數學建模算法與實現
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數學建模算法與實現范文第1篇
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）08-0106-03
運籌學應用分析、試驗、量化的方法，對經濟管理系統中人、財、物等資源進行統籌安排，為決策者提供有依據的最優方案，以實現最有效的管理。該課程主要培養學生在掌握數學優化理論的基礎上，具備建立數學模型和優化計算的能力。本文提出一種新的教學改革思路，將運籌學和數學建模兩門課程合并為一門課程，即開設大容量交叉課程《運籌學與數學建模》來取代《運籌學》和《數學建模》兩門課程，采用案例教學和傳統教學相結合的教學方法，數學建模和優化算法理論并重的教學模式。這樣既可以避免出現極端教學和隨意選取教學內容的現象，又可以將新穎的教學方法與傳統方法相結合，按照分析問題、數學建模、優化算法理論分析及其方案制定、實施等解決實際問題步驟展開教學。下面就該課程開設的必要性、意義、可行性、注意事項及其存在問題等方面進行分析。
一、開設《運籌學與數學建模》課程的必要性
1.一般院校的運籌學課程的教學課時大約為64或56（包含試驗教學），所以教學中不能囊括運籌學的各個分支。一方面，由于課時量不足，教師選取教學內容時容易出現隨意性和盲目性；另一方面，教學中為強化運籌學的應用，消弱理論教學，從而導致學生對知識的理解不透徹，在實際應用中心有余而力不足。
2.運籌學解決實際問題的步驟是：（1）提出和形成問題；（2）建立數學模型；（3）模型求解；（4）解的檢驗；（5）解的控制；（6）解的實施。大部分教學只涉及步驟（3），即建立簡單數學模型，詳細介紹運籌學的算法理論，與利用運籌學解決實際問題的相差甚遠。因此，學生仍然不會應用運籌學解決實際問題，從而導致學生認為運籌學無用。
3.數學建模課程包含大量的運籌學模型；運籌學在解決實際問題的環節中包含建立數學模型步驟。目前兩門課程分開教學，部分內容重復教學，浪費教學課時。
二、開設《運籌學與數學建模》課程的意義
1.激發學生的學習動機，培養學習興趣。該課程包含數學建模和運籌學兩門課程的內容，內容容量大，教學課時豐富，教學過程中能夠以生產生活中的實際問題為案例，分析并完整解決這些問題，創造實際價值，使學生認識到該課程不但對未來的工作很重要，而且還有可以利用運籌學知識為企業或個人創造價值，改變運籌學“無用論”的觀念。從而激發學生的學習動機，產生濃厚的學習興趣。
2.合理處理教學內容。運籌學與數學建模的課時量相對充足，能夠安排更多的內容，能夠系統、完整地介紹相關知識，在一定程度上避免了運籌學內容安排的隨意性和盲目性。
3.促進教學方法改革。運籌學與數學建模的教學不再是簡單的數學建模和理論證明，教學內容豐富、信息量大，傳統的一支筆一本教案一塊黑板的模式不再適用，需尋找新的教學方法，促進了多種教學方法的融合。
4.培養學生綜合能力。實際案例源于社會、經濟或生產領域，需要用到多方面的知識，但學生不可能掌握很多專業知識。因而，在解決實際案例的過程中，需要查閱大量的相關文獻資料，并針對性閱讀和消化。而且，實際案例數據量大，需要運用計算機編程實現。因此，通過該課程的學習，可以提高學生多學科知識的綜合運用能力和運用計算機解決實際問題的能力。
5.改變教學考核方式。教學改革后，教學內容已延伸到運用優化知識解決實際案例的整個過程。教學過程中既有對實際案例分析、建模，又有算法介紹、求結果的檢驗及其最終方案的實施。因而，傳統的單一閉卷考試改為筆試和課后論文相結合的方式。
三、開設該課程的可行性
1.運籌學和數學建模互補性、遞進性使得開設該課程在理論上可行。數學建模是利用數學思想去分析實際問題，建立數學模型；運籌學是利用定量方法解決實際問題，為決策者提供決策依據。由此可見，建立數學模型為運用運籌學解決實際問題的重要步驟。所以，運籌學可以認為是數學建模的進一步學習。同時，運籌學模型為數學建模課程介紹的模型中的一部分，并且運籌學處理實際問題的方法為數學建模提供了專業工具。因此，運籌學與數學建模在內容上是互補的。由此可知，開設該課程在理論上是可行的。
2.計算機的發展使得開設該課程在操作上可行。隨著計算機的發展，能很快完成大數據量的計算，實際案例的數據分析、數學建模及其求解能快速實現，從而使得該課程的教學工作能順利開展。
3.大學生的知識儲備使得開設該課程在基礎上可行。學習該課程的學生是高年級學生，通過公共基礎課和專業基礎課的系統學習，分析問題、解決問題的能力得到進一步提高。同時，運籌學和數學建模所需基礎知識類似，學習該課程所需的線性代數、概率論與數理統計、高等數學及微分方程等課程也已經學習，運用運籌學與數學建模知識解決實際案例所需的基礎知識已經具備。因此，開設該課程是可行的。
數學建模算法與實現范文第2篇
關鍵詞：背景建模；骨架提取；運動分析
中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）05-1124-02
作為計算機視覺和模式識別發展的一個重要方向，行人檢測技術被廣泛應用于地鐵站等智能交通的視頻監控、檢測中。對地鐵站的行人檢測，能有效預防環境安全及災害事故的發生，保證行人的行車安全，具有很大的實用價值，是近年來人們研究的熱點問題。車志富[1]等采用圖像梯度向量直方圖特征表征行人，改進了HOG特征提取算法，結合支持分類器SVM對行人進行檢測。該方法對于一些有遮擋或有重疊的行人檢測效率不高。雷濤[2]等提出了一種基于區域背景建模的運動人體分割算法，能夠在復雜背景下提取運動人體骨架。該算法在RGB彩色模型中能快速提出陰影，提取圖像前景，但在背景與前景灰度相似時，提取到的目標有空洞。綜合目前檢測技術可以看出，實時、準確的檢測行人的難點在于：1） 行人自身特征提取；2） 受光照、設備自身局限的影響使得背景及其復雜；3） 人體骨架提取的精確性。
