垂直與平行
前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇垂直與平行范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。
垂直與平行范文第1篇
教學目標
1.認識同一個平面內兩條直線的兩種特殊位置關系，初步認識垂線和平行線
2.通過學生自主探究、合作交流，感知平行與垂直的特點，培養學生的空間觀念和空間想象能力，以及抽象概括的能力
3.培養學生合作探究意識，感受數學與生活的密切聯系
教學重點
正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
教學難點
理解“同一平面內”“不相交”。
教學準備
三角板、磁釘、白紙、塑料棒、直尺。
教學過程
一、復習舊知，引發新知
師：同學們已經認識了直線，誰能說說直線的特點？
生：直線能無限延長。（出示課件演示直線無限延長）
二、畫圖感知，激發興趣
1.感知平面
師：大家拿張紙平放桌上摸一摸。我們是不是摸到一個平平的面？（感知平面）
2.學生畫圖
師：同學們我們現在把紙張輕輕地捧在手中，閉上眼睛，想象一下，這張紙放大，再放大直到無窮。紙張上出現了一條直線，又出現了一條直線，他們將會是怎樣的關系？請大家睜開眼，用彩筆把你所想象的兩條直線的位置關系畫在這張紙上。
三、觀察分類，自主探索
1.學生動手畫圖
師：畫完的同學舉起來互相看看，相同嗎？（不相同）
師：誰把自己畫的兩條直線展示給大家？
2.作品展示
師：同學們的想象可真豐富，想出了這么多不同的畫法，現在我們選幾組有代表性的直線來分析。
教師選出幾幅有代表性的作品展示在黑板上。
師：你能根據黑板上每幅作品中兩條直線的位置關系將他們分類嗎？
3.學生上臺嘗試給作品進行分類，并說出這樣分的原因
師：你能根據直線的位置關系把這些作品分類嗎？（為了方
便，我們給他們編上序號后，指名上臺分）
師：你能說說這樣分的原因嗎？
師：剛才老師聽到一個詞“交叉”，兩條直線“交叉”了，用數學語言應表述為兩條直線“相交”了，我們一起來說一遍“相交”這個詞。（板書：相交不相交）
4.引導學生分類
師：大家對他的分法有不同意見嗎？
（1）學生質疑，教師引導驗證
重點：①對于看似不相交的，這兩條直線無限延長后真的會相交嗎？
②學生動手驗證。
師：這兩條直線無限延長后真的相交了，可以和相交的分為一類。
③小結：這種看似相交，實際不相交的情形，在判斷的時候，要注意把它延長后再判斷。
5.展示課件
師：在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種情況，相交和不相交。
四、動手驗證，揭示概念
1.平行線
（1）教師指著不相交的一類，質疑：這兩條直線是暫時不相交，還是永遠不相交？你能用手中的工具驗證一下嗎？
（2）動手驗證。
指名上臺量，說出結果。引導學生說出：兩端的寬度相同。
（3）揭示平行線的概念。
師：像這種在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。（板書：互相平行）。
師：知道為什么要加“互相”嗎？
生：必須有2條或2條以上的直線，才說互相，一條直線不能說互相平行。
①強調：在同一平面內。
（出示模型）師：同學們，這是什么？有幾個面？這條直線在哪個面上？這條呢？這兩條直線會相交嗎？為什么？那么平行嗎？看來，平行線必須在同一平面內，并且不相交（板書：在同一平面內）
師：誰能說一說什么是互相平行呢？
②指著黑板上的作品和關鍵字引導描述。
③出示課件：指名讀，齊讀。
師：兩條直線互相平行必須具備哪些條件？
生1：直線。
生2：同一平面。
生3：不相交。
2.垂線
師：我們已經研究了兩條直線不相交的情況，現在我們來研究兩條直線相交的情況。
（1）師指著相交的一類，質疑：在同一平面內，兩條直線相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？
（2）動手驗證。
師：太棒了。同學們這么快就判斷出這四個角是直角，但是數學很嚴謹，我們不能憑眼睛就認定是直角。那有什么辦法能讓我們可以很肯定地說這四個角是直角呢？
生4：（作思考狀）對了，可以用上直角三角板。
師：（作好奇狀）怎么用上直角三角板？你能給大家演示一
下嗎？
學生拿著三角板量角，確定四個角中的一個角是直角。
師：老師發現還有同學舉起了小手，他一定還有話要說。那我們請這位同學說說他的想法吧。
生：還可以用量角器量。
師：同學們真不簡單！（板書：成直角不成直角）
（3）揭示垂線的概念。
師：像這樣的兩條直線，我們就說它們互相垂直。（板書：互相垂直）。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
①指著黑板上的作品和關鍵字引導描述。
師：用自己的語言說說什么是互相垂直（學生試說后指名回答）
②課件出示互相垂直的概念
師：像這種在同一平面內，相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，兩條直線互相垂直必須具備哪些條件呢？
生1：直線。
生2：相交成直角。
生3：同一平面。
3.聯系實際，找一找
（1）在教室中找出平行與垂直的例子，交流。
（2）（出示課件）師：你能在操場上找到平行與垂直嗎？（學生思考，相互交流。）
（3）生活中的垂直與平行（出示課件）。
五、鞏固練習，深化理解
游戲：我說你擺
師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒平行，這兩根紅色小棒是什么關系？
小結：如果兩條直線僅都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
（課件演示）
師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒垂直，看看這兩根小棒是什么關系？
小結：如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行。
（課件演示）
六、欣賞圖片，暢談收獲
師：生活中垂直與平行無處不在，它裝點著我們美麗的世界，讓我們共同去感受平行與垂直的美，出示生活中蘊含的垂直與
平行。
七、全課總結
1.揭示課題并板書（垂直與平行）
師：今天我們研究了同一平面內兩條直線的什么關系呀？（板書：垂直與平行）
2.談收獲
垂直與平行范文第2篇
類型一：直線與平面平行的證明
【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A點在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E為側面BB1C1C對角線BC1上一點,且BE=2EC1,
證明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 從“量”上分析:①從BE=2EC1知E是一個三等分點(離C1較近);②從正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隱含O是B1C1邊上中線的一個三等分點,與E點有遙相呼應之感；
(2) 從“形”上分析：由相似三角形的原理知延長CE與B1C1的交點必是B1C1的中點H,從而根據重心知識知A1、O、H共線,這樣可形成A1HC；同時可聯想B1C1的中點是建立聯系的紐帶；
(3) 從方法上分析：應用線面平行的判定定理證明,設法在平面內找到平面外的直線OE的平行線,俗稱“找線法”。
證明 連接CE并延長,交B1C1于點H,因為BC∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H點為B1C1的中點.
