數學研究論文
前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇數學研究論文范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。
數學研究論文范文第1篇
【關鍵詞】科學哲學/數學哲學/數學哲學的革命
【正文】
本文有兩個互相關聯的目標：第一，對科學哲學對于數學哲學現展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎主義的數學哲學進行比較，從而清楚地指明數學哲學現展的革命性質。
一、從一些具體的研究談起
如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數學哲學研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數學基礎問題進行了系統和深入的研究，并發展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數學觀，從而為數學哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數學的范圍，特別是，基礎主義的數學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產生了十分重要的影響，而后者則曾在科學哲學的領域長期占據主導的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情況發生了重要的變化。盡管邏輯主義等學派作出了極大的努力，他們的研究規劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經歷了所說的“黃金時代”以后，數學哲學的發展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數學哲學的困境相對照，科學哲學則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統進入了一個欣欣向榮的、新的發展時期。也正因為此，科學哲學的現展就對數學哲學家產生了巨大的吸引力，并對數學哲學的現展產生了十分重要的影響。
就科學哲學對于數學哲學現代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學哲學推廣應用到了數學的領域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數學與一般自然（經驗）科學之間顯然存在有重要的質的區別。
為了使得由科學哲學中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數學哲學的研究，最好的方法就是集中于相應的研究問題，也即是希望通過以科學哲學領域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數學哲學中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數學研究綱領方法論的發展”就以拉卡托斯的科學哲學理論，也即所謂的“科學研究綱領方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關注的則是數學的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學研究綱領方法論相類似的數學發展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學哲學理論表現出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數學與經驗科學之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數學中卻不存在這樣的對應物。”因此，在Hallett看來，相應的科學方法論準則（即新的理論能作出某些預言，這些預言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數學的領域。
與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數學進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學研究綱領方法論的直接推廣。
在數學哲學領域內我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關于科學哲學領域中的思想或理論對于數學哲學“可應用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數學：關于數學的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應用到數學時，應當首先考慮兩個問題：第一，“在數學中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數學編年史的研究是否有確定的、富有成果的應用？”
顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關于應當如何去從事數學哲學（和數學史）研究的基本思想。
正是從這樣的立場出發，Mehrtens提出：“盡管（數學中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現象，我對這兩個概念持否定的態度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具。”
當然，上述的結論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學共同體”這兩個概念對于數學史（和數學哲學）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學共同體的社會學概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們為數學編年史提供了關鍵的概念。”
上述的批判態度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數學哲學研究。
一般地說，基切爾在數學哲學領域內的工作主要就是將庫恩的科學哲學理論推廣應用到了數學之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關于科學活動社會—文化性質的分析等。另外，基切爾所主要關注的則是數學歷史發展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發，基切爾首先考察了什么是數學變化的基本單位。基切爾寫道：“一個首要的任務，就是應當以關于數學變化單位的更為精確的描述去取代關于‘數學知識狀況’的模糊說法。這一問題與關注科學知識增長的哲學家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長。”
在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業質基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數學中的對應物，而是對“數學實踐（活動）”的具體內容作出了自己的獨立分析。基切爾提出，“我以為我們應當集中于數學實踐的變化，并把數學實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數學觀念。”顯然，這即是對庫恩基本思想的創造性應用。
其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數學實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉變當然也是批判性的立場和獨立思考的直接結果。
二、新方向上研究的共同特征
盡管在新方向上工作的數學哲學家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學哲學的重要影響。
1.對于數學經驗性和擬經驗性的肯定
所謂數學的經驗性，就其原始的意義而言，即是對數學與其它自然科學同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構成新方向上所有工作的共同出發點。
關于數學經驗性的斷言顯然正是對于傳統觀念的直接否定，即數學知識不應被看成無可懷疑的絕對真理，數學的發展也并非數學真理在數量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數學從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了。”