數學形態學是一種非線性圖像信號處理和分析理論，它不但符合人的感知系統，而且在描繪區域和結構表達方面有很大的優勢，所以受到了很大的重視。借助數學形態學在處理形態相關的圖像中的優勢，該文通過對地鐵監控圖像中提取的序列圖像進行預處理；再用背景建模法，得到運動人體目標。
1 預處理
因為天氣環境的變化等因素常常會引起拍攝圖像的變形失真，所以有必要采取合理的預處理措施來改善圖像質量。首先，對序列圖像中值濾波，它在一定的條件下可以克服線性濾波器等帶來的圖像細節模糊，而且對濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲較為有效。然后，采用直方圖均衡對圖片進行增強，增加對比度以便圖像的后處理。
2 背景建模
相比于其他運動目標提取方法，背景建模可以完整的提取運動信息，計算較簡便。它是基于序列圖像中相鄰兩幀圖像的比較，這樣可以將背景與前景分割出來，實現運動目標的識別。基于這種理念，分割性能的好壞與場景中的動態變化聯系密切。目前，背景建模的主要方式有Kalman濾波器模型、單高斯分布模型以及混合高斯分布模型等[3] 。為了減少動態變化的影響，利用文獻2提出的更新背景區域的建模方法對背景進行建模，具體步驟如下：
1） 取出圖像序列中第s幀和第s+1幀，并做兩幀的差分圖像，得到運動區域圖像，記為[Mx，y]。得到的若干個運動區域表示為：
[M=M1，M2，...Mn]
2） 以第s幀為背景，取出第t幀和t+1幀，并做兩幀的差分圖像，得到運動區域圖像，記為[Nx，y]。得到的若干個運動區域表示為：
[N=N1，N2，...Nn]
3） 利用1、2步在s幀中找出靜止的區域，記為[Kx，y]。
4） 觀察區域[Kx，y]，若靜止的概率大于3/4，則認為是背景區域。
5） 當背景區域不斷更新時，前景區域也在不停更新，當背景幀圖像近似均勻分布時，可作為終止條件，此時可以得到目標運動區域。
3 運動人體分割
數學形態學是一種非線性圖像信號處理和分析理論，它不但符合人的感知系統，而且在描繪區域和結構表達方面有很大的優勢，所以受到了很大的重視。該文首先對運動人體利用當前幀與背景幀做差，然后對差圖像灰度化，再利用形態學開閉運算進行濾波，并二值化，通過填充孔洞和邊界清除，便得到了完整且清晰的運動目標區域。
4 實驗結果
本文對自然環境下，地鐵站視頻圖像進行分析，在背景較為復雜的情況下，實現了運動人體檢測。采用數學形態學處理，能夠滿足硬件并行計算的要求，同時滿足了地鐵站視頻監控系統的實時性。從圖1可以看出，該方法可以正確分割運動行人。
5 結束語
提出了一種將背景建模與形態學相結合的行人檢測算法。通過對地鐵站監控圖像分析，該算法能在較為復雜的環境中，準確建模，解決了運動目標區域定位問題；實現了人體分割。但是，若地鐵站行人較為密集，行人被一些物體遮擋以及光線過明、過暗等情況，該算法不能很好的提取目標區域。
參考文獻：
[1] 車志富， 苗振江， 王夢思. 地鐵視頻監控系統中的行人檢測研究與應用[J]. 現代城市軌道交通， 2010：31-36.
數學建模算法與實現范文第3篇
1軟測量建模方法解析
典型的軟測量模型結構如圖1所示[3].與傳統儀表檢測技術相比,軟測量技術具有通用性和靈活性強,易實現且成本低等優點[1]。影響熱工過程參數軟測量精度的主要因素為數據的預處理方法、輔助變量的選擇、模型的算法和結構等[4G5].由于現場采集的數據存在一定的誤差以及儀表測量誤差等,因此在建立軟測量模型時需要對建模數據進行預處理,以消除誤差.此外,還需對算法中間及輸出結果進行有效性檢測,以避免輸出不合理的數據.另外,輔助變量需要通過機理分析進行初步確定,并且對其的選取需要考慮變量的類型、數量和測點位置等,同時需要注意輔助變量對系統運行經濟性、可靠性和可維護性等的影響,從而簡化軟測量模型和提高軟測量精度.輔助變量選取的最佳數量與測量噪聲、過程自由度及模型不確定性等有關,其下限值是待測主導變量的數量.所選輔助變量應與主導變量密切相關,且為與動態特性相似的可測參數,具有較強的魯棒性和抗過程輸出或不可測擾動的能力,易于在線獲取,能夠滿足軟測量的精確度要求.由于某些熱工測量對象的輔助變量類型和數量很多,且各變量之間存在耦合關系,因此為了提高軟測模型性能和精度,需對輸入輔助變量進行降維處理.由于在工業過程中通常采用同時確定輔助變量的測定位置和數量方法,因此對測點位置的選擇原則同于變量數量的選擇原則.在構建軟測量機理模型過程中,要求具有足夠多能夠反映工況變化的過程參數,并運用化學反應動力學、質量平衡、能量平衡等各種平衡方程,確定主導變量與一些可測輔助變量的關系.但是,經若干過程簡化后的軟測量機理模型難以保證測量精度,且有很多熱工過程機理尚不明確,因此難以對軟測量進行機理建模.針對復雜的非線性熱工過程,辨識建模方法通過現場數據、試驗測試或流程模擬,獲得工況變化過程中的輸入(輔助變量)和輸出(主導變量)數據,根據兩者的數學關系建立軟測量模型.該方法主要有基于統計分析的主元分析(PCA)法和偏最小二乘(PLA)法、基于人工智能的神經網絡(ANN)法、基于統計學習理論的支持向量機(SVM)法、模糊理論法等[6].
1．1主元分析方法
PCA法通過映射或變換對原數據空間進行降維處理,將高維空間中的問題轉化為低維空間中的問題,新映射空間的變量由各原變量的線性組合生成[7].降維后數據空間在包含最少變量的同時,盡量保持原數據集的多元結構特征,以提高模型精度.通常,采用該方法對現場采集的系統輸入輸出變量數據進行相關性分析,以優選輔助變量集,并利用對應的輸入輸出變量建立預測模型.但是,該方法受樣本噪聲影響較大,建立的模型較難理解.PCA法基于線性相關和高斯統計的假設,而核主元分析(KPCA)法對非線性系統具有更好的特征抽取能力,因而針對飛灰含碳量等呈非線性特征的變量,基于KPCA法建立其軟測量模型,效果較好[8].