又因為點A在底面正A1B1C1內的射影點O是A1B1C1的中心,所以O是A1B1C1的重心,顯然A1、O、H共線.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
點撥
(1) 從圖形上可聯想有一個三角形,過OE且與平面AA1C1C有一條交線,故聯想到B1C1的中點；
(2) 在添加輔助線時,易出現錯誤.如：連CE交B1C1于H點,連A1、O、H等形式的錯誤；
(3) 除用判定定理證明外,也可以構造平面與平面AA1C1C平行,利用面面平行的性質來證明。
總結:證明線面平行的方法有：定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質定理等方法,常用的是線面平行的判定定理。
類型二：直線與平面垂直的證明
【例2】 已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,側面PAD是等邊三角形,PB=PC=2,求證：PC平面PAB.
分析 (1) 從“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本關系,作AHBC垂足為H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 從“形”上分析：應聯想到PC應垂直平面PAB中兩條相交的直線
PB,PA,AB中的其中兩條即可,可聯想連接AC,用勾股定理證明；
(3) 從方法上分析：應利用線面垂直的判定定理,
設法在平面PAB內找到與PC垂直的兩條相交直線。
證明 由條件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于點H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，滿足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
點撥
(1) 本題從找線出發,聯想到要證PCPA與PCPB,而PCPA是本題的一個難點；
(2) 本題最終在APC中利用勾股定理證得PCPA,亦可以通過AB平面PAC,證得PCAB得到。
總結:證明線面垂直的方法有：定義法、線面垂直的判定定理法、面面垂直的性質定理等方法,常用的是線面垂直的判定定理。
恃國家之大，矜民人之眾，欲見威于敵者，謂之驕兵。――魏相
類型三：利用線面平行、垂直的性質的探索性問題
【例3】 已知三棱錐PABC中,ABC是邊長為2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E為PB的中點,F為AC的中點,試在線段PC上找一點Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 從“量”上分析：ABC為正三角形,PA=22,易得PC=2；從而知PB=22；
(2) 從“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
為等腰直角三角形；同時可以聯想在平面BFQ內有一條與AE平行的線；
(3)從方法上分析：利用線面平行的性質,通過線面平行得出線線
平行,從而確定Q點的位置。
解 因為ABC是邊長為2的正三角形,所以AC=2；
又因為PC平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC為直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C為直角頂點的等腰直角三角形.不妨在PC上取一點Q,假設滿足AE∥平面BFQ,則由線面平行的性質定理,連接CE交BQ于點H,連接HF,作出平面AEC.因為AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
顯然在AEC中,F為AC的中點,所以H為EC的中點．
過E作EG∥BQ,交PC于點G；
在CEG中,HQ∥EG,H為EC的中點,所以Q為GC的中點,故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E為BP的中點,所以G為PQ的中點,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q為PC的一個三等分點且靠近C點；因為PC=2,所以QC=23．
點撥 (1) 取Q點形成平面BFQ,利用線面平行的性質定理得AE∥FH,從而知H為EC的中點；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本題的方法外,還可以把PBC平面化,利用解析幾何知識建立直角坐標系,求出Q點的坐標,從而確定Q的位置；
(3) 學理科的同學還可以通過建立空間直角坐標系,通過求Q的坐標,確定Q的位置。
總結:線面平行的探索性問題常用的解題步驟是：(1) 假設點在某處；(2) 利用線面平行的性質得出線線平行；(3) 通過線線平行確定點的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D為B1C1的中點,
AE平面BB1C1C,試在CC1上找一點Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 從“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知側棱長均為1；
(2) 從“形”上分析：AE平面BB1C1C,則必有AEBC,即E為BC的中點；同時可以聯想在平面BB1C1C內應該有一條易證的,且與平面A1DC垂直的直線；
(3) 從方法上分析：應利用線面垂直的性質,先找出平面的一條垂線,
再過E作所找垂線的平行線。
解 連接BC1,交DC于O點.因為三棱柱ABCA1B1C1
為直三棱柱,所以BB1C1C為矩形,則由長度關系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根據D是BB1的中點,且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因為CC1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因為BC1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因為A1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根據題意,AE平面BB1C1C知AEBC,因為ABC為等腰三角形,所以E為BC的中點；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E為BC的中點,故Q為CC1的中點；綜上所述,Q的位置在CC1的中點．
點撥
(1) 根據線面垂直的性質,要找到EQ平面A1DC,只需先找到一條平面A1DC的垂線,即可通過平行線找到EQ；
(2) 本題理科學生也可以通過建立空間直角坐標系求出Q點的坐標,確定Q點的位置。
總結:線面垂直的探索性問題的一般步驟是：(1) 假設點在某處；(2) 找到已知平面的一條垂線；(3) 通過作已知平面垂線的平行線,確定要找的點的位置。
牛刀小試
1. 三棱錐PABC中,E、F是PA、PB的中點,O是AC的中點,G是OC的中點,證明：FG∥平面BOE.
