個分式方程組是怎么來的？你的方程組如何以語言信息的形式來表達呢？
小華：第一個分式方程是去時一段上坡路某人騎自行車去時所花的時間加上他下坡路所走的時間和是2小時40分鐘；第二個分式方程是他下坡路所花時間加上他上坡路所走的時間和是2小時20分鐘.
小芳用創造性思維的解法：設上坡路速度為每小時x千米， 并把一去一回視為一個整體. 一去一回上坡與下坡路程都是36千米，依題意得分式方程■+■=5，（3）
教師：你這個分式方程是怎么來的？用語言敘述方程組是如何轉化而來的？
小芳：把一去一回視為一個整體. 去時的上坡路與回來時的上坡路之和是36千米，所用時間是■；回來時的下坡路與去時的下坡路之和也是36千米， 所用時間是路程除以速度得下坡路所用時間是■，一去一回的總時間是2小時40分鐘，加2小時20分鐘，剛好是5小時.
教師（問全班學生）：如何解分式方程組呢？小華與小芳分別列出的分式方方程組、分式方程有什么聯系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），換句話說， 只要解出（3）來，分式方程組不就解出來了嗎？
這幾句“言簡意賅”的話迎得一陣熱烈的撐聲.
教師（總結）：什么是創造性思維呢？是新穎的、獨特的、有價值的（智力價值、理論價值、經濟價值）的思維. 對學生來說，一般不是對某種新東西的發現、發明與創造的成就， 而只是對已知東西的再發現，如上面的小芳的解題方法是創造性思維.
創造性思維是思維活動的一種，它對問題的思考不是直接從頭腦中已有的思維形式和思維方法去找答案，而是從問題的本身去進行分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維形式和思維方法大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的新辦法. 小慧“一針見血”地指出了常規思維的解法與創造性思維解法的內在與外在的聯系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程轉化為整式方程，但要注意增根與減根即可.
例2
2000年入夏以后，湖北地區旱情嚴重，為緩解甲、乙兩地旱情，某水庫計劃向甲、乙兩地送水，甲地需水量為180萬立方米，乙地需水量為120萬立方米，現已兩次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84萬立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81萬立方米；問完成向甲、乙兩地送水任務還各需多少天？
為了讓學生自主探索、自主思維、自主尋找思路、自主總結經驗，擺脫“教師講，學生聽”的傳統講解模式，筆者讓學生通過自己的思維來學習數學.
設完成往甲地送水任務還需x天， 完成往乙地送水任務還需y天. 用代數式表示每天往甲地運水，已運送5天如何表示？■. 用代數式表示每天往乙地運水，已運送5天如何表示？■. 這時有兩種列方程組的方案：
以小芳為首的學生列出方程組
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧為首的學生用換元法列出方程組3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
當小芳還在列完分式方程組， 正考慮如何解時， 小慧已經完成第一次解方程組， 而正要代入求另一方程組的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小華又在小慧的解答基礎上改進成了如下更先進、簡潔、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
筆者善于通過“對比”來評價兩種解應用題方法的優劣：小慧的創新之處在于她觀察到（3）與（4）的系數與常數項系數之和的特殊性——它們都能被5整除，從而巧妙地得出（5）式，小華在小慧的解答基礎上改進了什么呢？（當全班學生看到（7）、（8）式時，不由得引起一陣熱烈的撐聲）小芳是常規思維的解法，小慧與小華是屬于創造性思維的解法.
筆者又說：“眾里尋他千百度， 驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.” （又迎來一陣熱烈的掌聲）
最后筆者用波利亞的話來引導出換元法：“原來的問題是我們要達到的目的，而輔助問題只是我們試圖達到的目的的手段. 一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進來的那扇. 人能夠或者至少能夠行動得更聰明些. 人的高明之處就在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時，他會繞過去；當原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題. 構造一個輔助問題是一項重要的思維活動. 舉出一個有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把達到另一目標的手段設想成一個新目標，這都是運用智慧的卓越成就.”
這段話是用變量替換作手段來解方程（方程組）的. 當然變量替換還可以分解因式，如將x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起來“雜亂無章”，“理不出頭緒”和無法下手；若用創造性思維，并先用“分解與重新組合”的方法，再視為關于y的二次三項式，則看起來井然有序，條理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培養學生創造性思維的解法，必須分三歩走：扎實的基礎知識是創造性思維的解法的基礎，分式方程式解法的基礎知識是轉化成整式方程，區分増根，要學會驗根；其次是了解整式方程的代入消元法與加減消元法，以及將二者結合起來的“既加再除”的新穎方法. 第二，敏銳的觀察力是訓練創造性思維的前提，如例1的（1）+（2）（3）就需要敏銳的觀察力. 第三，豐富的想象力是創造性思維的設計師，在例1中，把一去一回視為一個整體就是發揮豐富的想象力，并將去的上坡路與回的上坡路視為36里，又將回的下坡路與去的下坡路也視為36里，都是發揮豐富的想象力. 愛因斯坦說：“提出新問題，新的可能性，從新的角度看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”. 第四，發散思維是培養創造性思維的源泉.
■古代問題的創造性思維的解法
數學教師從講故亊開始，引出互逆思維. 逆向思維是創造性思維的一種，舉個有趣的生活中有發現意義的實例：你們吃獼猴桃是如何剝皮呢？
吃獼猴桃要剝皮是眾所周知的事，如何剝皮呢？從外往里剝皮既臟又不衛生，若想到逆向思維， 從里面往外去剝皮——即用金屬勺子在“一刀切斷”的獼猴桃中從里邊往外一勺一勺地挖獼猴桃肉，這種采用逆向思維的方法，既衛生又高質量完成任務. 這個方法對解“古代問題”是有啟發的.
例3 “用繩子測量井深，把繩子三折來量，井外余4尺，把繩子四折來量，井外余1尺，求井深與繩長各幾何？”
能用互為逆向思維的創造性方法來解答嗎？
在筆者的啟發下，小慧和小華分別得出了創造性思維解法1與創造性思維解法2.
解法1：（進的方法）把繩子三折來量，井外余4尺，4×3=12，這時可想象把井外的12尺再量井深，那么根據第二個條件， 把繩子四折來量，井外余1尺，12-4=8，可知井深為8尺.繩長為36尺.
解法2：（退的方法）把繩子四折來量，井外余1尺，這時，若想象出用井內的一折到井外來量，根據把繩子三折來量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深還為8尺. 繩長為36尺.
可見，互為逆向思維的方法是創造性思維的一種.
創造性思維解法1與創造性思維解法2的共同點是創設情境，使兩種用繩子測量井深的方法既產生聯系，又產生思維碰撞，既要引出新舊亊物之間的聯系，又要引出新舊亊物之間的矛盾，新舊亊物之間的聯系是啟發學生思維的基礎；新舊亊物之間的矛盾是啟發學生思維的核心.
■雞兔同籠問題的創造性思維解法
例4
今有雞兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞兔各有若干只？
解法1：發揮豐富的想象，假設出現下面奇特的現象，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時雞的頭數與腳數相等，而兔的腳數是頭數的2倍，腳的總數是原來腳的總數的一半，故腳的總數70減去50所得的差20，即為兔的數目，進而易得雞為30只.
解法2：發揮豐富的想象，假設出現下面奇特的現象，所有的雞都沒有抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時，頭數還是50個，雞與兔子的總腿數是總頭數的2倍，即為100，原來的總腿數140減去現在的總腿數100剛好是兔數的2倍，40÷2=20剛好是兔數，雞數為50-20=30只.