1．2偏最小二乘法PLA法
通過計算最小化誤差的平方和,匹配出數據變量的最優函數組合,是一種數學優化方法.該方法用最簡化的方法求出某些難以計算的數值,通常被用于曲線擬合.偏最小二乘回歸(PLSR)法建立在PCA原理上,主要根據多因變量對多自變量的回歸建模,在解決樣本個數少于變量個數問題時,特別是當各變量的線性關聯度較高時采用PLSR法建立其軟測量模型更為有效.
1．3人工神經網絡
ANN法在理論上可在不具備對象先驗知識的條件下,構造足夠的樣本,建立輔助變量與主導變量的映射關系,從而通過網絡學習獲得ANN模型.ANN由許多節點(神經元)相互連接構成,每個節點代表一個特定的輸出函數(激勵函數),2個節點間的連接代表通過該連接信號的權重(ANN的記憶).選取ANN運算模型的輔助變量和主導變量后,為使待測的主導變量近似于實際測量變量,還可利用最小二乘法、遺傳算法、聚類法等神經網絡算法訓練己知結構網絡,通過不斷調整結構的連接權值和閾值訓練出擬合度最優的ANN模型.ANN模型采用分布式并行信息處理算法,具有自學習、自適應、聯想存儲(通過反饋網絡實現)、高速尋找優化解、較強在線校正能力、非線性逼近等特性,其在解決較強非線性和不確定性系統的擬合問題具有較大優勢[9],因此成為應用最廣泛的一種熱工過程參數軟測量建模方法.但是,神經網絡系統受訓練樣本質量、空間分布和訓練算法等因素影響較大,外推能力較差,受黑箱式表達方式限制,模型的可解釋性較差.當實際樣本空間超出訓練樣本空間區域時,模型輸出誤差較大.因此,實際工業過程中需定時對該方法的參數進行校正.ANN還包括反向傳播神經網絡(BP)和徑向基神經網絡(RBF).BP模型將樣本輸入輸出問題變為非線性優化問題,采用最優梯度下降算法優化并迭代求得最優值.RBF包含輸入層、隱含層(隱層)和輸出層,為3層結構,隱層一般選取基函數作為傳遞函數(激勵函數),輸出層對隱層的輸出進行線性加權組合,因此其節點為線性組合器.相比BP模型,RBF模型訓練速度快,分類能力強,具有全局逼近能力等.
1．4支持向量機法SVM法
以結構風險最小化為原則,是一種新型針對小樣本情況的機器統計學習方法.其需要滿足特定訓練樣本學習精度的要求和具備準確識別任意樣本的能力.該方法根據有限的訓練樣本信息盡可能尋求模型復雜性和學習能力間的最優關系,從而有效解決了基于經驗風險最小化的神經網絡建模方法的欠學習或過學習問題[10G11],且泛化能力強,能夠保證較小的泛化誤差,對樣品依賴程度低,可以較好地對非線性系統進行建模和預測,是對小樣本情況分類及回歸等問題極優的解決方法.但是,當樣本數據較大時,傳統訓練算法復雜的二次規劃問題會導致SVM法計算速度較慢,不易于工程應用,抗噪聲能力較差等,且參數選擇不當會使模型性能變差.目前,對SVM法還沒有成熟的指導方法,基于經驗數據建模,則對模型精度的影響較大.對于工業過程對象,許多在SVM法基礎上進行改進的算法和混合算法被用于軟測量建模,并已取得了良好的試驗效果.如基于最小二乘支持向量機(LSGSVM)法的建模方法將最小二乘線性系統的誤差平方和作為損失函數代替二次規劃方法,利用等式約束替代SVM法中的不等式約束.由于LSGSVM法只需求解1組線性等式方程組,因此顯著提高了計算速度和模型的泛化能力[12G13].與傳統SVM法相比,其訓練時間更短,結果更具確定性,更適合工業過程的在線建模.1．5模糊理論法模糊理論法根據模糊邏輯和模糊語言規則求解新的模糊結果[14].由專家構造模糊邏輯語言信息,并轉化為控制策略,從而解決模型未知或模型不確定性的復雜工業問題,尤其適合被測對象不確定,難以用數學方式定量描述的軟測量建模[15G16].模糊理論法不需要被測對象的精確數學模型,但模糊系統本身不具有學習功能,如果能夠將其與人工神經網絡等人工智能方法相結合,則可提高軟測量的性能.
2軟測量技術研究現狀
目前,軟測量的機理、偏最小二乘、人工神經網絡、支持向量機、模糊建模等方法均屬于全局建模方法,而這些方法均存在待定參數過多、在線和離線參數難以同時用于建模、模型結構較難確定等問題.因此,20世紀60年代末,Bates等[17]提出了將幾個模型相加的方法,該方法可以有效提高模型的魯棒性和預測精度.該方法將系統首先拆分為多個子系統,然后分別對每個子系統建模并相加.全局模型被視為各子模型的組合,從而不僅可提高模型對熱工過程參數的描述性能,而且較單一模型具有更高的精度.通常,在多模型建模時,首先通過機理分析建立帶參數的機理模型,并利用輸入輸出數據對模型待測參數進行辨識.而對機理尚不清楚的部分,則采用數據建模,即根據輸入輸出數據構建補償器進行誤差補償.基于此,本文以主要熱工過程參數為對象,綜述軟測量技術的研究現狀.