事實上，人們曾從各種不同的角度對數學與自然科學的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結構的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經驗性的肯定事實上也可被看成關于數學的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數學哲學家所普遍接受的）的一個直接結論。這就是說，如果數學與其它自然科學一樣，最終都應被看成人類的一種創造性活動，并構成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數學的發展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且，“數學的內涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學的認識論目標所決定的。”
其次，如果說數學的經驗性集中地反映了數學與其它自然科學的同一性，那么，對于數學擬經驗性（quasi-empirical）的強調則就突出地表明了數學的特殊性。
具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應用外，就數學理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經驗的數學觀的核心就在于明確肯定了數學有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數學自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數學工作者真實態度的一個直接反映。例如，美國著名數學家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數學各個領域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結果的理解。”
由此可見，我們就應同時肯定數學的經驗性和擬經驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數學哲學的研究中取得實質性的進展，我們不僅應當保持頭腦的開放性，也即應當努力從科學哲學中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應高度重視數學的特殊性，即在一定程度上保持數學哲學的相對獨立性。
2.對于數學方法論的高度重視
理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學哲學現展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數學哲學領域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰，但是，后者并不意味著現已存在某種為人們所普遍接受的關于數學發展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現還有待于長期的努力。
然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現今人們普遍地更加重視對那些源自科學哲學的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現已認識到，對于數學的社會—文化性質的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數學歷史發展合理性的同時，人們也認識到了這種發展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構的，……即包括有一個社會協商的過程。”從而，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發，格拉斯提出，我們應對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應當用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡。”
值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學哲學現展的一個重要特點，特別是，這即是科學哲學領域中所謂的“新歷史主義學派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發展出關于科學發展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學哲學對于數學哲學現代研究的重要影響。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數學哲學應當關注與那些研究人類知識其它領域（特別是，自然科學）同一類型的問題。例如，哲學家們應當考慮這樣的問題：數學知識是如何增長的？什么是數學進步？是什么使得某一數學觀點（或理論）優于其它的觀點（或理論）？什么是數學解釋？”特別是，“數學在其發展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數學方法論作出恰當的說明就構成了在新方向上工作的數學哲學家的核心問題。顯然，這一立場也是與現代科學哲學中對于科學方法論的高度重視完全一致的。
3.對于數學史的強調
如眾所知，對于科學史的突出強調也是科學哲學現代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學哲學長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學史是與他們的研究毫不相關的；但是，這種形勢現在已經有了改變……科學哲學家們現已認識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學史應有的重視，科學性質的分析就是不可能的。”科學哲學的上述變化對在新方向上工作的數學哲學家也產生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據了十分重要的位置。可以說歷史方法事實上已成為數學哲學現代研究的基本方法之一。
作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。
這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數學方法論的任一理論都應用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數學史家與數學哲學家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數學哲學的重要論題可以由哲學家與歷史學家的有組織對話得到啟示。……我們希望歷史的材料能在數學哲學家那里獲得更為深入和系統的應用；同樣地，我們也希望哲學家由歷史所激發的思考能給歷史學家提供新的問題和思想。”顯然，這種態度與傳統的把數學哲學與數學史絕對地分割開來的作法是截然相反的。
最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數學史之上的數學哲學”。具體地說，相關的數學哲學家在此所希望的就是能發展出關于數學知識的這樣一種理論，它能正確地反映數學的歷史發展，即“現代的數學知識是由初始的狀態經由一系列的合理轉變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數學史對于數學哲學的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數學哲學的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數學史對于數學哲學來說，不僅不是無關的，并事實上占有核心的地位。”
4.實際數學工作者的“活的哲學”
應當指出，對于數學史的高度重視不僅直接涉及到了數學方法論的研究，而且也標志著數學哲學研究立場的重要轉變。在新方向上工作的數學哲學家們幾乎一致地認為，實際的數學活動應當成為數學哲學理論研究的出發點和最終依據。“哲學沒有任何理由可以繼續無視實際的數學活動。事實上，正是這種實踐應當為數學哲學提供問題及其解決所需要的素材。”
當然，上述的轉變直接反映了實際數學工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數學哲學應當建立在對于這一領域（按指數學）中所實際發生的一切的仔細觀察之上。”
