數(shù)學(xué)證明教育價值

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目前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注《國家數(shù)學(xué)課程標準(初稿)－－目標體系》的研討，其中一個熱門的話題是如何處理中學(xué)幾何課程的改革。爭論焦點之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價值。為此，筆者認為首先應(yīng)該探討一下數(shù)學(xué)證明的教育價值。

一、問題的提出

從一組原始概念和命題(即公理)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理得到一系列的定理和證明，這就是幾千年來數(shù)學(xué)學(xué)科所遵循的研究模式。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是電子計算機的出現(xiàn)，人們對上述研究模式產(chǎn)生了懷疑。其中最典型的一個例子就是所謂“四色問題”的證明。下面詳細談一下由“四色問題”所引起的爭論。

1852年，英國數(shù)學(xué)家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說：“看來每幅地圖若用不同顏色標出鄰國，只要用四種顏色就夠了。”這就是“四色問題”的由來。一百多年來數(shù)學(xué)家們不斷努力企圖用數(shù)學(xué)方法來證明這個結(jié)論。直至1970年左右，問題歸結(jié)為計算幾千個不可約構(gòu)形的問題〔1〕，但其計算量之大是難以想像的，因此人們望而生畏。1976年美國兩位計算機專家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計算方法。他們用了三臺IBM計算機經(jīng)過1000多個小時(約52天)的運算，“證明”了格思里提出的結(jié)論是正確的。因此，“四色問題”得到了“證明”。

阿佩爾和哈肯的“證明”引起了人們的爭論。首先，他們的“證明”，其計算機程序就達400多頁，要用人工去檢驗其程序有無問題是十分吃力的。因此，似乎無人愿意再去重復(fù)阿－哈的“證明”。其次，能否保證計算機在計算過程中絕對不出錯誤？第三，人們無法確定計算出現(xiàn)錯誤是計算機本身的機械或電子方面的毛病，還是“證明”過程本身邏輯有問題。

于是就引起了什么是“數(shù)學(xué)證明”的爭論。

有些數(shù)學(xué)家認為數(shù)學(xué)證明只能是以人工可重復(fù)檢驗的邏輯演繹(計算也是一種演繹)過程，否則只能稱為計算機證明，二者不能混為一談。因此，按這種觀點，“四色問題”只能稱已得到了計算機證明，而不能稱已得到了數(shù)學(xué)證明。

但是，另一些數(shù)學(xué)家反駁說，用人工來檢驗也可能產(chǎn)生錯誤。例如，數(shù)學(xué)史上曾有不少數(shù)學(xué)家(如意大利的Saccheri，法國的Legendre)聲稱他們已“證明”了歐幾里得第五公設(shè)(即歐氏平行公理)。但后來發(fā)現(xiàn)他們的“證明”均有問題，其主要錯誤在于他們利用了與第五公設(shè)等價的命題，因此從邏輯上說他們都犯了循環(huán)論證的錯誤。

另外人工邏輯演繹證明可以重復(fù)嗎?

眾所周知，群論中有一個著名的所謂有限單群的分類定理，單群的概念是由Galois(伽羅華)在1830年最初給出的。一百多年來數(shù)學(xué)家企圖對單群進行分類。直至20世紀80年代，由100多位數(shù)學(xué)家組成的非正規(guī)“隊伍”，他們共同努力列出所有的單群并證明這樣的列舉是完全的。在花費了成千上萬個小時以及發(fā)表了幾百篇論文之后，這項工作才得以完成，證明長達15000多頁!〔2〕試問誰還愿意(或說可能)去重復(fù)他們長達15000多頁的證明?(恐怕連讀一遍都不愿意。)

于是問題就不集中在“證明”是否可檢驗的問題上了，而在于人們?nèi)绾蝸砝斫狻白C明”的真正含義。數(shù)學(xué)證明的功能到底是什么?

二、數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)證明的看法

國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)在《計算機對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的影響》報告中指出：“借助于計算機的證明不應(yīng)該比人工證明加以更多的懷疑……，我們不能認為計算機將增加錯誤證明的數(shù)目，恰恰相反對計算機證明的批評，例如四色問題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力。……計算機證明會給人們帶來一些新啟示，會激勵人們?nèi)ふ腋玫摹⒏痰摹⒏挥姓f服力的證明，會鼓勵數(shù)學(xué)家去更準確地把握形式化的想法。”

英國數(shù)學(xué)家Atiyah(阿蒂亞)在評論“四色問題”的證明時說：“這證明是一大成功，但在美學(xué)觀點上看極令人失望。完全不靠心智創(chuàng)造，全靠機械的蠻力。科學(xué)活動的目的是理解客觀世界并進而駕馭客觀世界，然而我們能說‘理解’了四色問題的證明了嗎?”“數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，一種使人擺脫蠻力計算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游。”〔3〕

Bourbaki(布爾巴基)在《數(shù)學(xué)的建筑》一書中說：“單是驗證了一個數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，都沒有試圖洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后的意念，并不算理解了那個數(shù)學(xué)證明。”“電子計算機證明不滿意者并非它沒有核實命題，難道用人工花幾個月檢驗幾百頁證明便更可靠了嗎?而是它沒有使我們通過證明獲得理解。”

C.Hanna說：“證明是一種透明的辯論，其中用到的論據(jù)、推理過程……都清楚地展示給讀者，任由人們公開批評，不必向權(quán)威低頭。”

J.Horgen在《科學(xué)的美國》雜志上發(fā)表一篇題為《證明的死亡》中指出：“用計算機作實驗，來證明建立定理，如四色問題，任何人不能執(zhí)行如此長的計算，也不能指望用其他辦法驗證它。……因此這就突破了傳統(tǒng)證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段。”