2．1鋼球磨煤機負荷、風量和出口溫度
鋼球磨煤機(球磨機)制粉系統的用電量在電站廠用電中占比可高達15％.目前對球磨機煤量的測量方法有差壓法、電流法、噪音法、物位法、振動法等[18],但這些方法都難以精確地測量球磨機煤量,從而導致制粉系統自動控制品質欠佳,使電耗量增加.建立球磨機負荷與相關輔助變量的關系,可實現球磨機負荷、煤量的軟測量.輔助變量可選為給煤量、熱風量、再循環風量、球磨機出口溫度及出入口壓差、球磨機電流等[19].王東風和宋之平[20]采用前向復合型人工神經網絡建立了基于分工況學習的變結構式負荷模型,以測量球磨機負荷,其正常運行工況下采用延時神經網絡法負荷模型,球磨機出口煤量較小(趨于堵煤)時采用回歸神經網絡法負荷模型,并通過仿真試驗和實測數據證明了該建模方法的可行性和有效性,對運行指導也取得了較好的效果.司剛全等[21]提出了基于復合式神經網絡的球磨機負荷軟測量方法,選取球磨機噪音及出入口壓差、出口溫度、球磨機電流等作為輔助變量,獲得了球磨機負荷變化規律.趙宇紅等[22]基于神經網絡和混沌信息技術建立了球磨機出力軟測量模型,仿真結果表明該模型能夠預測穩態和動態過程中的球磨機出力.湯健等[23]則提出了基于多源數據特征融合的軟測量方法,其采用核主元分析提取各頻段的非線性特征,建立了基于最小二乘支持向量機的模型,該算法運算精度較高.張炎欣[24]在即時學習策略建模框架下,首先通過灰色關聯分析方法確定主要的輔助變量,隨后采用混合優化算法進行支持向量機模型計算,發現其結果相比標準支持向量機模型和BP神經網絡模型具有更好的預測性能.磨煤機一次風量的準確測量是確定合理風煤比,提高鍋爐燃燒效率的重要因素.因此,楊耀權等[25G26]基于BP神經網絡選取42個輔助變量建立了磨煤機一次風量的軟測量模型,通過對某電廠數據的測試,驗證了該方法較現場流量測量儀表輸出值更準確,同時基于支持向量機回歸方法建立的風量模型也較流量測量儀表的精度高,且能夠適應機組變化.此外,梁秀滿和孫文來[27]基于熱平衡原理進行了機理建模,實現了球磨機出口溫度的軟測量.
2．2煤質
電站鍋爐入爐煤質對機組安全、經濟運行影響較大.對此,劉福國等[28G29]利用煙氣成分、磨煤機運行狀態、煤灰分和煤元素成分等建立了入爐煤軟測量機理模型,實現了入爐煤質元素成分和發熱量的在線監測.董實現和徐向東[30]利用模糊神經網絡構建辨識模型,并進行了鍋爐煤種低位發熱量模型參數的辨識,其辨識誤差在2％以內.馬萌萌[31]利用BP神經網絡法進行建模,研究了煤質元素分析,并利用遺傳算法對BP神經網絡各層連接值進行了提前尋優,結果表明經遺傳算法優化后的模型較單純BP神經網絡模型誤差更小.巨林倉等[32]采用遺傳算法與BP網絡聯合的建模方式,分析了煤粉從制粉系統到完全燃燒的過程,結果表明煤質在線軟測量模型能夠有效預測煤種揮發分、固定碳含量和低溫發熱量.
2．3風煤比
電站鍋爐各燃燒器出口的風煤比不能相差太大,否則可能造成鍋爐中心火焰偏移、燃燒不穩定、結焦等問題.對此:金林等[33]基于氣固兩相流理論進行了機理建模,根據乏氣送粉方式下風粉混合前后的壓力差計算了風煤比,通過理論推導和仿真試驗發現,風煤比計算值與混合壓差呈良好的對應關系;陳小剛和金秀章[34]通過對風煤比機理模型的研究,發現一次風與煤粉混合后管道內壓差呈明顯的線性關系;劉穎[35]將給粉機轉速、風粉混合前后動壓、風粉溫度等作為輔助變量,采用機理建模與支持向量機相結合的方法,進行風煤比軟測量建模,仿真結果顯示所建模型性能優于RBF神經網絡模型.
2．4煙氣含氧量
目前主要使用熱磁式傳感器和氧化鋯傳感器等測量鍋爐煙氣含氧量,其存在測量誤差大、反應速度慢、成本高、使用壽命短等問題.對此,采用軟測量方法測量煙氣含氧量.鍋爐煙氣含氧量主要受煤質、煤粉未完全燃盡、爐膛漏風等因素影響,因此選取總燃料量、風機風量和電流、再熱蒸汽溫度、汽包壓力、爐膛出口煙溫、鍋爐給水流量等參數作為輔助變量.韓璞等[36]構建了電站鍋爐煙氣含氧量的復合型神經網絡軟測量模型,并在不同機組負荷下通過實測方法驗證了該模型的有效性.盧勇和徐向東[37]提出了基于統計分析和神經網絡的偏最小二乘(NNPLS)法建立鍋爐煙氣含氧量軟測量模型的方法,并進行了穩態和動態建模,結果表明所建模型具有很強的泛化能力.陳敏[38]引入主元分析理論和偏最小二乘法進行了輔助變量的優化選取,并采用BP神經網絡算法實現了對煙氣含氧量的預測分析.熊志化[39]進行了基于支持向量機的煙氣含氧量軟測量,通過8個輔助變量進行訓練,并得出優于傳統氧量分析儀和RBF神經網絡模型的結論,尤其是在小樣本情況下.張倩和楊耀權[40]采用了類似的支持向量機回歸模型取得了良好的仿真結果.章云鋒[41]提出了基于最小二乘支持向量機的煙氣含氧量軟測量模型.張炎欣等[24,42]采用基于即時學習策略的改進型支持向量機建立了煙氣含氧量軟測量模型,得到了與球磨機負荷相似的結論.王宏志等[43]構建最小二乘支持向量機模型時應用粒子群算法解決了多參數優化的問題,并將其應用于煙氣含氧量建模中后,獲得了較好的效果.趙征[44]等采用機理分析與統計分析相結合的建模方法,建立了一系列局部變量的軟計算模型,較好地反映煙氣含氧量的變化.
2．5飛灰含碳量
燃燒失重法是測試飛灰含碳量的傳統分析方法.該方法測試時間長、所得結果無法實時反映飛灰含碳量,而反射法、微波吸收法,由于缺乏在線測量技術或成本較高,難以大規模應用于在線測量[45].煤質和鍋爐運行參數是影響飛灰含碳量的主要參數,因此燃煤收到基低位發熱量、揮發分、灰分、水分,以及鍋爐負荷、磨煤機給煤量、省煤器出口煙氣含氧量、燃燒器擺動角度、爐膛風量和風壓等參數可被選為輔助變量.對灰含碳量的軟測量難以采用機理建模方法.而BP神經網絡因其強大的非線性擬合能力和學習簡單的規則等優點被廣泛用灰含碳量的軟測量.周昊等[46]采用BP神經網絡算法建立了電站鍋爐的飛灰含碳量模型,該模型輸出結果與試驗實測結果基本吻合.李智等[47]采用BP神經網絡進行了飛灰含碳量的建模和分析,得到了良好的預測結果.趙新木等[48]選取11個輔助變量進行了改進BP神經網絡的計算和預測,并探討了燃燒器擺動角度、鍋爐燃料特性、煤粉細度、過量空氣系數等單變量對飛灰含碳量的影響.王春林等[49]和劉長良等[50]分別采用基于支持向量機回歸算法和最小二乘支持向量機算法進行建模,結果顯示支持向量機法相比BP神經網絡法等建模方法具有學習速度快、泛化能力強、對樣本依賴低等優點.陳敏生和劉定平[8]利用最小二乘支持向量機建立了飛灰含碳量軟測量模型,并采用KPCA法提取變量特征數據處理非線性數據,通過在四角切圓燃燒鍋爐上的仿真試驗驗證了所建模型的有效性和優越性.