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數學方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學家就可以此為依據對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發現這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數學家們則可能會發現以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領域是如何由過去的數學演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數學家關于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發作用。”顯然，這一認識與現代科學哲學中對于方法論的強調是完全一致的。
三、數學哲學的革命
從整體上說，與先前的基礎主義數學哲學相比，新方向上的研究無論就基本的數學觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發生了十分重要的變化。我們就可以說，數學哲學已經歷了一場深刻的革命。
1.研究立場的轉移，即由與實際數學活動的嚴重分離轉移到了與它的密切結合。
由于深深地沉溺于對已有的數學理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學派在基礎研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應當對已有的數學理論和方法進行嚴格的批判或審查，并通過改造或重建以徹底解決數學的可靠性問題。從而，基礎主義的數學哲學主要地就是一種規范性的研究，而也正因為此，基礎研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數學活動的弊病。
與此相對照，在新方向上工作的數學哲學家普遍采取了相反的立場，即是認為數學哲學應當成為實際數學工作者的“活的哲學”，也即應當“真實地反映當我們使用、講授、發現或發明數學時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉移事實上也就意味著數學哲學性質的重要改變：這已不再是實際數學工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。
2.對于數學史的高度重視。
由于邏輯主義等學派所關注的主要是數學的邏輯重建，因此，在這些學派看來，數學的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數學的哲學分析完全不相干的，而數學哲學家所唯一應當重視的則就是邏輯分析的方法。
與基礎主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數學哲學家則普遍地對數學史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數學活動的歷史和社會層面的關注清楚地表明了‘新’的數學哲學與傳統的新弗雷格主義傾向的區別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學科中占據支配的地位。”顯然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現。
更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數學史的數學哲學是空洞的；沒有數學哲學的數學史是盲目的。”（拉卡托斯語）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數學哲學（和數學史）的研究指明了努力的方向。
3.研究問題的轉移。
由于對已有的數學理論和方法可靠性的極大憂慮構成了邏輯主義等學派的基礎研究工作的共同出發點，因此，基礎主義的數學哲學主要地就是圍繞所謂的“數學基礎問題”展開的。這也就是指：如何為數學奠定可靠的基礎，從而徹底地解決數學的可靠性問題？
與此相對照，現代的數學哲學家一般不再關心數學的可靠性問題，而這事實上也就是數學工作者實際態度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數學哲學研究的一個明顯和無可辯駁的出發點，即人們具有一定的數學知識，這些數學知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。
對于力圖為實際數學工作者建立“活的哲學”的數學哲學家來說，數學哲學研究的核心問題無疑就在于：如何對數學（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數學哲學始于這樣的思考，即是如何為數學提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數學本質特性并對人們如何能夠從事數學活動作出解釋的綜合觀點。”顯然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數學哲學的現代研究中占據特別重要的位置。
4.動態的、經驗和擬經驗的數學觀對于靜態的、絕對主義的數學觀的取代。
盡管邏輯主義等學派對什么是數學的最終基礎有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現的又都可以說是一種靜態的、絕對主義的數學觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數學奠定一個“永恒的、可靠的基礎”，這樣，數學的進一步發展也就可以被看成無可懷疑的真理在數量上的單純積累。
如果說靜態的、絕對主義的數學觀在基礎主義的數學哲學中占據了主導的地位，那么，由于把著眼點轉移到了實際的數學活動，人們現已不再把數學的發展看成是無可懷疑的真理在數量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創造性活動，數學發展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態的、經驗和擬經驗的數學觀就已逐漸取代傳統的靜態的和絕對主義的數學觀在這一領域中占據了主導的地位。
綜上可見，相對于基礎主義而言，現代的數學哲學無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發生了質的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數學哲學的現展中已經發生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學哲學的影響有著十分緊密的聯系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數學哲學現展的特殊重要性。
【參考文獻】
1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2
2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312
3.P.Kitcher,"MathematicalNaturalism",inHistoryandPhilsophyofModernMathematics,ed.byW.Aspray&P.Kitcher,UniversityofMinnesotaPress,1988,p.299,315
數學研究論文范文第2篇
例1(湖南湘潭市)如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則下圖中∠AOB=.
解析觀察發現這里正方形內的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數字標出組成正方形和小貓的七巧板之間的對應關系，如圖2所示，∠AOB內部的兩塊是等腰直角三角形，則∠AOB=90°.
例2(湖北荊門市)用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長和寬(x＞y)，則下列關系式中不正確的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析觀察拼圖3可發現:大正方形的邊長是矩形的長和寬之和；小正方形的邊長是矩形的長和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長是4可知其邊長是2,即x-y=2②,因此選項A和B的關系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.
點評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發新枝。事實上學生若能認真觀察圖形的本身特點進而找到相應數量關系，準確解答并不是件難事。
2與多邊形、圓相結合,注重考察學生對幾何性質的綜合運用.