2. 三棱錐PABC中,D是AB的中點,E在PB上,且PE=2BE,在PB上確定一個點Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱錐SABCD中,AB∥CD,BCCD,側面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O為AC與BD的交點,試在SB上找一點E,使得OE平面SAB．
【參考答案】
1. 證明：連接AF交BE于點H,連接OH,因為O是AC的中點,
G是OC的中點,所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均為三角形的中線,故AF與BE的交點H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知識得OH∥FG；
又因為OH平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 證明：因為ABCD是正方形,所以AD=DC=1,又因為PC=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因為PDDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取點Q,作平面ACQ,假設DE∥平面ACQ；因為DE∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中點,所以E為BQ的中點.所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q為PE的中點,亦可答：Q是PB的一個三等分點且靠近P點．
3. 在四邊形ABCD中,過D作DHAB于點H,在四邊形ABCD中,
因為AB∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,則SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,則BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因為SDSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一點E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行線即可．
根據CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O為DB的三等分點(靠近D點),
故在SDB中,OE∥SD,顯然E是SB的三等分點(靠近S點)；
垂直與平行范文第3篇
關鍵詞：晶界；晶體塑性；銅雙晶；孔洞；裂紋
中圖分類號：TH140.7；TB302.3 文獻標識碼：A
Morphologic Observation and Analysis of Compressed
Copper Bicrystals with Horizontal and Vertical Grain Boundaries
DUAN Xianyun，RUAN Feng，ZHANG Saijun
（School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510640，China）
Abstract：The microscopic morphologies of uniaxially compressed copper bicrystals （CB） with horizontal and vertical grain boundaries （GB） were observed. Experiment results have shown that， under the same comppressive loading condition and comparing the case of CB sample with horizontal GB， a higher stress exists beside the GB for the CB sample with vertical GB， for which there are much more microvoids and cracks， whose locations are much concentrated to or beside the slip lines.
Key words：grain boundary； crystal plasticity； copper bicrystal； hole； crack
在微形沖壓中，由于金屬晶粒取向不同以及晶界相對加載軸方向的位向不同，單向的外加載荷會轉變為復雜的力平衡系統[1-2]，晶界在抵抗材料變形與破壞中起到了關鍵作用[3].因此，研究晶界方向對塑性變形中孔洞和裂紋的影響有重要的意義.
目前國內外相關的研究主要集中在循環應力下，不同的晶界方向對銅晶體疲勞失效的影響[4-8]，并對疲勞裂紋的產生和擴展做出相應的解釋[9-15].而在微型沖壓中，材料的關鍵變形區和破壞區受力并不是循環應力的交變載荷，大部分是單純的拉伸力和壓縮力，因此有必要研究該受力條件下晶界方向對塑性變形的影響.本文基于以上目的，在銅雙晶體的晶界分別處于水平晶界（晶界面為水平面）和垂直晶界（晶界面為垂直面）兩種情況下，對受到壓縮變形后晶界附近的形貌進行了試驗觀察分析.
1 試驗材料
本實驗的銅基材采用臺灣NeoTech公司的純度為99.995%，外徑為2.5 mm的連鑄單晶銅線.試樣的制備主要經過以下步驟（如圖1）：取兩段該銅線，不考慮晶向，隨機磨削成30 mm×2 mm×1 mm的長方體；經擴散焊隨機焊接成30 mm×2 mm×2 mm雙晶體條（圖1（a））；將整個雙晶體條長度方向4個面磨平行，經拋光機逐步拋光至2 000號后，再經線切割分割成若干個2 mm×2 mm×2 mm的雙晶體方塊（圖1（b））；取兩個雙晶體方塊，晶界方向分別為水平方向和垂直方向，相鄰放置于特制固定扣中，注入熱熔膠（水晶膠易損壞已經拋光的表面），在磨床（5 ℃低溫噴淋）磨平上下兩端面，再拋光至2 000號（圖1（c））；再將兩方塊從熱熔膠中取出，將要觀察形貌的兩個主要平面拋光至4 000號，再經平絨布拋光，然后進行電解拋光；經EBSD測定雙晶體的取向矩陣為：
湖南大學學報（自然科學版）2013年
第7期段先云等：銅雙晶水平與垂直晶界壓縮形貌觀察與分析
2 試驗方法
微壓縮裝置如圖1（d）：上下夾板經過精磨拋光處理，以確保貼合的平行度，上下夾板分別固定在模架和模板上，兩個雙晶體方塊放在上下夾板間，一個雙晶體為水平晶界方向，另一個為垂直晶界方向，整個裝置在萬能材料試驗機上進行微壓縮試驗.據本試驗的壓縮方法，每次取出樣品進行顯微形貌觀察時，兩種晶界方向雙晶體的豎直方向的形變始終保持相同.整個試驗在奧林巴斯CX21BIMSET5顯微鏡下觀察拍照.