2．6燃燒優化
高效低污染是電站鍋爐燃燒優化的目標.顧燕萍等[51]基于最小二乘支持向量機算法建立了鍋爐燃燒模型,進行了排煙溫度、飛灰含碳量、NOx排放量等參數的軟測量研究,隨后采用遺傳算法對鍋爐運行工況進行尋優,得到了燃燒優化方案,研究結果表明該算法比BP神經網絡算法性能更優越.王春林[11]建立了基于支持向量機,并以鍋爐主要燃燒試驗數據為輔助變量的軟測量模型,其將遺傳算法與支持向量機模型相結合,使得對飛灰含碳量、排煙溫度、NOx排放量的軟測量取得了良好的優化效果.高芳等[52]以鍋爐熱效率和NOx排放量為輸入參數,建立了最小二乘支持向量機模型,試驗結果表明模型輸出誤差很小,良好的參數組合可為鍋爐優化運行提供指導.
2．7其他熱工參數
對于主蒸汽溫度、汽包水位、省煤器積灰、煙氣污染物排放量等參數,學者們也進行了軟測量研究.熊志化等[53]對主蒸汽流量進行了軟測量,以給水溫度等為輔助變量的歷史數據仿真結果表明,支持向量機算法較RBF神經網絡算法具有明顯優勢.何麗娜[54]提出了基于現場數據的神經網絡建模,與傳統神經網絡建模相比,無需數學表達式和傳遞函數,只需要現場數據,以主蒸汽溫度系統為建模對象,采用主元分析法對建模數據進行預處理,降維后,通過分析過熱器運行機理確定了輔助變量,并合理預測了主蒸汽溫度.梅華[16]提出了基于模糊辨識的自適應預測控制算法,并應用于發電廠主蒸汽溫度控制中,仿真結果表明該算法具有良好的負荷適應性.李濤永等[55]以給煤量設定值為輸入,主蒸汽壓力為輸出,利用聚類分析方法將熱工過程的非線性問題分解并轉化為若干個工況點的線性問題,得出了辨識模型及其擬合曲線.張小桃等[56]根據機組運行機理,利用主元分析法、多變量統計監測理論等確定不同機組運行過程中影響汽包水位變化的主導因素.王少華[57]建立了基于機理分析與數據統計分析方法相結合的鍋爐汽包水位軟測量模型,試驗結果表明該模型可較好地反映鍋爐參數在典型擾動工況下的汽包水位動態特性.王建國等[58]采用機理分析建模,以省煤器進出口煙氣溫度、省煤器管壁溫度、煙氣流速等為輔助變量,對在線監測鍋爐省煤器積灰的軟測量進行了分析.楊志[59G62]選取經遺傳算法優化后的BP神經網絡模型對SO2排放量進行了預測研究,其選取了硫分、負荷、給煤量、過量空氣系數、排煙溫度等參數作為模型輸入變量,SO2排放量作為輸出變量,試驗結果表明該方法能夠滿足在線監測SO2排放量的要求.
3結語
數學建模算法與實現范文第4篇
關鍵詞：建模算法 指示克里金 序貫指示模擬
一、確定性建模方法和隨機建模方法
1.確定性建模方法
確定性建模是對井間未知區給出確定性的預測結果，即從已知確定性資料的控制點（如井點）出發，推測出點間（如井間）確定的、惟一的和真實的儲層參數。主要手段是利用地震資料、水平井資料、露頭類比資料和密井網資料1。利用插值方法對井間參數進行內插和外推是確定性建模的主要方法。插值方法包括數理統計插值方法和地質統計學克里金插值方法。其中克里金插值方法是最常用的插值方法。由于儲層的隨機性，儲層預測結果便具有多解性。因此，應用確定性建模方法作出的唯一的預測結果便具有一定的不確定性，以此作為決策基礎便具有風險性。為此，人們廣泛應用隨機模擬方法對儲層進行建模和預測。
2.隨機建模方法
所謂隨機建模，是指以已知的信息為基礎，以隨機函數為理論，應用隨機模擬方法，產生可選的、等可能的儲層模型的方法2。這種方法承認控制點以外的儲層參數具有一定的不確定性，即具有一定的隨機性。因此采用隨機建模方法所建立的儲層模型不是一個，而是多個，即一定范圍內的幾種可能實現（即所謂可選的儲層模型，以滿足油田開發決策在一定風險范圍的正確性的需要，這是與確定性建模方法的重要差別。對于每一種實現（即模型），所模擬參數的統計學理論分布特征與控制點參數值統計分布是一致的。各個實現之間的差別則是儲層不確定性的直接反映。如果所有實現都相同或相差很小，說明模型中的不確定性因素少；如果各實現之間相差較大，則說明不確定性大。隨機模擬與克里金插值法有較大的差別，主要表現在以下三個方面：
2.1克里金插值法為局部估計方法，力圖對待估點的未知值作出最優（估計方差最小）的、無偏（估計值均值與觀測點值均值相同）的估計，而不專門考慮所有估計值的空間相關性，而模擬方法首先考慮的是模擬值的全局空間相關性，其次才是局部估計值的精確程度。
2.2克里金插值法給出觀測點間的光滑估值（如繪出研究對象的平滑曲線圖），而削弱了真實觀測數據的離散性（插值法為減小估計方差，對真實觀測數據的離散性進行了平滑處理），從而忽略了井間的細微變化；而條件隨機模擬結果在在光滑趨勢上加上系統的“隨機噪音”，這一“隨機噪音”正是井間的細微變化。雖然對于每一個局部的點，模擬值并不完全是真實的，估計方差甚至比插值法更大，但模擬曲線能更好地表現真實曲線的波動情況（圖3-1）。
2.3克里金插值法（包括其它任何插值方法）只產生一個儲層模型，因而不能了解和評價模型中的不確定性，而隨機模擬則產生許多可選的模型，各種模型之間的差別正是空間不確定性的反映。
二、指示克里金建模算法和序貫指示模擬算法
克里金方法（Kriging）， 亦稱克里金技術， 或克里金，為確定性建模方法，是以南非礦業工程師D.G.Krige（克里金）名字命名的一項實用空間估計技術， 是地質統計學的重要組成部3。 克里金估計是一種局部估計的方法。它所提供的是區域化變量在一個局部區域的平均值的最佳估計量，即最優（即估計方差最小）、無偏（估計誤差的數學期望為0）的估計。 克里金估計所利用的信息，通常為一組實測數據及其相應的空間結構信息。應用變差函數模型所提供的空間結構信息，通過求解克里金方程組計算局部估計的加權因子即克里金系數，然后進行加權線性估計。克里金方法是一種實用的、有效的插值方法。它優于傳統方法（如三角剖分法，距離反比加權法等），在于它不僅考慮到被估點位置與已知數據位置的相互關系，而且還考慮到已知點位置之間的相互聯系，因此更能反映客觀地質規律，估值精度相對較高，是定量描述儲層的有力工具。指示克里金方法是一種基于指示變換值的克里金方法，即對指示值而不是原始值進行克里金插值，其核心算法則借用上述克里金方法。