例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是．
解析此題中所求三個正方形的面積S1、S2、S3之間的關系實質是求梯形ABCD的兩個腰長及上底邊邊長
三者的平方關系.可利用梯形的高來建立橋梁
作用.如圖5，分別過點
A、B做AEDC,BFDC,
垂足分別為E、F.設
梯形ABCD的高為h,
AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江蘇南通市)在一次數學探究性學習活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖6所示的方案一，發現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖7所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）
（1）請說明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．
解析(1)因為扇形ABC的弧長＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應為4cm．由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm，由于，所以方案一不可行．
(2)設圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．
點評將正方形與多邊形、圓結合是中考中出現頻率較高的題目。此類題目涉及知識點較多，跨度較大，需要學生具有較為扎實的基本功，具有綜合運用相關數學知識的能力。
3與“動點問題”相結合,注重考察學生對不變因素的探究能力.
例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PFCD于點F。如圖8，當點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．
(1)如圖9，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PEPB且PE交CD于點E.
①求證：DF＝EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；
(2)若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點E。請完成圖10并判斷(1)中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）
解析(1)①如圖11過點P做PHBC,垂足為點H,連接PD.此時四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因為PEDC,可證得DF=FE.
②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因為PF∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長線上取一點E,使得PEPB.此時有結論①DF=EF成立.而結論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關系.證明與②類似,略.
點評動點問題是中考熱點問題之一，它要求學生善于抓住運動變化的規律性和不變因素，把握運動與靜止的辨證關系.例5中,無論動點P在線段AC上如何運動,∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.
4與對稱、旋轉相結合,注重考察學生變換的數學思想.
例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G，.連接GF.下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結論的序號是.
解析由題意可知AED和FED關于ED所在的直線對稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結論是①、④、⑤，其余結論顯然不成立。
例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長線）于點M,N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖14），易證BM+DN=MN．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖16的位置時，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．
解析(1)如圖17，把AND繞點A順時針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.
點評平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙的運用變換的基本性質或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢.
5與函數圖象相結合,注重考察學生的數形結合思想.
例8（湖南長沙市）在平面直角坐標系中，一動點P（x，y）從M（1，0）出發，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運動。圖19是P點運動的路程s（個單位）與運動時間（秒）之間的函數圖象，圖20是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數圖象的一部分.
（1）s與t之間的函數關系式是：；
（2）與圖20相對應的P點的運動路徑是：；P點出發秒首次到達點B；
（3）寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數關系式，并在圖16中補全函數圖象.
解析（1）圖19是正比例函數圖象，易求得s與t之間的函數關系式為：S=(t≥0)
（2）從圖20的函數圖象可以看出，動點P的縱y在運動時隨時間t的增大開始時逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點在正方形的運動路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點從點M運動到點B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達點B需要時間為10秒.
(3)結合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動點P從點M向點D處運動；第1至3秒時，動點P從點D向點A處運動；第3至5秒時，動點P從點A向點B處運動；第5至7秒時，動點P從點B向點C處運動；第7至8秒時，動點P從點C向點M處運動.時間段不同，函數關系不同，因此列分段函數為：當3≤s＜5，y=4－s；當5≤s＜7，y=－1；當7≤s≤8，y=s－8．補全的函數圖象如圖21.
點評函數圖象問題是數形結合的數學思想的重要體現，在中考試卷中也往往作為具有一定區分度的題目出現。例8是一個分段函數問題，其關鍵是依據函數圖象弄清楚點P在正方形ABCD上的哪一段運動,坐標與時間、路程如何變化.
6與實際問題相結合,注重考察學生構建數學模型的能力.
例9（湖北荊門市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？
解析：(1)四邊形EFGH是正方形．圖22可以看作是由四塊圖21所示地磚繞C點按順時針方向旋轉90°后得到的,故CE=CF=CG=CH．因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四邊形EFGH是正方形.
