數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

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【摘要】本文針對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)問題，應(yīng)用幾何思想，通過(guò)建立桌面半徑和長(zhǎng)度、鋼筋位置相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，描述了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。同時(shí)，對(duì)折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)等進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。最后通過(guò)Lingo和Matlab軟件編程給出了最優(yōu)加工參數(shù)。

【關(guān)鍵詞】折疊桌;非線性規(guī)劃模型;幾何思想;Lingo和Matlab軟件

隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步，城市化進(jìn)程的加快，高樓大廈密集，城市道路四通八達(dá)，但是與此同時(shí)，用地緊張、生存空間擁擠等問題也接踵而來(lái)，各行各業(yè)都開始廣泛關(guān)注空間的有效利用，盡可能地節(jié)省空間?？臻g對(duì)于人們的生活環(huán)境在功能性和實(shí)用性上有著舉足輕重的作用，它是蘊(yùn)含豐富、用之不竭的寶貴資源。當(dāng)然，隨著社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步，能夠有效節(jié)省空間的“創(chuàng)意平板折疊桌”應(yīng)運(yùn)而生，它不僅可以滿足人們對(duì)空間的需求，而且能夠有效節(jié)省空間。一塊木板變成一張桌子，通過(guò)對(duì)折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的分析與研究(如圖1所示)，我們需要解決以下三個(gè)問題:問題1:建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。問題2:對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù):平板尺寸、鋼筋位置、開槽長(zhǎng)度等。問題3:根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

1模型準(zhǔn)備

1．1問題分析

通過(guò)觀察折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)折疊桌的變化是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，由平板到立體折疊桌的過(guò)程中主要與折疊桌的條數(shù)、木條的長(zhǎng)度、桌面距離地面的高度、各木條折疊的角度、開槽長(zhǎng)度、各木條折疊角度變化的范圍、鋼筋位置等有關(guān)。同時(shí)，又要考慮到加工過(guò)程所造成的誤差，模型建立過(guò)程理想化部分對(duì)折疊過(guò)程中的影響，以及折疊桌輕巧方便、美觀大方、加工方便、用材最少、穩(wěn)固性好、功能性強(qiáng)的特點(diǎn)。分析折疊桌結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn):在折疊桌打開的過(guò)程中，隨著最外側(cè)的桌腿與地面夾角的不斷變化，每根桌腿與地面之間的角度也都發(fā)生了改變，通過(guò)它們之間的變化關(guān)系，可以寫出相關(guān)方程式并建立非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型對(duì)折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程加以描述。對(duì)于任意已給折疊桌高度和圓形桌面直徑，要求折疊桌的設(shè)計(jì)做到用材最少，這是可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行量化，也是要求最高的因素，因此可主要圍繞用材最少這個(gè)要求，建立約束條件下的非線性規(guī)劃模型。通過(guò)分析影響因素，尋找目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可得到折疊桌設(shè)計(jì)的最優(yōu)加工參數(shù)。

1．2符號(hào)說(shuō)明

根據(jù)對(duì)問題的分析，可以將不同參數(shù)用不同的字母符號(hào)代替:L:木板的長(zhǎng)度;G:木板的寬度;li:每根木條的長(zhǎng)度;k:木條的厚度;gi:每根木條的寬度;z:相鄰兩根木條之間的間隔距離;d:圓桌的直徑;r:圓桌的半徑;Qi:圓形內(nèi)的弦長(zhǎng);a:木條與圓桌之間所留活動(dòng)間隔的長(zhǎng)度;i:木條與以圓桌表面為水平面的夾角;Yi:第一塊木條與第i塊木條之間的角度之差;y:圓桌面弧長(zhǎng)的一半;e:鋼條到圓桌中心的距離;Ci:開槽長(zhǎng)度;Pi:鋼條到對(duì)應(yīng)圓弧區(qū)域切線的距離;f:槽的最低端到圓上的最短距離;h:圓桌到地面的距離;o:木條與圓桌之間的間隔。

1．3模型假設(shè)

假設(shè)平板活動(dòng)的過(guò)程中木條之間的摩擦忽略不計(jì);假設(shè)切割木條時(shí)縫隙的寬度忽略不計(jì);假設(shè)在折疊過(guò)程中，鋼筋不會(huì)發(fā)生彎曲;假設(shè)圓桌直徑等于給定的長(zhǎng)方形平板的寬度。

2模型建立與求解

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，折疊桌的長(zhǎng)度是兩根相同木條的和加上木條與圓桌之間的間隔長(zhǎng)度，再加上圓桌面弧長(zhǎng)的2倍。折疊桌的寬度就是圓形桌的直徑，同時(shí)也等于每根木條的寬度之和加上所有相鄰兩根木條間隔距離之和:G=2r，n=2a。同時(shí)，折疊桌的寬度等于每根木條的寬度之和加上所有木條間隔距離之和G=ngi+(n－1)z。木板的長(zhǎng)度是木板兩邊木條的長(zhǎng)度和再加上兩邊木條與圓桌之間的間隔之和以及對(duì)應(yīng)圓桌的弧長(zhǎng)之和:L=2li+2o+2yi。圓桌的高度:由幾何關(guān)系得到h=lisini。最短木條的最大變化角度，通過(guò)該結(jié)果可以判斷左右兩端木條的變化范圍，我們想要得到木條的變化范圍完全可以通過(guò)計(jì)算木條的角度變化范圍判斷。在此，我們通過(guò)計(jì)算最短木條的角度變化范圍mmax=π－arccosrlm，m≤mmax此外，若想求得參數(shù)還需要有一些輔助條件:首先，求得和圓桌面相關(guān)的條件:yi=r2－(i•gi+(i－1)•2－r)槡2，該結(jié)果是求解木板長(zhǎng)度不可缺少的條件。鋼條到圓桌中心的距離:e=fi+yi，根據(jù)該結(jié)果確定鋼條的活動(dòng)范圍。槽的最低端到圓上的最短距離:fi=kli，fi=f1sin1sini，fi=Ci+pi，e=pi+yi，Yi=yi－y，12L≥fm+ym，0．1≤z≤0．3，0≤i≤5π12，結(jié)果為開槽長(zhǎng)度的變化范圍。假設(shè)客戶要求制定一個(gè)高為50厘米，圓桌直徑為50厘米的桌子，我們用Lingo軟件和Matlab軟件求解，得出最優(yōu)加工參數(shù)如下(實(shí)物模型參看圖2):本文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型并利用計(jì)算機(jī)軟件編程等知識(shí)來(lái)確定其所需材料的尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長(zhǎng)度等加工參數(shù)，使制成的折疊桌不但可以展開成桌子，而且還可以折疊成平板以節(jié)省空間，既輕巧方便，又美觀大方，同時(shí)還具有加工方便、用材最少、穩(wěn)固性好、功能性強(qiáng)等特點(diǎn)。同時(shí)，本文對(duì)針折疊桌的設(shè)計(jì)所建立的模型能夠可以推廣到其它零件的設(shè)計(jì)，應(yīng)用甚廣。

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作者:趙戰(zhàn)興 白林子 黎露 單位:重慶工程學(xué)院