簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃數(shù)學(xué)教案

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教學(xué)目標(biāo)

鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值．

重點(diǎn)難點(diǎn)

理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)．

如何擾實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)．

教學(xué)步驟

【新課引入】

我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開(kāi)始，教學(xué)又翻開(kāi)了新的一頁(yè)，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用．

【線(xiàn)性規(guī)劃】

先討論下面的問(wèn)題

設(shè)，式中變量x、y滿(mǎn)足下列條件

①

求z的最大值和最小值．

我們先畫(huà)出不等式組①表示的平面區(qū)域，如圖中內(nèi)部且包括邊界．點(diǎn)（0，0）不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)（0，0）在直線(xiàn)上．

作一組和平等的直線(xiàn)

可知，當(dāng)l在的右上方時(shí)，直線(xiàn)l上的點(diǎn)滿(mǎn)足．

即，而且l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線(xiàn)中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，2）的直線(xiàn)l，所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，所對(duì)應(yīng)的t最小，所以

在上述問(wèn)題中，不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱(chēng)線(xiàn)性約束條件．

是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于又是x、y的解析式，所以又叫線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)，上述問(wèn)題就是求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件①下的最大值和最小值問(wèn)題．

線(xiàn)性約束條件除了用一次不等式表示外，有時(shí)也有一次方程表示．

一般地，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解．

【應(yīng)用舉例】

例1解下列線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：求的最大值和最小值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件

解：先作出可行域，見(jiàn)圖中表示的區(qū)域，且求得．

作出直線(xiàn)，再將直線(xiàn)平移，當(dāng)?shù)钠叫芯€(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使達(dá)到最小值，當(dāng)?shù)钠叫芯€(xiàn)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使達(dá)到最大值．

通過(guò)這個(gè)例子講清楚線(xiàn)性規(guī)劃的步驟，即：

第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；

第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；

第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值．

例2解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：求的最大值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件．

解：作出可行域，見(jiàn)圖，五邊形OABCD表示的平面區(qū)域．

作出直線(xiàn)將它平移至點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使達(dá)到最大值，解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，2）．

∴

這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生解出．在此例中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3，6）處取得．事實(shí)上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù)所確定的直線(xiàn)的斜率有關(guān)．就這個(gè)例子而言，當(dāng)?shù)男甭蕿樨?fù)數(shù)時(shí)，即時(shí)，若（直線(xiàn)的斜率）時(shí)，線(xiàn)段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值（如本例）；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如：時(shí)），若，可請(qǐng)同學(xué)思考．

隨堂練習(xí)

1．求的最小值，使式中的滿(mǎn)足約束條件

2．求的最大值，使式中滿(mǎn)足約束條件

答案：1．時(shí)，．

2．時(shí)，．

總結(jié)提煉

1．線(xiàn)性規(guī)劃的概念．

2．線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題解法．

布置作業(yè)

1．求的最大值，使式中的滿(mǎn)足條件

2．求的最小值，使?jié)M足下列條件

答案：1．

2．在可行域內(nèi)整點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使z最小，

探究活動(dòng)

利潤(rùn)的線(xiàn)性規(guī)劃

［問(wèn)題］某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為81元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線(xiàn)方程，從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)？

［分析］首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息：“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元，1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”，在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后，如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo)，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過(guò)特殊點(diǎn)的直線(xiàn)、平行某個(gè)線(xiàn)段的直線(xiàn)、與某些點(diǎn)距離最小的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)等等．

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（0，5），1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元及1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)（1，7）和（2，8），那么

①若將過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元．

②若將過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元．

③若將過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元．

④若將過(guò)及線(xiàn)段的中點(diǎn)的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11．667萬(wàn)元．

⑤若將過(guò)及的重心（注：為3年的年平均利潤(rùn)）的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11．667萬(wàn)元．

⑥若將過(guò)及的重心的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，其方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10．667萬(wàn)元．

⑦若將過(guò)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，則預(yù)測(cè)直線(xiàn)的方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元．

⑧若將過(guò)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，則預(yù)測(cè)直線(xiàn)的方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元.

⑨若將過(guò)點(diǎn)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)，作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，則預(yù)測(cè)直線(xiàn)的方程為；，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元．

⑩若將過(guò)且以線(xiàn)段的斜率與線(xiàn)段的斜率的平均數(shù)為斜率的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)，則預(yù)測(cè)直線(xiàn)的方程為：，這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元．

如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉．

［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？

（2）第⑦種方案中，的現(xiàn)實(shí)意義是什么？

（3）根據(jù)以上的基本解題思路，請(qǐng)你思考新的方案．如方案⑥中，過(guò)的重心，找出以為斜率的直線(xiàn)中與兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線(xiàn)作為預(yù)測(cè)直線(xiàn)．

（4）根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)一下利潤(rùn)的范圍，你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值？你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更為有效？如果不要求用線(xiàn)性預(yù)測(cè)，你能得出什么結(jié)果？