數學研究論文范文第3篇
[論文摘要]:愛因斯坦說過“興趣是最好的老師”。數學概念引入的好壞往往直接影響著學生對整個概念理解的效果，好的引入可以集中學生的注意力，啟發他們的學習動機，使學生聽課能抓住重點，產生強烈的求知欲望。文章主要針對數學概念的引入舉例講授幾種常見的方法并且分析其優點。
數學概念是數學思維的細胞，是形成數學知識體系的基本要素，是數學基礎知識的核心。數學定理、公式和方法都是反映數學對象和數學概念間的關系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎知識。同時，在深入理解數學概念的過程中使得學生的抽象思維得到發展。在教學過程中，學生學習概念有一個準備過程，這個過程就稱為“概念的引入”。
一、從與概念有關的趣事引入
興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養人的意志，改變人的態度，引導學生成為學習的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關本節概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學生注意力，調動其積極思維，使學生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。
舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉。這樣一來，學生注意力一下子被吸引，并且表現出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學生解釋剛才的現象。學生的思維被調動起來。在對學生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導學生結合生活中常見的“點的軌道”現象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質性、現實性，符合認識規律，給學生留下的印象比較深刻持久。
二、問題引入
波利亞說過：問題是數學的心臟。先提出一個典型問題，讓學生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學生對概念的理解更加深入。
舉例說明：按比例分配的概念。在學習按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學，應該如何分配？”“平均分。”“假如把這12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學，又該如何分配呢？”在學生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農業生產、經濟建設等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學生在思考的過程中加深對概念的理解！
三、舊知引入
中國古典小說，在每章節末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------。”短短的幾句話，承先啟后，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。
舉例說明：幾何概念的貫穿。在學習幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結構，且用數量關系、位置關系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認知結構中去。比如還可以在已經學習了“平行四邊形”的概念的基礎上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學生已有的知識經驗，以定義的方式給出，讓學生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。
四、聯系實際引入
新課程標準要求：“數學教育應努力激發學生的學習情感，將數學與學生生活、學習聯系起來，學習有活力的、活生生的數學”。那么，用生活中的實際例子來引入數學概念，聯系生活實際講數學，把生活經驗數學化，把數學問題生活化，更有利于學生掌握和理解概念。
舉例說明：比例的意義與性質。老師說：“同學們，我們已經學習了比，在我們人體上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質。”老師選取一些生動形象的實際例子來引入數學概念，既可以激發學生的學習興趣和學習動機，又符合學生由感性到理性的認識規律。
五、通過類比引入
根據新舊知識的連結點、相似點，采用類比的方法引入概念。數學有著嚴密的科學體系，數學知識的連貫性很強，多數概念都產生于或者發展與相應的原有知識的基礎上，所以用類比引入新概念有利于學生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養學生的探索發現能力。
舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數的等式；不等式：表示兩個數或兩個代數式不相等的算式。（2）類比“分數”和“分式”：分數：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導入自然，使學生能從類推中促進知識的遷移，發現新知識，從而掌握新知識。