3 試驗結果與分析
銅質地較軟，延展性能好，在變形初期試樣表面已經能觀察到密布的滑移線.當壓縮應變達到ε=-0.6時，兩個晶粒內部和晶界處可以觀測到較明顯的孔洞和裂紋.初始的孔洞和裂紋都很微小，它們的尺寸在3
SymbolmA@ m以上時能較明顯地被觀察到.圖2是典型的孔洞與裂紋的外觀形貌，孔洞類似于圓形，裂紋呈不規則多邊形.
由于孔洞和裂紋尺寸微小，加之大應變下顯微景深的影響，一張照片無法顯示出全部孔洞和裂紋.本文在壓縮應變為ε=-0.7時（壓縮加載方向為圖3中豎直方向），對4組試樣中的能較明顯觀察到的、尺寸大小在同一級別上的孔洞和裂紋進行了數量與分布的統計，并繪制了相應的分布圖，見圖3.圖中“o”代表孔洞，“+”代表裂紋，“o”和“+”的數量為4組試樣觀測到數量的均值，“o”和“+”的位置是分布密度和分布位置的示意.
從分布圖中可見，孔洞裂紋的分布與文獻[7，16-18]中觀測到的結果有吻合的一面，即晶界附近較大的應力集中阻礙了位錯的滑移，裂紋和孔洞多發生在晶界附近.同時，在本實驗方法下，也觀察到不同的分布特點：見圖3，水平晶界雙晶的孔洞和裂紋分布區域更寬，而垂直晶界的則更集中于晶界附近；水平晶界中同一尺寸級別的孔洞數量比垂直晶界的多，而垂直晶界的裂紋數量比水平晶界的多；垂直晶界的孔洞和裂紋的總體數量多于水平晶界.
造成此現象的原因本質上仍是應力集中，而且是因為垂直晶界附近的應力集中現象明顯高于水平晶界的，無論是這些應力的方向、大小都比水平晶界的復雜.這些更加集中的應力觸發了晶體內部更多的滑移系，在這些滑移系和應力集中的共同作用下，較多數量的孔洞和裂紋相應產生.同時，多個滑移系共同作用的結果也促使垂直晶界中的孔洞更快地轉化為裂紋.本實驗中，兩種晶體的加載力大小和方向都相同，對于垂直晶界孔洞裂紋分布更集中于晶界附近的原因，雖然同樣也歸結為應力集中所引起，但必然與晶界和加載方向之間的相對角度直接相關.
為了觀察孔洞和裂紋在不同變形量下的變化情況，本文分別在ε=-0.7和ε=-0.85條件下，對晶界和晶界附近區域的若干個點進行了連續形貌觀察.
圖4為水平晶界雙晶體中，在晶界的右下方區域的孔洞和裂紋圖像.從顯微鏡照片可見，微小孔洞和裂紋的發生點多集中于主、次滑移線的交錯位置附近區域，有些是位于二者的交點上，有些是位于一根滑移線下方另一根滑移線上，也有的是位于兩滑移線交角內.該區域中，有4處較明顯的孔洞裂紋點（標號1～4），對它們進行了連續觀察，如圖5，每個觀察點前后兩張形貌照片的壓縮量分別為ε=-0.7和ε=-0.85.從圖中可見，隨著壓縮量的增大，裂紋的形狀變得更加不規則.裂紋的初期形狀更接近于孔洞，如點3和點4，左圖的裂紋中心均有一個較小而圓度好的孔洞.
在640倍放大觀測下（圖6），可觀測到微孔及其變形.圖5（a）是一初生的微孔，形狀相對較規則，隨著滑移變形的加大，微孔發生變形并伴隨一處或多處的破裂，最終變形成裂紋的形狀.從圖5中還可觀測到，圓孔或裂紋的擴展方向并沒有統一的方向性.點1和點2裂紋擴展方向沿近似135°的滑移線方向，而點3、點4則沿近似45°的滑移線方向.
