正切和余切數(shù)學(xué)教案
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第一課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解正切、余切的概念,能夠正確地用、表示直角三角形(其中一個(gè)銳角為)中兩邊的比,了解與成倒數(shù)關(guān)系,熟記30°、45°、60°角的各個(gè)三角函數(shù)值,會(huì)計(jì)算含有這三個(gè)非凡銳角的三角函數(shù)值的式子,會(huì)由一個(gè)非凡銳角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角的度數(shù),了解一個(gè)銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關(guān)系。
2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法:運(yùn)用類比法指導(dǎo)學(xué)生探索研究新知。
2.學(xué)生學(xué)法:運(yùn)用類比法主動(dòng)探索研究新知。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1.重點(diǎn):了解正切、余切的概念,熟記非凡角的正切值和余切值。
2.難點(diǎn):了解正切和余切的概念。
3.疑點(diǎn):正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法:通過(guò)類比引出概念和性質(zhì),再通過(guò)大量直接應(yīng)用,鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具預(yù)備
投影機(jī)、投影片(自制)、三角板
五、教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
1.什么是銳角的正弦、余弦?(結(jié)合下圖回答)。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系?
4.當(dāng)角度在0°~90°變化時(shí),銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律?
5.我們已經(jīng)把握一個(gè)銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對(duì)邊(鄰邊)與斜邊的比值,那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢?在銳角三角函數(shù)中,除正、余弦外,還有其他一些三角函數(shù),本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正切和余切。
(二)整體感知
正切、余切的概念,也是本間的重點(diǎn)和關(guān)鍵,是全章知識(shí)的基礎(chǔ),對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)或工作都十分重要,教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切,像這樣,把概論、計(jì)算和應(yīng)用分成兩塊,每塊自與一個(gè)整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容,可以有效地克服難點(diǎn),同時(shí)也使學(xué)生通過(guò)對(duì)比,便于把握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。
(三)教學(xué)過(guò)程
1.引入正切、余切概念
①本節(jié)課我們研究?jī)芍苯沁叺谋戎蹬c銳角的關(guān)系,因此同學(xué)們首先應(yīng)思考:當(dāng)銳角固定時(shí),兩直角邊的比值是否也固定?
因?yàn)閷W(xué)生在研究過(guò)正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過(guò)這類問(wèn)題,所以大部分學(xué)生能口述證實(shí),并進(jìn)一步猜測(cè)“兩直角邊的比值一定是正切和余切”。
②給出正切、余切概念。
如圖,在中,把的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切,記作。
即
并把的鄰邊與對(duì)邊的比叫做的余切,記作,
即
2.與的關(guān)系
請(qǐng)學(xué)生觀察與的表達(dá)式,得結(jié)論(或,)這個(gè)關(guān)系式既重要又易于把握,必須讓學(xué)生深刻理解,并與區(qū)別開(kāi).
3.銳角三角函數(shù)
由上圖,,,,,把銳角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出,使學(xué)生茅塞頓開(kāi),初步理解本節(jié)題目。
問(wèn):銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)?
學(xué)生回答這個(gè)問(wèn)題很輕易。
4.非凡角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請(qǐng)同學(xué)推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下圖)
;
;
;
;
;
.
通過(guò)學(xué)生計(jì)算完成表格的過(guò)程,不僅復(fù)習(xí)鞏固了正切、余切概念,而且使學(xué)生熟記非凡角的正切值與余切值,同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
0°,90°正切值與余切值可引導(dǎo)學(xué)生查“正切和余切表”,學(xué)生完全能獨(dú)立查出。
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系,結(jié)合圖形,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關(guān)系。
結(jié)論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即,.
練習(xí):1)請(qǐng)學(xué)生回答與的值各是多少?與?與呢?學(xué)生口答之后,還可以為程度較高的學(xué)生設(shè)置問(wèn)題:與有何關(guān)系?為什么?與呢?
2)把下列正切或余切改寫(xiě)成余角的余切或正切:
(1);(2);(3);(4);(5);(6)。
6.例題
例1求下列各式的值:
(1);
(2).
解:(1)
;
(2)
=2.
練習(xí)1.求下列各式的值:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
2.填空:
(1)
(2)若,則銳角
(3)若,則銳角
學(xué)生的計(jì)算能力可能不很強(qiáng),尤其是分式,二次根式的運(yùn)算,因此這里應(yīng)查缺補(bǔ)漏,以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力。
(四)總結(jié)擴(kuò)展
請(qǐng)學(xué)生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及與關(guān)系.知道非凡角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
結(jié)合及,可擴(kuò)展為.
六、布置作業(yè)
1.看教材P12~P14,培養(yǎng)學(xué)生看書(shū)習(xí)慣。
2.教材P16中習(xí)題6.2A組2、3、4、5、6.
七、板書(shū)設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.鞏固正、余切概念,學(xué)會(huì)用正、余切來(lái)解決問(wèn)題.