序貫指示模擬屬于基于象元的隨機建模方法范疇，其算法核心是將序貫模擬算法應用于指示模擬中。算法特點：既可用于離散的類型變量，又可用于離散化的連續變量類別的隨機模擬。兩個算法的特性對比表如下：
指示克里金算法和序貫指示模擬的共同點是都結合了指示變換方法，因此都可以對離散變量進行模擬（其他克里金方法是不能模擬離散變量的）。對于具有不同連續性分布的變量（如沉積相），可給定不同的變差函數，所以可用于模擬變異性較大的分布復雜的數據。另外兩者都可以結合軟數據。由于克里金插值法為光滑內插方法，所以指示克里金也具有這種光滑效應，做出來的砂體很光滑，更容易被地質人員接受。但是為減小估計方差而對真實觀測數據的離散性進行了平滑處理，雖然可以得到由于光滑而更美觀的等值線圖或三維圖，但一些有意義的異常帶也可能被光滑作用而“光滑”掉了。指示克里金與序貫指示相比主要的弱點是空間數據的分布。所以當有好的地震數據時，砂體的分布也就確定了，這樣就彌補了指示克里金空間數據分布的問題，但是指示克里金的模擬結果具有光滑效應，所以指示克里金和序貫指示算法同時當結合地震數據時，使用指示克里金的模擬效果會比序貫指示模擬的算法效果好，模擬的砂體更連續和光滑。
三、結論
1.建模前根據數據資料和地質情況確定使用確定性建模方法和隨機建模方法
2.建模如果有高分辨率的地震資料時，使用指示克里金算法比序貫指示模擬算法模擬出的砂體更連續。
參考文獻
[1] 劉穎等.儲層地質建模方法.中外科技情報.1994.
數學建模算法與實現范文第5篇
關鍵詞:系統模擬與仿真;課程教學;實例演示
中圖分類號:TP391文獻標識碼:A文章編號:1009-3044(2010)22-6369-03
Simulation Exemplars for System Simulation Course
HUANG Han-ming
(College of Computer Science and Information Engineering, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China)
Abstract: This paper briefly narrates the general concepts of system and various system theories, and introduces the necessity of system simulation for the researches of systems. Then the teaching purpose and main contents of system simulation course are given. After that, some understandings in this course teaching experiences are presents. Finally, several having applied measures which might be helpful to enhance the effect of teaching are discussed:reinforce simulation principles teaching, guide students broadening scope of knowledge, use simulation case studies as education emphases
Key words: system simulation; course pedagogy; exemplar demonstration
系統是一個與環境相對的概念,任何相互聯系、相互影響、相互作用的部分所組成的一個整體皆可稱為一個系統。系統的各個組成部分之間,通過物質、能量和信息的交換而相互關聯、相互影響、相互作用;系統與環境之間,亦存在著物質、能量和信息的輸入、輸出關系。早在古代中國和古希臘的哲學中,就包含樸素的系統思想。隨著社會的發展和近、現代科學技術的興起與進步,在軍事、工程、經濟、社會等諸多領域,都存在著大量的有關系統的問題。為解決這些問題,20世紀40年代相繼產生了運籌學、控制論、信息論和一般系統論等系統理論;20世紀40年代以來,系統理論被大量應用于工程實踐,系統工程應用學科迅速發展,同時其他科學技術學科也在不斷獲得新的突破與發展,從而對各種系統的性質和規律的認識在不斷深入,產生的一些新的系統理論:耗散結構理論、協同學、動力系統理論、混沌理論、突變論等。
當前,對復雜及復雜適應系統的研究是系統科學這門學科的熱點。國際上,有關復雜系統的系統科學研究可分為三個主要學派:“歐洲學派” ―― 以非線性自組織理論為核心內容的系統理論(系統元素為無機物,源于物理、化學系統);“美國學派” ―― 以圣菲研究所(SFI)為代表的理論框架(系統元素為有機物,具主動性,源于生物系統);“中國學派” ―― 以開放的復雜巨系統理論為核心的體系(系統元素為“人”,源于大工程協作系統)。其實,這三個主要學派的主要區別只是從系統的不同層次為出發點去把握系統的性質和規律;它們的共同點可認為是要從整體上去認識問題和解決問題,對系統的許多性質,部分和的累加并不一定等于整體,整體很可能大于部分和,由于涌現性,整體會出現一些任一部分所不曾擁有的新性質。
由于現實系統的廣泛性、多樣性和復雜性,如果直接對系統進行觀測、實驗和研究,可能會對真實系統造成破壞性影響而且可重復性很可能也差,或者用真實系統試驗時間過長,或費用太昂貴。對于工程系統,在系統建立之前需要對其結構、行為特性開展研究,但真實系統尚不存在。這些情況下,系統的模擬仿真是唯一可行的研究手段。