相同的方法，對于垂直晶界雙晶體中晶界中部區域進行了形貌觀察，并在其中選取了點1～5進行了連續觀察，結果如圖7.從圖7可見，它的孔洞和裂紋分布與水平晶界的有許多不同點：首先，晶界附近分布有較多的孔洞和裂紋，在單個晶粒中間以及遠離晶界的一側，成形的同一大小級別的孔洞和裂紋較少.圖中選取的觀測點已是較明顯的孔洞和裂紋，這種級別的孔洞裂紋在遠離晶界的晶粒中部區域數量較少；其次，在整個形貌觀察中，裂紋更加明顯，而孔洞的數量較少.本觀察中，5個觀察點只有一個是孔洞，其余均為裂紋；再次，在晶界附近，可觀察到發生了多個次級滑移（點3附近較明顯），孔洞和裂紋的發生位置有的位于滑移線交錯處，也有的位于沒有明顯滑移線的雜亂區，更多的是位于某根滑移線上或滑移線一側，這是與水平晶界的區別最明顯的一點.圖8為連續觀測結果：點1，點4，點5的裂紋均位于滑移線上或在一側，隨著變形的加大，裂紋長度沿滑移線逐步擴展，這種擴展可以是由若干個孔洞連接發展而成，如點1；也可由小裂紋進一步長大擴展而成，如點4，點5，點2是一孔洞，初生在兩滑移線交角下方，經過第二次變形后，與新出現的次級滑移形成交錯，變形成裂紋形狀.本觀察中，點3是一個初生的孔洞，它是在一雜亂區域，隨著變形量的增大，一個孔洞在兩滑移線的交錯中出現.
對于上述垂直晶界孔洞和裂紋的不同特點，主要的起因仍然是晶界附近的應力集中，而且是垂直晶界附近的應力集中大于水平晶界的.垂直晶界附近較高的應力集中，使得多個滑移系開動，并且滑移系間相互交錯，應力不均衡.裂紋是微小孔洞產生后，在滑移變形的作用下，孔洞周邊交錯拉裂而形成.由于各滑移系滑移方向不同，變形有不相容性，在晶界附近的微小孔洞一旦產生，在高應力下，迅速轉化成微小的裂紋，從而使得裂紋數量更多，孔洞數量較少.同時，由于晶界的存在，協調了整個晶粒的變形，在高應力下，各滑移系都產生了允許范圍內的最大滑移量，以降低整個區域的應力并走向一個新的平衡狀態，這種滑移系允許范圍內的最大滑移，促使了裂紋沿滑移方向的生長.
圖9是對于其中一根滑移線上孔洞和裂紋放大了640倍的觀察圖，圖中可明顯看到在滑移線上既有孔洞又有裂紋，裂紋由兩個孔洞狀區域聯通而成，從整體的擴展趨勢而言，孔洞隨著形變的加劇，形狀都將發生不規則變化并演化成裂紋.
4 結 論
1） 在相同壓縮應變條件下，水平和垂直晶界附近均存在應力集中，垂直晶界雙晶體晶界附近的應力集中高于水平晶界的；
2） 在相同的大壓應形變條件下，垂直晶界雙晶體中孔洞和裂紋數量多于水平晶界的，分布更集中于晶界附近；
3） 在相同的大壓應形變條件下，垂直晶界雙晶體中孔洞和裂紋分布位置更集中于滑移線上或臨近滑移線某一側，而水平晶界的無此集中現象.
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垂直與平行范文第4篇
讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學交流交流，小組長做好記錄和總結。以下是為大家整理的數學兩條直線之間的關系教學案例資料，提供參考，希望對你有所幫助，歡迎你的閱讀。
數學兩條直線之間的關系教學案例一
兩條筆直的鐵軌，看成兩條直線，把它們畫在紙上，它們的位置關系如同等號。如果你也來畫兩條直線，還會有什么不同的位置關系呢?
學生畫一畫。
(二)、分一分，初步感知平行與垂直的特點
1、讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學交流交流，小組長做好記錄和總結。
2、、交流分類情況。
可能出現以下幾種分法：
第一種：分兩類——相交、不相交
第二種：分三類—— 相交、快要相交的，不相交
第三種：分四類—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、歸納特點，探究規律
平行：
1、大家先來看第一類，這一類的兩條直線的位置有什么特點，想象一下再畫長點，會相交嗎?
2、像這樣的兩條直線我們就叫平行線，誰能用自己的語言說一說，什么是平行線?
3、我們打開書56頁，看看書中是怎么定義平行線的。(齊讀)
4、在這個概念中，你想提醒同學們注意些什么?(“同一平面內”，“互相平行”)
5、引導學生正確表述兩條直線互相平行。
6、介紹用符號表示平行線的方法。
7、出示課件：判斷是否成平行關系。
8、再一次出示鐵軌，你還能舉出生活中平行的例子嗎?
垂直：
1、下面我們再來看看第二類直線有哪些共同特點?(有交點，都成了四個角)能不能按照角的大小也把它們分分類?有的四個角都是直角，有的四個角不是直角)，你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、誰知道像這樣兩條直線相交成直角是什么關系?
3、誰能用自己的語言說一說，什么是互相垂直?
4、我們打開書57頁，看看書中是怎么定義互相垂直的。(齊讀)
5、在這個概念中，你想提醒同學們注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引導學生正確表述兩條直線互相垂直。
6、介紹用符號表示互相垂直的方法。
7、完成題卡：判斷每組中兩條直線的位置關系，并用符號表示出平行和垂直,寫出讀法。
8、生活中，很多時候平行和垂直都是同時存在的，把它們摻雜在下起，同學們能區分出來嗎?