2.通過(guò)例題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;通過(guò)歸納、概括,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法:指導(dǎo)探索研究法。
2.學(xué)生學(xué)法:主動(dòng)探索研究法。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1.重點(diǎn):用正、余切解直角三角形。
2.難點(diǎn):靈活運(yùn)用正切、余切。
3.疑點(diǎn):學(xué)生可能對(duì)正切、余切概念把握不牢,導(dǎo)致出現(xiàn)之類的錯(cuò)誤,教學(xué)中應(yīng)引起重視,使學(xué)生熟能生巧。
4.解決辦法:通過(guò)教師精心引導(dǎo),學(xué)生積極思維,主動(dòng)研究發(fā)現(xiàn),及練習(xí)鞏固解決重難點(diǎn)及疑點(diǎn)。
四、教具預(yù)備
投影機(jī)(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板
五、教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
結(jié)合圖,說(shuō)出什么是的正切、余切?
請(qǐng)班級(jí)里較差學(xué)生回答,以檢測(cè)其把握情況.
2.與具有什么關(guān)系?
答:(或或).
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?
答:,
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?
答:,
4.在0°~90°間,正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么?
通過(guò)以上四個(gè)問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)新學(xué)的知識(shí)有了系統(tǒng)的熟悉,便于應(yīng)用.
對(duì)概念的鞏固最好的途徑是配備練習(xí)題.因此,教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)概念后,應(yīng)出示練習(xí)題(投影片).
1.在中,為直角,、、所對(duì)的邊分別為。
①若,,則,,,
②若,則
2.比較大小:
①②
③④
3.計(jì)算題:
①;
②.
(二)整體感知
本課安排在本小節(jié)末,運(yùn)用本小節(jié)的知識(shí)去解決一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題,再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好預(yù)備.當(dāng)然,這個(gè)問(wèn)題只用上一小節(jié)學(xué)過(guò)的正弦、余弦也可以解決,不過(guò)那樣做,就要先求出斜邊,解的過(guò)程要繁瑣一些。
(三)教學(xué)過(guò)程
1.講授新課
例在中,為直角,所對(duì)的邊分別是,已知,,求(保留兩位有效數(shù)字).
這個(gè)題是本大節(jié)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查知識(shí)點(diǎn)面面俱到,是檢查全體學(xué)生是否全面達(dá)到教學(xué)目標(biāo)要求有效途徑,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全體參與,積極地探求各種解法,然后加以比較,優(yōu)選出最佳方法,以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈敏性、深刻性,形成良好的思維品質(zhì)。
分析:本題已知和,求,觀察圖不難發(fā)現(xiàn),邊恰好是的對(duì)邊與鄰邦邊,因此求可選用以下兩個(gè)關(guān)系式:(1),(2).
請(qǐng)學(xué)生比較一下,哪一個(gè)關(guān)系計(jì)算更簡(jiǎn)便呢?答:若選用,由此得,用除以含四位有效數(shù)字的數(shù),計(jì)算比較麻煩;而選用,由此得.用乘以含四位有效數(shù)字的數(shù),計(jì)算相對(duì)方便.
解:,
∴
解完例題之后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生小結(jié):本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”,其中“條件”是與互為倒數(shù).認(rèn)真分析和利用這種轉(zhuǎn)化,有時(shí)可使計(jì)算簡(jiǎn)便.
2.鞏固練習(xí)
本節(jié)課實(shí)際上是對(duì)前面課的綜合,通過(guò)對(duì)前面知識(shí)的綜合運(yùn)用,以培養(yǎng)學(xué)生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應(yīng)安排練習(xí)題如下:
在中,為直角,、、所對(duì)的邊分別為.
(1)已知,,求和.
(2)已知,,求和.
(3)已知,,求.
(4)已知,,求.
(5)已知,,求.
(6)已知,,求和(保留兩位有效數(shù)字).
教法說(shuō)明:給學(xué)生足夠的時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生討論、研究,篩選出最佳關(guān)系式使計(jì)算簡(jiǎn)便,既培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力,鞏固所學(xué)知識(shí),又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
[參考答案](1),;(2),;(3);(4);(5);(6),.
3.對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,可引導(dǎo)其讀教材P15想一想.使學(xué)生對(duì)正弦、余弦間的關(guān)系,正切、余切間的關(guān)系以及弦、切間的關(guān)系有所了解,保證知識(shí)的完整性,為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教師板書(shū)
.
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):1.要認(rèn)真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關(guān)系.2.因?yàn)橥粋€(gè)角的正切和余切可以互相轉(zhuǎn)化,所以在選用關(guān)系時(shí)晝選擇乘法使計(jì)算較簡(jiǎn)便.
六、布置作業(yè)
1.看教材P1~P17,培養(yǎng)學(xué)生看書(shū)習(xí)慣。
2.教材P17習(xí)題A組7、8,學(xué)有余力的學(xué)生可選做B組題。
七、板書(shū)設(shè)計(jì)