參考文獻
[1]吳憲芳.中學數學教學概論[M].湖北教育出版社,2005.
數學研究論文范文第4篇
1.創設情境，培養興趣
以創設情境為主線，根據教材的特點、教學的方法和學生的具體學情，把學生引入一種與問題有關的情境中，讓學生通過觀察，不斷積累豐富的感性認識，讓學生在實踐感受中逐步認知，發展，乃至創造，以提高學生的數學素質。在數學課堂教學中情境教學的運用，可以達到提高學生的數學素質的目的。教育學家烏申斯基說：沒有絲毫興趣的強制學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。興趣是學習的重要動力，也是最好的老師。在實踐中，我經常巧妙地創設情境，引導學生從害怕數學到愛學數學，提高學生學習數學的興趣，取得了事半功倍的效果。如常常用實際問題或設置懸念導入新課來激發學生的求知欲；或者在教學過程中為研究需要而臨時產生一些嘗試性的研究活動，以及在教學過程中，學生提出了意想不到的觀點或方案等。顯然，關鍵在教師要創設好問題情境，必須要從學生的學習興趣出發，
要從知識的形成過程出發，要貼近學生生活，要帶有激勵性和挑戰性。只有這樣，才能引發學生的自主性學習，使學生的認知過程和情感過程統一起來。
2.自主探究，建構新知
“以學生的發展為本”是新課程理念的最高境界，要發展學生智力，培養學生能力，教師在教學過程中，始終把學生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學、教學目標的確定、教學過程的設計、教學方法的選用等等工作，都從學生的實際出發，要在課堂上最大限度地盡量地使學生動口、動手、動腦，極大地調動學生學習的積極性和主動性，養成良好的自學習慣，培養刻苦鉆研精神。促進學生主動參與、主動探索、主動思考、主動實踐。如果創設的情境達到了前面的要求，那么學生會自然地產生一種探究的欲望。教師只要適當地組織引導，把學習的主動權交給學生，讓學生自主地嘗試、操作、觀察、動手、動腦，完成探究活動。因為學生是信息加工的主體，是意義的主動建構者，教師是學生意義建構的幫助者、促進者。
3.合作交流，完善認知
在教學中，通過創設問題情境，合作小組內自主探索、交流、對話，獲得成效。小組之間互相交流、評價，達到教學互動、互促，形成比、學、趕、幫的學習氛圍，從而使學生在合作交流的過程中學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果，體會在解決問題過程中與他人合作的重要性和感受獲得成功的喜悅。組織學生合作交流要注意以下幾點：①合理分組。按學生學習可能性水平與學生品質把學生分成不同層次，實行最優化組合，組建“學習合作小組”；②培養和訓練學生的合作技能。即要提出合作建議讓學生學會合作，小組合作交流要充分體現學生的自主性，而且要求學生按一定的合作程序有效地開展活動；③教師的激勵性的評價是進一步促進合作的催化劑。評價應是更多地重視對小組的評價，注重小組成員的參與度及活動結果中的成果，從而培養學生的合作精神，縮小優差生的距離；④教師要參與學生的小組活動。教師既要巡視并檢查學生對問題的解決情況，又要收集學生的學習信息，以便適時引導、點撥，促進其思維的不斷深化，完善認知。
數學研究論文范文第5篇
關鍵詞：新課改疑慮問題
新一輪基礎教育改革給我們每一位教師帶來了嚴峻的挑戰和不可多得的機遇。本次課程改革，不僅改變了教師的教育觀念，而且還改變了老師們每天都在進行著的習以為常的教學方式、教學行為。因此，對我們每一位教師提出了更高的要求，教師只有在教學中解決了這幾方面的問題，才能更好地開展教學。
一、課堂教學中探究學習實施的疑慮
疑慮一:關于探究中的錯誤
傳統教育是"永遠正確"的教育，是消滅錯誤、鄙視錯誤的教育，這種教育讓學生在錯誤面前得到的是緊張、羞愧，而不是理性的分析與反思。科學的歷程正是在無數的失敗與對成功的批判中發展的。教育背景中學生的失敗是讓他們掌握得到真理方法的重要途徑，美國教育家杜威說過："失敗是有教導性的。真正懂得思考的人，從失敗和成功中學得一樣多。"所以，教師要善待學生在探究中的錯誤，要指導學生去發現錯誤，并以此引導他們掌握驗證的方法與對錯誤的坦誠態度。
疑慮二：關于學生探究前的知識基礎
探究學習不僅需要一定的知識為基礎，而且要求學習者具備應用知識的能力。但是，我們不能因為學生缺乏知識基礎，就放棄探究學習本身，實際上，科學家在進行某項科學探究活動前，也不一定就完全具備了進行探究的知識基礎，他必須在探究中不斷學習，才能彌補知識上的缺陷。所以，在學生進行探究活動前，教師要做充分的準備，特別需要了解：
（1）即將進行的探究學習需要的知識基礎是什么？
（2）目前學生的知識基礎能夠達到什么水平？還缺少哪些？
（3）學生可以通過什么途徑掌握那些知識？
（4）不同基礎的學生可能存在的差異是什么？
疑慮三：關于探究能力
能力的形成需要一個過程，這一點大多數教師都有親身體會，不論是培養學生解數學題的能力，還是解決物理問題的能力，或者是語文教師提高學生寫作的能力，都需要一個較長的過程。探究能力也是如此，應當盡可能早地進行這種能力的培養，最好從幼兒園、小學就開始。可惜的是，過去幼兒園與小學還不夠重視，因此進入初中的學生非常缺乏探究的經驗與能力。這就需要我們教師們花費一定的時間補上這一課。
疑慮四：關于教學進度