1 系統模擬仿真課程的教學目的
系統模擬仿真課程的教學目的為:培養學生科學分析和解決各類學科中出現的一般復雜系統問題的能力,掌握多種解決各種復雜系統問題的研究、設計與分析方法。通過本課程的教學,希望學生能了解系統模型的形式化描述;掌握連續系統的時域與頻域建模仿真方法:龍格-庫塔法、線性多步法、離散相似法、替換法、根匹配法等;了解離散事件系統的一般概念和離散事件系統的建模工具――Petri網,掌握經典的離散事件系統:單服務臺與多服務臺排隊系統,庫存系統等的仿真方法;掌握離散事件系統的仿真輸出數據的分析方法;了解現代仿真技術――虛擬現實技術的一般概念、分析建模方法和和基于Agent的的建模方法及Swarm仿真和分布建模仿真。
系統科學專業碩士點的設立是為了滿足國家和廣西的經濟和社會發展的需要,旨在培養高層次的復合型研究與管理人才。系統科學專業碩士點有兩個專業:系統理論和系統分析與集成,其中系統理論專業從2004年起開始面向全國招生,系統分析與集成專業從2006年起招生。系統模擬仿真課程是系統科學專業碩士生的必修課程,本人從2006年起到目前為止連續5年擔任了本門課程的任課教師,在此對這幾年的教學實踐作些總結,以圖對本課程后續的教學水平的提高和教學效果的完善能有所幫助。
2 課程基礎建設
專業課程與選修課程的組成,不同課程的先后安排和教材的選擇對教學目的之達成與教學效果之提高至關重要。系統模擬仿真課程的先修課程為:控制理論,概率統計,至少一種通用程序設計語言(如:C/C++程序設計語言和Matlab編程語言)。這幾年教學過程中的有些學期,在本課程剛開始時,有些學生反映從未接觸過其中一門或兩門先修課程,應學生的要求,用一、兩次課程的時間介紹相應課程,解釋其中的重要內容,并鼓勵學生自學相應課程,難懂之處同學之間互相探討,并及時向老師請教。教材選擇的是美國多家高校系統仿真類課程普遍采用的, 由清華大學出版社出版的原版影印英文教材[1]。該教材著眼于離散事件系統仿真的原理和方法學的闡述,基本概念通過實例加以闡述展開,對仿真方法、技術談論深入,對新技術發展方向描述明確。該教材以C/C++和Fortran為仿真算法的主要編程語言。
開始的連續2年只使用該教材進行教學,有些學生反應跟不上教學進度,仔細了解,跟不上的原因是難以完全讀懂教材中的英文內容和從未學過C/C++和Fortran語言。為讓每位學生都能掌握好基本仿真方法、技術而又不失去對仿真前沿研究的了解,后增加系統科學與系統的一般理論及其工程應用[2]的介紹,連續系統仿真原理[3]的介紹和較容易編程實現的仿真實例教學[4]。作業與考試方式、頻次的安排設置對加強學生的學習動力和提高學習效果起著極大的作用,除了常規作業和期末考試外,增加了每學期每位學生上講臺講解至少30分鐘提前布置的、要求學生課后完成的仿真建模實例小作業并接著深入討論。還安排了學期結束時應完成的較復雜的系統仿真編程大作業,并撰寫一份系統仿真應用的研究報告。
3 提高教學效果的措施
3.1 加強仿真原理教學
現代仿真是基于計算機、利用合適的算法通過模型(物理的或數學的)以代替實際系統進行實驗和研究的一門學科和實驗技術。 仿真過程中系統、模型與計算機(包括軟、硬件)的關系如圖1所示。這里模型通常是指數學模型。常用的數學模型[5]有:初等模型、確定性連續模型、確定性離散模型和隨機模型。如該圖所示,系統建模、仿真建模和仿真實驗為系統仿真的三個基本活動。
系統的模型是實際系統的簡化或抽象,分物理模型與數學模型。系統模型的形式化描述一般可表述為:
S=(T,U,Ω,X,Y,δ,f)
其中:T―時間基, 其若為整數,則系統S為離散系統,若為實數,則系統S為連續系統;U―輸入集,U?奐Rn,n∈I+;Ω―輸入段集,某時間內的輸入模式,是(U,T)的子集;X―系統狀態集,是系統內部結構狀態建模的核心;Y―系統輸出集;δ―系統狀態轉移函數;f―系統輸出函數,可表達為:f:X×U×TY。
實際建模時,模型描述的詳細程度可用如下3個水平來表示:(1)行為水平,只知系統的輸入輸出,系統被視為“黑箱”;(2)分解結構水平,系統輸入輸出及結構組成已知,系統被視為多個簡單“黑箱”的組合;(3)狀態結構水平,系統的輸入輸出,內部狀態及轉移函數皆為已知。要全面了解仿真過程的核心內容,需要較全面的數學知識、計算方法知識和編程語言知識。
由圖1可知,系統仿真的第1步是建立系統的數學模型。雖然另有一門課程―《數學模型》(或稱《數學建模》)(應用數學專業課程)專門介紹個各種數學建模方法,如不特別介紹,本專業學生或許不知有該課程的存在。在建立好系統數學模型的基礎上,可能需要利用《計算方法》中的專門知識,基于學生熟悉的編程語言(Fortran,C/C++, C#或Matlab等),如學生對任一編程語言都不了解,推薦學生優先選擇較容易入門且有大量編程工具箱可資利用的Matlab編程語言,把數學模型轉化為計算機算法程序,得到仿真模型。在設置好各可調參數條件下運行仿真模型(即仿真算法程序),即可得到一系列的輸出,這些輸出要進行各種分析[1],如條件允許,并應該與實際系統的相應數據作對比分析。
3.2 引導學生擴展知識面
仿真技術廣泛應用于工程領域--機械、航空、電力、冶金、化工、電子等方面,和非工程領域DD交通管理、生產調度、庫存控制、生態環境以及社會經濟等方面。幾乎滲透于每一個需要計算的領域和學科,相關文獻十分豐富。許多學術期刊都刊登有系統模擬仿真方面的研究論文,其中系統科學領域的期刊,尤其值得同學們去了解和學習,以擴展知識面和了解建模仿真方面的前沿研究。
