農(nóng)村教師建模指導(dǎo)七步驟

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《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用。”從此，“建模”一詞開始進(jìn)入了教師們的視野。《山東教育》雜志也從2010年第10期開始“熱議”推廣。如今，課標(biāo)已頒布了十個(gè)春秋，《山東教育》雜志也已經(jīng)連續(xù)十幾期連篇累牘地推廣有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，可仍有不少身處教學(xué)一線的農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師由于各種原因，對(duì)“建模”知之不多，用之更少。筆者對(duì)“建模”的關(guān)注也是從今年三月才開始的，略有嘗試、小有思考，想借此機(jī)會(huì)與各位同仁一同交流，以求共同提高。筆者認(rèn)為，作為農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要唱好建模指導(dǎo)的“七步曲”。

第一步：樹立正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。20世紀(jì)中葉以來，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展。數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。然而直至現(xiàn)在，我們有不少數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，目光僅局限在“知識(shí)與技能”維度上，為教數(shù)學(xué)知識(shí)而設(shè)計(jì)教學(xué)，“鋪墊—新授—練習(xí)”，亦步亦趨、周而復(fù)始，看似步步為營，實(shí)則因循守舊。學(xué)生的考試成績表面看“絢麗驕人”，細(xì)考察卻發(fā)現(xiàn)由于缺少生活的原型積累作為支撐資源，缺少探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、尋求數(shù)學(xué)方法、體會(huì)數(shù)學(xué)的思想等體驗(yàn)，成了“新時(shí)代”的“舊學(xué)生”。課堂與生活的聯(lián)系是淺表的，缺少對(duì)共性分析、提煉及優(yōu)化的過程，不能形成具有穩(wěn)定性的一般算法模型。探究、合作拘泥于形式，很少將之與建模聯(lián)系起來，練習(xí)也很必然地演變成了機(jī)械重復(fù)。為此，我們必須樹立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀點(diǎn)，以建模為抓手，重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法與能力的培養(yǎng)。

第二步：洞悉教材，確定課堂教學(xué)“建模”預(yù)設(shè)與規(guī)劃

當(dāng)我們站在時(shí)代的前沿，重新審視教材后，我們要以“建模”為學(xué)生數(shù)學(xué)能力、思想的出發(fā)點(diǎn)和最終歸宿。了解“建模”、學(xué)習(xí)“建模”、嘗試“建模”、運(yùn)用“建模”，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。

1.明確“建模”的內(nèi)涵當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

2.認(rèn)清“建模”的實(shí)質(zhì)從上面的表述中不難發(fā)現(xiàn)：“數(shù)學(xué)模型”是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的原型，為了某一個(gè)特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。“建模”不但包含數(shù)學(xué)模型的建立，更是對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解和驗(yàn)證，并用該模型所提供的解答來解釋實(shí)際問題。從數(shù)學(xué)角度講，數(shù)學(xué)建模是舍去無關(guān)緊要的東西，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

3.了解“建模”的流程數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的一般流程為：模型準(zhǔn)備—模型假設(shè)—模型建立—模型求解—模型分析—模型矯正—模型應(yīng)用4.重新解讀教材文本《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)以“問題情景→建立模型→解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式，并已經(jīng)在教材中體現(xiàn)出按這一模式編寫內(nèi)容。這需要教師去審視其內(nèi)在規(guī)律、發(fā)現(xiàn)建模結(jié)合點(diǎn)、結(jié)合學(xué)生實(shí)際培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想與習(xí)慣，從而進(jìn)行“建模”預(yù)設(shè)與整體規(guī)劃。