要花時間，必然影響教學進度。問題是：大多數學校在安排每學年教學進度時，并沒有考慮這一點。還是按照大綱中的知識要求與課本知識章節排出一學年的教學進度。這種以知識為中心的進度安排，本身就違背了新課程以能力發展為核心的要求。因此，要面對本地本校的實際，實事求是地構建切實可行的課改方案。我認為：每學期開頭的幾周要將進度放慢一點，特別是起始年級，要調查研究這個年級學生探究能力的基本水平，選擇本學習期望達到的能力目標，在開學的三周內，進行必要的探究技能，包括：自學、討論、圖書資料查詢、網絡運用、解釋、實驗等）培訓。后面的教學再進一步強化學科探究的技能，一旦學生能力形成，學習的效率必然會得到提高，教學進度的問題也就好解決了。
疑慮五：關于探究學習的尺度
在探究學習的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學習所需要的豐富資源的。探究學習需要學生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網絡世界。不過，不論學生走到哪里，學校與教師依然要重視資源的開發問題。教師可以篩選確定適合學生水平的資源庫。當然，學生親身經歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，與在圖書館、網絡或資源庫的第二手資料結合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。
疑慮六：關于探究學習的資源開發
在探究學習的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學習所需要的豐富資源的。探究學習需要學生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網絡世界。這就要求學校與教師依然要重視資源的開發問題，精心選擇最有利于學生進行探究學習的教學平臺，教師還可以篩選確定適合學生水平的資源庫。當然，學生親身經歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，要與在圖書館、網絡或資源庫的第二手資料結合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。
疑慮七：關于考試與評價制度改革
考試與評價改革似乎是教師們反對探究學習最有力的理由，但是，高考已經發展到能力為評價核心的階段，注重能力的培養將逐步成為教學的中心任務，考試與評價制度本身將進行改革，學分制等更注重學習過程的發展性評價，將取代過去以考試為主的評價。新的評價機制主要突出兩點：一是強調綜合評價；二是強調過程性評價。用發展的眼光對學生進行評價。在強調綜合性評價，過程性評價的同時，也不要忽視必要的甄別和選拔考試，只是不要把它看成唯一的標準。目前，我國還沒有取消甄別和選拔考試，選拔考試仍然是我國選拔人才有效的辦法之一。
二、課堂教學中教師存在問題
問題一：流于形式。教師已經有意識地把新課程引入課堂，但是，仔細觀察就會發現，在部分教師的課堂上，只是一種形式，缺乏實質性改變。教學只求“表面熱鬧”。有的教師上課表面看起來課堂氣氛異常活躍，盲目追求課堂教學中提問題的數量，一定程度上忽視了學生的參與度不均衡，學生間的合作不夠主動等問題，不能給學生充裕的時間，忽視對學生技能的訓練與培養。其實，“活而不亂”才是新課程背景下課堂教學追求的理想目標。
問題二：過于追求教學的情境化。創設教學情境，不僅可以使學生容易掌握數學知識和技能，而且可以使學生更好地體驗教學內容中的情感，使原來枯燥的、抽象的數學知識變得生動形象、饒有興趣。但部分教師過于注重教學的情境化，為了創設情境可謂是“冥思苦想”，好像數學課脫離了情境，就不是新課程理念下的數學課。事實說明，有些教師辛辛苦苦創設的情境，并沒有起到應有的作用。往往因為被老師創設的情境所吸引，而久久不能進入學習狀態。
問題三：教師在課堂上不敢張口講話。不知從何時起，我們的數學教學很忌諱老師的“講”。不少老師把“少講”或“不講”作為平時教學的一個原則，因為他們知道，講了就會有“灌輸”“填鴨”之嫌。從學習方式看，學生的數學學習可以分為兩種基本形式：一種是有意義的接受學習，一種是有意義的發現學習。無論是有意義的發現學習，還是有意義的接受學習都是數學學習中的重要學習方式。在改革的同時，我們要注意對傳統的繼承和發展。課堂上是不是講，真正的問題在于講什么、怎樣講。一般來說，陳述性的、事實性的知識，可以讓學生運用接受學習的方法進行學習。教師該引導的要引導，該問的要問，該點的要點，該講的要講，要充分發揮教師和學生兩方面的主動性和創造性。
問題四：教學過于追求手段現代化。運用多媒體計算機輔助教學，能較好地處理好大與小，遠與近，動與靜，快與慢，局部與整體的關系，使學生形成鮮明的表象，啟迪學生的思維，擴大信息量，提高教學效率。為此，講課教師不惜花費一周甚至數周的時間精心制作課件。可結果并不理想，有的課件不過是課本搬家，只是起到了替代小黑板的作用；有的教師把界面搞得五彩繽紛，以為這樣可以吸引學生的學習興趣，結果適得其反，學生的注意力被鮮艷的色彩所吸引，忘記了聽老師講課，而忽略了課堂教學中應掌握的知識。計算機輔助教學要用在點子上，要注重實效。使用新技術并不一定代表新的教學思想。屏幕不能代替必要的板書，學具操作不能代替必要的教具演示，教師只有把現代化教學手段與傳統的教學手段（教具、學具、黑板）有機結合起來使用，優勢互補，使教學手段整體優化，才能提高課堂教學效率。