(四)、小結，梳理知識結構
剛才，同學們在畫一畫，分一分、說一說、找一找等探究活動中，知道了在同一個平面內的兩條直線的位置關系可以分成兩大類，相交和不相交。不相交的這一類叫做平行。相交的這一類按照是否成直角也可以分成兩類，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我們的世界變得更加有序和美麗。
(五)、拓展練習，鞏固知識
辨析題：1、兩條不相交的直線叫平行線。
2、同一平面內的兩條直線不平行就相交。
3、垂線和直角如同孿生兄弟，有垂線的地方就有直角。
4、如圖 + 直線b叫垂線。
(六)、拓展提升
本節課，我們主要研究了同一個平面內兩條直線平行和垂直的關系，如果再加入一條直線，你還能弄清它們之間的關系嗎?
出示：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么，這兩條直線之間是什么關系?
如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么，這兩條直線之間是什么關系?
(七)聯系生活實際，進一步提升平行與垂直的應用價值
出示圖片：(鉛錘測平行，水平儀定平行垂直，測量跳遠成績)
引導學生了解平行和垂直在生活中的應用，引發學生的深度思考，為下節課做滲透。
板書： 平行與垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )記作： a//b讀作：a平行于b
同一平面內
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 記作：a⊥b讀作：a垂直于b
數學兩條直線之間的關系教學案例二
知識與技能目標：
1、使學生初步理解垂直與平行是同一個平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系。
2、學生結合生活情境，通過自主探究活動，初步認識平行線、垂線。
過程與方法目標：
學生在小組合作學習的過程中理解垂直與平行是同一平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系，培養學生的空間觀念及空間想象能力，合作探究能力。
情感、態度與價值觀目標：
1、 通過討論交流，使學生獨立思考能力與合作精神得到和諧發展。
2、 學生在具體的情境中感受“垂直與平行”來源于生活，在知識形成過程中體驗數學的價值。
【教學重點】
正確理解“同一個平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行線” “垂線”等概念，發展學生的空間想象能力。
【教學難點】
正確判斷兩條直線之間的位置關系(尤其是對看似不相交而實際上是相交現象的理解)和對“同一平面”的正確理解。
【教學用具】
白紙、尺子、三角板、水彩筆一支、小棒、多媒體
教學過程：
一、畫圖感知、研究兩條直線在同一平面內的位置關系。
1、 今天這節課老師請來了一個老朋友，他是一條直線，那么直線有什么特點呢? (沒有端點，可以向兩邊無限延伸)
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活動(想象紙面上兩條直線的位置關系)
師：老師和同學們都有同樣的一張紙,現在請大家拿出來平放在桌上摸一摸這紙，然后談談你的發現。
生：這張紙很薄。
生：這張紙的表面是平平的。
師：也就是說我們手中的這張紙的面是一個平面。 (學生活動感知紙面是一個平面。)
師：同學們我們現在來想象一下，如果把這個面無限擴大，閉上眼睛想象一下，它是什么樣子?
生：很大很大，越來越大。 (學生閉上眼睛想象)
師：如果在這個無限大的平面上，出現了一條直線，又出現一條直線，現在請你想一想這兩條直線的位置關系是怎樣的?會有哪幾種不同的情況呢?(學生想象)
3、在紙上畫出想象中的兩條直線。 每個同學手中都有這樣的白紙，現在咱們就把它當成一個無限大的平面，把你剛才的想法畫下來。注意，一張白紙上只畫一種情況。開始吧。(學生試畫，教師巡視)
設計意圖：通過學生的觀察與想象，感知并感受無限大的平面。為下一步進行兩條直線間位置關系的想象提供一個可操作的平臺。想象平面上出現兩條直線，不是讓學生直接想象兩條直線，而是一條一條的出現，有利于學生想象出更多的兩條直線間的位置關系，培養學生空間想象力。一張紙上只畫一種情況，目的提高學生分類時的可操作性。
二、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
(一)展示各種情況。
1、請你的同桌欣賞一下你的作品。
2、將你自己的作品展示給你所在的小組同學，并選出幾張有代表性的作品(小組交流)。 師：哪個小組愿意上來把你們的想法展示給大家看看? (小組展示，將畫好的圖貼到黑板上)
師：仔細觀察，你們畫的跟他們一樣嗎?如果不一樣，可以上來補充!(如果學生沒有把所有的情況都想到教師給予補充) 教師給學生的作品進行編號。
師預設有以幾種兩條直線的位置關系：
設計意圖：在學生自己確定了想法之后，再在小組中交流。充分利用學生自己的學習能力，然后選出有代表性的情況，展示在黑板上，其他小組觀察后，補充不同的情況，這樣學生的學習活動就經歷了一個從個人到小組再到全班的逐層遞進的過程。使在同一平面內兩條直線間位置關系的各種情況，可能地通過學生的思考、想象、動手操作展現出來，為分類提供材料。
三、師生共同探究 揭示平行與垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的這組直線相交了嗎?(沒有)想象一下，畫長點，相交了嗎?(沒有)再長一點，相交了嗎?(沒有)無限長，會不會相交?(不會)(邊提問邊用課件演示)
2、那么，像這樣在同一個平面內的兩條直線畫得再長再長也不會相交，你們知道這種在同一平面內永不相交的兩條直線在數學上叫什么嗎?我們就說這兩條直線是平行線，這兩條直線互相平行。(板書：互相平行)(學生試說不完整的概念)
3、小結： 象這樣在同一平面內，永遠不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學生齊讀概念)
4、你們知道為什么要加“互相”嗎?(學生回答)
教師用誰是誰的同桌來說明平行線間的關系。 課件演示，老師強調：平行是兩條直線之間的位置關系，可以說直線L1與L2互相平行，或者說L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能說L1是平行線?