第三步：創(chuàng)設(shè)情境，找到最佳結(jié)合點(diǎn)，組織有效探索

1.尋找情趣結(jié)合點(diǎn)教師必須遴選、提供出學(xué)生感興趣、真實(shí)可信的充足感性材料作為實(shí)際原形，讓學(xué)生了解、明確原型的特征。只有做到這一點(diǎn)，才能使學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行簡化。由于小學(xué)生的生活經(jīng)歷有限，以學(xué)習(xí)間接知識(shí)為主，有時(shí)我們只能用文字或語言來表達(dá)實(shí)際問題的背景，這就要求我們?cè)谟梦淖直磉_(dá)或語言表達(dá)實(shí)際問題的背景時(shí)，要克服對(duì)實(shí)際問題的情境描述簡單化、成人化和數(shù)學(xué)材料來源的單一化，要考慮學(xué)生是否熟悉，是否感興趣。

2.發(fā)現(xiàn)學(xué)生的能力優(yōu)勢(shì)點(diǎn)雖然學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)是有限的，但他們的想象力是無限的。兒童有無限的創(chuàng)造力，他們敢想、敢說、敢做，這對(duì)簡化實(shí)際問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是十分有利的。所以，我們要尊重、保護(hù)、引導(dǎo)、利用好學(xué)生的這一優(yōu)勢(shì)，抓住他們的閃光點(diǎn)加以表揚(yáng)、鼓勵(lì)，并通過適度的引導(dǎo)和點(diǎn)撥使學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的簡化更加恰當(dāng)。

3.豐富模型的生成點(diǎn)

（1）經(jīng)歷體驗(yàn)

行為體驗(yàn)和內(nèi)心體驗(yàn)?zāi)芙o予學(xué)生最為直觀、真切的自主建構(gòu)知識(shí)和情感時(shí)空。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里有許多需要學(xué)生體驗(yàn)的內(nèi)容。比如，結(jié)合學(xué)生生活中稱體重、量身高的行為經(jīng)歷認(rèn)識(shí)“厘米”、千克”；結(jié)合家庭蓋新房子所購買的單袋水泥（50千克）重量和所用水泥總重量（一般平房用8噸左右）事例，來建立進(jìn)位模型和“噸”的初步概念；以蓋房子時(shí)磚堆的碼放結(jié)構(gòu)來建立立體模型等等。

（2）驗(yàn)證猜測(cè)

猜測(cè)是人們以已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，通過對(duì)問題的分析、歸納，或?qū)⑵渑c有類似關(guān)系的特例進(jìn)行比較、分析，通過判斷、推理對(duì)問題結(jié)果作出的估測(cè)。教學(xué)中的猜測(cè)是一種再創(chuàng)造過程，先對(duì)數(shù)學(xué)的結(jié)論進(jìn)行猜測(cè)，再經(jīng)自主驗(yàn)證，證明所猜測(cè)是否正確，從而得出數(shù)學(xué)結(jié)論，新的數(shù)學(xué)模型隨即建立起來。比如在教學(xué)“三角形內(nèi)角和是180度”時(shí)，我出示了多個(gè)大小、形狀不同的三角形讓學(xué)生猜測(cè)它們的內(nèi)角和各是多少度。學(xué)生被它們之間的差異迷惑，所以給出了不同的答案。我引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，用多種方式來驗(yàn)證自己的猜測(cè)是否正確。有的學(xué)生將三角形的三個(gè)角全部撕下來，把三個(gè)角拼在一起組成一個(gè)平角，由于一個(gè)平角是180度，“三角形的內(nèi)角是180度”的猜想結(jié)果得到驗(yàn)證；有的學(xué)生用量角器分別量出每個(gè)角的度數(shù)，把三個(gè)角的度數(shù)相加，并通過反復(fù)測(cè)量、計(jì)算，最終得出了“三角形的內(nèi)角和是180度”這一共同結(jié)論，初步建立起了模型。

（3）觀察發(fā)現(xiàn)