應該特別留意的期刊有:中科院數學與系統科學研究院期刊學會(/)主辦的《系統科學與數學》(中) ,《系統科學與復雜性》(英)和《系統工程理論與實踐》,中國系統仿真學會與航天科工集團706所主辦的《系統仿真學報》,美國伊利諾伊大學復雜系統研究中心主辦的《復雜系統 》,美國UL控制與系統工程學會和弗羅茨瓦夫理工大學主辦的《系統科學 》,IEEE的《智能系統》,圣菲研究所的《復雜系統學報》等。
每年都有多次由不同機構發起、在不同國家舉辦的有關系統仿真的國際學術會議。通過各個級別的系統科學學會或系統仿真學會網站,或直接通過搜索引擎(如, )可檢索到最近舉辦過的系統仿真會議介紹或論文,以及即將舉辦的系統仿真會議的地點、時間和投稿須知, 如:國際系統科學學會(International Society for the Systems Sciences, ISSS)網站上 /world/index.php 有當年的年度會議信息和最近幾年的會議資料。
3.3 以仿真實例教學為教學重點以提高學生的實際分析問題和解決問題的能力
課堂上詳細講解一些較簡單的系統問題的仿真實例,可以使學生逐步明確并不斷加深對建模仿真整個流程的理解:從分析系統結構或行為導出系統的數學模型,再根據所導出的數學模型使用某種編程工具實現仿真建模,形成相應的仿真算法程序,最后運行仿真算法程序,分析結果并與實際系統相應數據對比。
編程工具的介紹也要兼顧學習效率和算法理解徹底性, 教學過程中發現如只介紹通用編程語言(如C/C++)實現仿真算法程序,學生表示是可以徹底理解所討論問題的算法及代碼;但過后一段時間,再面對類似但稍微復雜些的問題,學生就顯得有些不知如何下手改寫原來的程序以解決當前的問題。而如使用Matlab .m源碼文件實現仿真代碼,學生基本能正確改寫程序。如使用更高抽象層上的Simulink模型實現仿真,學生可以輕松解決類似新問題。現在采用初次碰到典型案例問題時,采用C語言實現仿真算法,再次碰到類似問題時使用Matlab.m源碼,更多的或更復雜的仿真案例,則采用Simulink構建仿真模型。
所選擇的仿真實例兼顧確定與隨機系統,連續與離散系統。所列舉過的離散隨機系統有:單服務員排隊系統(M/M/1)和多服務員排隊系統(M/M/N)的仿真;多工作站排隊系統的仿真;采用不同排隊策略的銀行排隊系統仿真。 列舉過的連續確定系統有: 機構運動仿真;傳染病感染傳播仿真;森林救火策略仿真;戰斗減員仿真;游擊戰策略仿真;香煙有害物質進入人體體內的累積量仿真以及生物種群規模漲落(Volterra模型)仿真等。
下面以機構運動仿真和戰斗減員仿真為例,對建模仿真的整個過程進行簡要描述:
仿真實例一.曲柄滑塊機構的運動學仿真:
對圖示單缸四沖程發動機中常見的曲柄滑塊機構進行運動學仿真。已知連桿長度:r2=0.1m,r3=0.4m,連桿的轉速:ω2=2,ω3=3,設曲柄r2以勻速旋轉,ω2=50r/s。初始條件:θ2=θ3=0。仿真以ω2為輸入,計算ω3和1,仿真時間0.5s。
利用Simulink建模如下:
模塊程序運行過程中自動顯示如圖4所示動畫。
所求仿真時間0.5s內1和ω3的變化圖像如圖5。
圖5 0.5s內的滑塊運動速度1 (上圖)和連桿轉速ω3(下圖)
仿真實例二.戰斗減員問題仿真:
該戰爭模型只考慮雙方兵力的多少和戰斗力的強弱。 假設:(1) 用x(t)和y(t)表示甲乙交戰雙方時刻t的兵力,不妨視為雙方的士兵人數;(2)每一方的戰斗減員率取決于雙方的兵力和戰斗力,用f和g表示; (3)現只對甲方進行分析。甲方士兵公開活動,處于乙方的每一個士兵的監視和殺傷范圍之內,一旦甲方某個士兵被殺傷,乙方的火力立即集中在其余士兵身上,所以甲方的戰斗減員率只與乙方兵力有關,可以簡單地設f與y成正比,即f=ay。a表示乙方平均每個士兵對甲方士兵的殺傷率(單位時間的殺傷數),稱乙方的戰斗有效系數。a可以進一步分解為a=rypy,其中ry是乙方的射擊率(每個士兵單位時間的射擊次數),py是每次射擊的命中率。由這些假設可得本問題的連續時間模型(方程):
又設系統輸入為甲乙方的射擊率rx,ry,每次射擊的命中率px,py,雙方初始兵力x0,y0。系統輸出為哪一方獲勝以及獲勝時的剩余兵力。要求有輸入、輸出界面及仿真過程。如何對微分方程進行求解,并判斷哪一方獲勝是本問題仿真的關鍵。
使用GUIDE(圖形用戶接口開發環境)接口實現以上簡單的一階微分方程。
調入該模型程序,按F5運行,出現如圖6所示界面。
在界面中輸入參數,點擊“執行仿真計算”按鈕,就會在結果欄中顯示哪一方獲勝,及其剩余人數。
設甲乙雙方射擊率都為0.03,初始兵力都為1000,每次射擊的命中率分別為0.023和0.026。執行仿真計算后可知是“乙方獲勝”,剩余兵力為339。如圖7所示。
4 總結
努力加強系統仿真原理教學,以較簡單的經典系統建模實例的仿真模型的建立為依托,讓學生在仿真實例的課堂教學中逐步明確并不斷加深對建模仿真整個流程的理解。仿真技術廣泛應用于工程領域和非工程領域,相關文獻十分豐富,涵蓋面十分廣闊的,而課堂教學的課時十分有限。如果我們把系統模擬與仿真這門學科比作是一片森林,文獻可看作是其中的樹木,仿真的實際應用則可看作生活于森林中的動物,當然動物也依賴于這片森林的鄰域森林(其他學科)。課堂教學只是帶學生來到這片森林邊沿,仿真原理、理論教學是引導學生仔細觀察了眼前的樹木,而課堂仿真實例教學則是與學生一起欣賞了樹枝上美麗的小鳥。 對這片森林更深入的了解需要學生自己出發去跋涉的、去游歷、去探索、去欣賞。當然,帶學生到這片森林應該先哪個邊沿,才能讓學生對這片森林有準確的了解并迅速喜歡上這片森林,需要帶領者對這片森林整體的和更準確的了解,也需要到過這片森林的同學們的意見反饋。
參考文獻:
[1] Law A M.Simulation Modeling and Analysis[M].北京:清華出版社,2000.
[2] 許國志.系統科學與工程研究[M].上海:上海科學技術出版社,2001.
[3] 肖田元.系統仿真導論[M].北京:清華大學出版社,2001.