5、你覺得在這句話中，還應注意哪些詞? 學生回答(同一平面、不相交)
師：“同一平面”是什么意思?(學生討論)學生發言后師舉例幫助學生理解，強調：判斷兩條直線是否是平行線時“在同一個平面內”和“不相交”這兩個條件缺一不可。指出如果不在同一平面的情況，以教室的幾個墻面為例。(假如在教室前面的墻面上畫一條直線，然后在教室的側面畫一條直線，它們不相交但它們平行嗎?)
6、辨析練習：課件出示，請學生判斷并說出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱們再來看看兩條直線相交的情況。你們發現了什么?(都形成了四個角)
2、你認為在這些相交的情況中哪種最特殊?(相交形成了四個直角)
3、兩條直線相交成直角，而其他情況相交形成的都不是直角，有的是銳角，有的是鈍角。
4、你是怎么知道他們相交后形成了四個直角呢?(學生驗證：三角板、量角器)(板書：成直角)
5、你們知道在同一平面內，兩條直線相交成直角，在數學上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?誰能用自己的話說說。(學生試說) 課件出示互相垂直的概念，讓學生齊讀。
6、強調其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
出示直線a1和a2互相垂直的情況，讓學生說說它們之間的關系。 即：直線a1是a2的垂線，或者說a1垂直于a2， 也可以說a2是a1的垂線，或者說a2垂直于a1。
7、強調看兩條直線是否互相垂直的關鍵是看它們相交所成的角是否直角，與兩條直線放置的方向無關。
四、 練習鞏固，深化垂直與平行的理解。
1、你能在運動場上找出平行或垂直的現象嗎?(課件出示主題圖)
2、生活中我們常常遇到垂直與平行的現象，你能舉幾個例子嗎?(學生舉例后教師適當添加學生沒想到的例子。)
3、小結：通過剛才的學習，我們已經知道了同一平面內兩條直線間有兩種關系一種是相交，一種是不相交。同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行;如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。
4、揭示課題。(板書課題)
五、拓展延伸，發展空間觀念。
下面咱們一起來做個游戲，(出示小棒)每根小棒代表一條直線。教師在電子白板上畫圖，學生用小棒在自己的課桌上擺放小棒。
(1)先擺一根3號的小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒平行。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒平行。仔細觀察1號和2號小棒，說說你們發現了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?想象一下，有多少條直線跟3號小棒平行?
(2)先擺一根3號小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒垂直。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒垂直。想象一下，有多少條直線跟3號小棒垂直?仔細觀察1號和2號小棒，說說你們發現了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?
六、 總結:
師：這節課你有什么收獲?
學生談自己的收獲。結合學生所談收獲教師總結全課。
師：同學們你們都滿載著收獲，我們的生活離不開數學，數學能使我們生活變得更加有序，更加美好，讓我們都做有心人吧!去感受數學的美，去感受生活的美。
七、 作業：
1、回家后繼續尋找生活中垂直與平行的現象，講給你的父母聽，并說一說它們有什么作用?
2、動手折一折：(!)、用一張白紙折出兩條互相垂直的折痕線。
(2)、用一張白紙折出兩條互相平行的平行線。
八、板書設計
垂直與平行
不成直角
相交
同一平面內的兩條直線 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
數學兩條直線之間的關系教學案例三
[教學目標]
1、引導學生通過觀察、討論、感知生活中的平行與垂直的現象。
2、幫助學生初步理解平行與垂直是同一平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系，初步認識平行線和垂線。
3.培養學生的空間觀念及空間想象能力，引導學生樹立合作探究的學習意識。
[教學重點]
正確理解“互相平行”“互相垂直”等概念，發展學生的空間想象能力。
[教學難點]理解“平行與垂直”這兩種關系的界定前提是“同一平面內”。
[教具、學具準備]
課件，水彩筆，尺子，三角板，長方形紙等。
[教學過程]
一、談話導入。
師：同學們，今天老師請來了一位老朋友，你們想知道它是誰嗎?(課件出示一條無限延長的直線)誰來介紹一下這位朋友?
師：直線就像孫悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索體驗，經歷過程
(一)畫圖感知，確定研究對象。
過渡：今天我們繼續研究有關直線的知識，就是兩條直線在同一平面內的位置關系。
板書：兩條直線
1、想象活動，想象紙面上兩條直線的位置關系。
師：想一想，如果我們在這張長方形紙上畫兩條直線，這兩條直線會有怎么樣的位置關系呢?(學生想象)
2、動手操作。
(學生試畫，教師巡視)
3、收集展示。
4、觀察分類，了解平行與垂直的特征。
師：同學們的想象力可真豐富，畫出這么多種情況。根據兩條直線的位置關系你能給它們分分類嗎?