R.Wilder(懷特)說：“我們不要忘記，所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時代也有不同的含義。”“很明顯，我們不會擁有而且極可能永遠不會有一個這樣的證明標準獨立于時代，獨立于所要證明的東西，并且獨立于使用它的個人或某個思想學(xué)派。”

更有甚者，英國數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy)說：“嚴格說起來根本沒有所謂數(shù)學(xué)證明……，歸根到底我們只是指出一些要點，……李特伍德(是和哈代長期合作的一位數(shù)學(xué)家棗筆者注)和我都把證明稱之為廢話，它是為打動某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時來演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想像力的工具。”〔4〕

從以上一些數(shù)學(xué)家對“證明”的看法，我們可以得出這樣的結(jié)論：證明的真正含義并不在于檢驗核實命題，而在于理解命題，啟迪思維，交流思想，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。

很明顯，如果你能給出某一命題的一個證明，那么你可以說你理解了(或說你懂了)這個命題。如果你能用這個命題的證法去解決另一個問題，例如，學(xué)生用一個定理的證法去做一道習(xí)題，那么，你在解決這個問題的思維過程中必然是受到原來命題證法的啟發(fā)。為了你和其他人交流對某一命題的理解，最好的辦法就是你們共同商討對此命題的證明。下面我們再來較詳細地討論一下證明能夠?qū)е掳l(fā)現(xiàn)的功能。

前面已經(jīng)說過，意大利數(shù)學(xué)家Saccheri和法國數(shù)學(xué)家Legendre對第五公設(shè)的“證明”，顯然他們都沒能證明歐氏平行公理，但是通過他們的證明使后來的數(shù)學(xué)家對歐氏平行公理有了更為深刻、更為清楚的理解，并最后導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。因此，Saccheri和Legendre等人被公認為發(fā)現(xiàn)非歐幾何的先驅(qū)者。事實上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已經(jīng)打開了一條通向非歐幾何的大門。因為他們從第五公設(shè)不成立這一假定下推出的許多事實，恰恰就是非歐幾何中的定理。

計算機證明同樣有導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的功能，其中一個較為典型的例子是分形幾何的創(chuàng)立。早在20世紀20年代，法國數(shù)學(xué)家Julia就開始著手研究分形幾何，但是由于這種幾何圖形的驚人復(fù)雜性，Julia的研究沉寂了幾十年。直到60年代以后，美國數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot(曼德勃羅)開始用計算機來畫圖，才使分形幾何得到了真正的發(fā)展。因此人們普遍認為分形幾何是由曼德勃羅創(chuàng)始的。〔5〕

由于計算機的介入，新一代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始在計算機上實驗自己的各種思想。甚至他們宣布自己是實驗數(shù)學(xué)家，著手建立數(shù)學(xué)實驗室，創(chuàng)辦《實驗數(shù)學(xué)》雜志。同時他們對數(shù)學(xué)提出了一些新的看法：

1.對數(shù)學(xué)追求的是理解，而不是證明；

2.重視發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思想的充分自由與發(fā)揮人的創(chuàng)造能力；

3.追求對解決問題的數(shù)學(xué)精神，利用數(shù)學(xué)更好地解決、處理復(fù)雜的自然現(xiàn)象。

三、數(shù)學(xué)證明教學(xué)價值的新理解

如前所述數(shù)學(xué)證明的真諦不在于能證明命題的真假，而在于它能啟發(fā)人們對命題有更深刻的理解，并能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，因此這就突破了傳統(tǒng)教學(xué)中對數(shù)學(xué)證明的觀念。特別是由于計算機介入了證明之中，用機器證明產(chǎn)生定理(如四色問題等)，所以人們不再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段，于是提出“實驗證明”的想法，即實驗也應(yīng)該成為判斷數(shù)學(xué)命題真假的一種手段。人們不再一味地追求證明所得出的結(jié)論，而在于通過證明的過程去追求對數(shù)學(xué)知識的真正理解。

另外，從認知理論的觀點來看，數(shù)學(xué)知識不能簡單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過學(xué)生自己認知結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ソ?gòu)學(xué)生自己對數(shù)學(xué)的理解。因此，在數(shù)學(xué)中如果只重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明將無助于學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識，無助于學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)。命題教學(xué)的目的不應(yīng)是去核實命題的正確性，而是要讓學(xué)生通過證明去理解命題，并能重新構(gòu)建學(xué)生自己的新認知結(jié)構(gòu)。 “公務(wù)員之家”版權(quán)所有

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綜合以上觀點，我們認為數(shù)學(xué)證明的教育價值在于：

1.通過證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識；

2.通過證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維)以及數(shù)學(xué)交流能力；

3.通過證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識系統(tǒng)化；

4.通過證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識。

根據(jù)以上觀點，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視非邏輯證明的教學(xué)；適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時間，加強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用。這里需要注意的是要合理選擇學(xué)生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法，強調(diào)一種、排斥另一種證明方法都會妨礙學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識與理解。

注：〔1〕K.Devlin著、李文林等譯：《數(shù)學(xué)：新的黃金時代》，上海教育出版社版。

〔2〕申大維等譯：《數(shù)學(xué)的原理與實踐》，高等教育出版社1998版。

〔3〕M.阿蒂亞著：《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》，江蘇教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一個數(shù)學(xué)家的辯白》，江蘇教育出版社版。

〔5〕王健吾著：《數(shù)學(xué)思維方法引論》，安徽教育出版社版。