教師要善于引領(lǐng)學(xué)生從已知信息中觀察思考、發(fā)現(xiàn)交流、歸納概括規(guī)律，從而形成數(shù)學(xué)模型。比如在教學(xué)“加法的交換律”時(shí)，我出示了25+26和26+25兩個(gè)算式，要求分別求出和。這時(shí)，我讓學(xué)生觀察25+26=51與26+25=51兩個(gè)算式的不同和相同之處，并說說自己的發(fā)現(xiàn)。接著，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納出25+26=26+25，得出“兩個(gè)加數(shù)變換位置和不變”這一規(guī)律。到此，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)初步建立。然后，我讓學(xué)生自己舉出類似的算式，進(jìn)一步歸納出用字母替代的“a+b=b+a”這一最終模型。

（4）嘗試內(nèi)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可根據(jù)教材特點(diǎn)和學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)其嘗試、探究解決新的數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行交流，達(dá)成共識(shí)，歸納出新知識(shí)的數(shù)學(xué)模型。比如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，鼓勵(lì)根據(jù)比、分?jǐn)?shù)、除法的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自己寫一組商不變的除法算式，然后把除法算式改寫成分?jǐn)?shù)形式，再改寫成比的形式，較為順暢地形成了“比”的數(shù)學(xué)模型。

第四步：提供方法，指導(dǎo)自主探索

教師要重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主發(fā)現(xiàn)，同時(shí)也要提供必要的方法指導(dǎo)。如操作活動(dòng)表格的設(shè)計(jì)、分類的引導(dǎo)、合作中的分工、實(shí)物的符號(hào)替代等。教師要有必要的數(shù)學(xué)方法儲(chǔ)備，并依據(jù)具體內(nèi)容、學(xué)生實(shí)際、當(dāng)時(shí)情景給予恰當(dāng)?shù)姆椒ㄖ笇?dǎo)，切不可把“自主”等同于“放任自流”。

第五步：啟發(fā)對(duì)比探究，尋找內(nèi)在規(guī)律

顧汝佐先生說：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是掌握前人創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，而這種經(jīng)驗(yàn)需要教師設(shè)計(jì)出一定的客觀形式，通過相應(yīng)的信號(hào)，信息載體，讓學(xué)生自己去觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)、實(shí)施，在頭腦中構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)。”這實(shí)際上就是告訴我們，數(shù)學(xué)應(yīng)根據(jù)需要為學(xué)生模擬探究情境和過程，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)新知，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。比如在教學(xué)“平行四邊形的面積計(jì)算”時(shí)，在學(xué)生猜測(cè)平行四邊形的面積與什么有關(guān)系后，組織學(xué)生驗(yàn)證自己的猜測(cè)是否合理、正確。教學(xué)時(shí)可發(fā)給學(xué)生一張方格紙，紙上有4個(gè)平行四邊形，和4個(gè)與之等底等高的長方形。之后，放手讓學(xué)生自己去剪切、拼接、測(cè)量、交流、計(jì)算，學(xué)生在不斷嘗試驗(yàn)證猜測(cè)的過程中，加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)探究能力。

第六步：變換具體情境，拓展模型的外延

每個(gè)數(shù)學(xué)模型都應(yīng)有其本身的廣泛應(yīng)用價(jià)值，如果一個(gè)數(shù)學(xué)模型只能解決當(dāng)前的一個(gè)實(shí)際問題，那就失去了廣泛應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)建模也就毫無意義可言。人的認(rèn)識(shí)過程是“感性—理性—感性”的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升過程，從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉，形成數(shù)學(xué)模型不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終結(jié)，更重要的是組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以驗(yàn)證、擴(kuò)充和提升，并為生產(chǎn)生活實(shí)際服務(wù)。

第七步：開發(fā)課程資源，形成數(shù)學(xué)思想

教師要鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，并借助研究性學(xué)習(xí)為方式平臺(tái)，積極發(fā)掘當(dāng)今生活中的數(shù)學(xué)資源。在用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題的同時(shí)，拓展數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，促進(jìn)學(xué)生探索意識(shí)、發(fā)現(xiàn)問題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)的形成。