5、匯報分類情況。
在分類過程中通過課件展示重點引導學生弄清看似兩條直線不相交而事實上是相交的情況。(課件展示不相交的兩條直線延長后的情況，完善分類標準。)
教師根據學生的分類板書：相交 不相交
(二)師生共同探究，揭示平行與垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通過交流揭示互相平行的概念。
在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學生齊讀概念，互說概念)
(2)練習。(辨析練習：課件出示，請學生判斷并說出原因。)
通過練習讓學生理解“同一個平面”、“不相交”等的意思。
(3)小結
2、通過交流揭示互相垂直的概念
師：我們再來看看兩條直線相交的情況。
(1)觀察。兩條直線相交成的四個角是什么角?
(2)匯報：兩條直線有的相交成直角，有的是銳角，有的是鈍角。
成銳角、鈍角
板書：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你們知道在同一平面內，兩條直線相交成直角，在數學上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)課件出示互相垂直的的概念。(齊讀概念，互說概念)
(5)練習。(課件出示)
(6)自學互相平行、互相垂直的表示方法。
a與b互相平行，記作a∥b ，讀作 a平行于b
a與b互相垂直，記作a⊥b ，讀作 a垂直于b
(三)欣賞生活中的平行和垂直現象。
三、鞏固練習
四、總結全課
五、作業
板書：
平行與垂直
不相交 互相平行
兩條直線的位置關系 成銳角、鈍角
(同一平面內 ) 相交
垂直與平行范文第5篇
關鍵詞：小學；數學；教
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）11-311-01
一、自主學習，嘗試畫圖。
第一步，請學生畫出兩條直線互相平行。第二步，請學生畫出兩條直線互相垂直。第三步，小組里說一說什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相檢查你們所畫的是不是正確的。第四步，選取組內一個同學的作品，做好向全班同學匯報的準備。
二、交流展示，觀察辨析
學生完成學習單內容后，自主完成導學提示單上的內容后，再課堂中引導學生進行交流，選出你認為是互相平行互相垂直的向全班匯報。師：誰來說說兩條直線怎樣的位置是互相平行？怎樣的位置關系是互相垂直？a：學生根據書上的定義準確描述互相平行和互相垂直的定義，并讓學生說說你認為哪些詞比較重要。b：教師在黑板上出現這兩條概念的表述。教師根據學生的想法、所提出的問題進行隨機評價，并對白板上學生的作品進行評價整理，歸類，會出現兩種如下情況：
三、理解互相平行
如何讓學生理解互相平行，根據定義抓住平行線的本質特征來判斷是否互相平行，學生對其中的不平行的線條生質疑，讓學生知道不平行的線條延長后會相交，再根據學生的回答，通過白板先把兩條直線延長，然后利用白板中的三角板功能量下兩條直線之間的距離相等。小結：通過剛才的學習，我們知道兩條直線的位置關系有兩種，一種是相交的，一種是不相交的，像這樣延長后永不相交的兩條直線在數學上叫互相平行，如兩條直線分別叫做a、b，記作a∥b，讀作a平行于b。（板書）誰能說一說：互相平行需要具備什么條件：一，兩條直線，二，永不相交，（三，同一平面，等會兒再得出）
四、理解互相垂直
通過書本上的定義抓住垂線的本質特征來判斷是否互相垂直，學生對不相互垂直的線條產生質疑，在質疑中概括出互相垂直的本質屬性。小結：像這樣兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足，讀作a垂直于b。師：誰也來說一說：互相垂直需要具備什么條件？（一兩條直線，二相交成直角， 三同一平面，等會兒再得出）
五、理解同一平面
引導學生質疑：（1）先讓學生說說為什么互相平行和互相垂直這兩條直線要在同一平面內。（2）出示一個只有4個面的長方形紙盒，前面和后面各畫了一條直線a和b，再展開（如右圖）：讓學生去想象平面和直線分別是無線延伸和延長的，不管直線怎么延長，它們都分別在自己的平面內，而互相平行的前提是在同一平面內。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通過設計5個問題的過程進行深化凸顯概念的本質。如：①如何去找到直線a的平行線，能找到幾條？②與a平行的這兩條平行線是否也互相平行。③選取與a平行的兩條直線，要讓直線a與直線b互相垂直，應該怎么辦？④兩條直線是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去驗證）⑤如果讓直線a繼續轉下去，還會發生情況。（出現重合情況）⑥讓其中一條直線平移，會出現什么情況。
六、教學設計反思效果
1、運用翻轉課堂，提高自學能力
教師提前創建視頻，運用翻轉課堂教學模式，學生在課前或家中觀看學習視頻中的內容，完成老師導學提示單中的問題，回到課堂上師生面對面交流和完成作業的這樣一種教學形態。垂直與平行這節課的內容基本上以陳述性內容為主，更要注重引導學生自主、有效的學習，本節課先通過讓學生自己想象兩條直線的位置并畫下來，再通過交流、分類，在分類中引導學生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本質屬性。數學的學習就是思維不斷激烈碰撞的過程，也是師生互動、生生互動共同發展的過程，根據學生的知識起點，讓他們通過充分的交流和再創造“跳一跳”摘到果子，促進他們在動手實踐、自主探索和合作交流的過程中真正理解數學，使數學的課堂充滿生命和活力。
