邏輯推理的基本方法

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邏輯推理的基本方法范文第1篇

一、培養前提：讓學生打好雙基，練好基本功

扎實的基礎知識是培養邏輯思維和邏輯推理能力的基礎，是前提。如果學生對數學基礎知識都不能掌握，就根本談不上邏輯思維的培養了。

例1：下列四人圖像中，是函數圖像的是（ ）

分析：此題考察函數的概念，“對于X的每一個值，y都有唯一的值與它對應”，“一個X，有唯一一個y”這是概念的實質，如果學生沒有練好基本功，對“函數”這個概念理解不透徹，就有可能選錯。本題應選（C）。

二、培養訓練過程：要分階段，循序漸進地進行。

1、第一階段――準備與入門（可在七年級有意識地進行）

例2：解方程（一元一次方程）

解：4（2x-1）-2（10+1）=3（2x+1）-12（去分母）

8x-4-20x-2=6x+3-12 （去括號）

8x-20x-6x=3-12+4+2 （移項）

-18x=-3 （合并同類項）

x= （系數化為1）

說明：象這樣的題目，要求學生能說出或寫出方程的每一步變形的依據，這樣可使學生受到簡單的邏輯推理訓練，培養學生做到落筆有據。言之有理的良好邏輯思維習慣。

2、第二階段――使邏輯思維與邏輯推理能力逐漸成熟

在初步了解什么是推理證明，并能完成較為簡單的證明后，就得重點培養學生的邏輯思維和邏輯推理能力。首先要求學生學會對較為復雜的題目進行分析，既要會從已知條件入手，經過推理論證得出結論，也要學會從結論入手，探索要使結論成立需要什么條件，當需要的條件是題目的已知條件時，問題就自然解決了。其次，教師要以身作則，對書寫格式要嚴格要求，一招一式，典型示范。再次，對學生在解題中出現的錯誤推理，應幫助學生找出產生錯誤的原因，及時糾正錯誤。

例3：如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，過對角線交點O作EF平行于AB，求證：E0=OF

分析：（1）要證EO=OF，需證AOE≌BOF；

（2）要證AOE≌BOF，只需證∠1=∠2，∠3=∠4和AO=BO；

（3）要證∠1=∠2，∠3=∠4和AO=BO，只需證∠5=∠6；

（4）要證∠5=∠6，只需證ABC≌BAD。然而由已知條件，

易證ABC≌BAD，于是命題得證。

證明的書寫格式，按“綜合法”的思路倒過來寫，現證明如下：

證明：在ABC和BAD中

AB=BA

∠ABC=∠BAD

AD=BC ABC≌BAD（SAS）

∠5=∠6 ∠1=∠2，AO=BO

又EF//AB ∠3=∠4

AOE≌BOF（ASA） OE=OF

3、第三階段――靈活運用所學知識，進一步提高學生邏輯思維與邏輯推理能力。

在前兩個階段的基礎上，對較為復雜的題目，教師應加強引導，充分發揮學生想象力，多角度分析，用不同的思路、方法證明題目，從而提高學生的邏輯思維水平，并靈活進行邏輯推理證明，使學生能針對題目靈活、簡捷地完成邏輯推理證明。

例4：如圖，AB是O的直徑，C在AB延長線上，CD切O于D，DEAB于E，求證：∠EDB=∠BDC

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5

思路一：如圖1，因聯想“直徑所對的圓周角是直角”，于是連結AD，則∠ADB=90°，則有∠EDB=∠A=∠BDC

思路二：如圖2，由“切線垂直于過切點的半徑”，于是連結OD，則∠ODC=90°（因∠ODB=∠OBD），∠BDC+∠ODB=90°，所以∠EDB=∠BDC

思路三：如圖3，直徑ABDE，想到“垂徑定理”，于是延長DE交O于F，B結BF，則BD=BF，那么∠F=∠EDB，又∠BDC=∠F（弦切角定理），故∠EDB=∠BDC

思路四：如圖4，因“過直徑端點的垂線是圓的切線”，于是，過B作BGAB，交CD于G，由“切線長定理”有BG=DG，則∠BDC=∠GBD，又BG//DE，則∠GBD=∠EDB，故∠EDB=∠BDC

思路五：如圖5，連結OD，過B作BMCD于M，證BDE≌BDM，得到∠EDB=∠BDC

三、輔助訓練：數學語言的訓練

數學中的概念、定理、法則，甚至符號、圖形都可以看成是數學語言。語言是思維的載體，思維水平和推理過程靠語言的表達而表現出來（包括文字語言、符號語言）。在進行邏輯思維與邏輯推理能力培養的同時也要同步進行數學語言的訓練。特別是初中幾何數學中，更應注意數學語言的教學。

例5，對于圖形：

邏輯推理的基本方法范文第2篇

關鍵詞：空間與圖形；教學；邏輯；培養

初中階段空間與圖形的教學，主要是對平面圖形進行較為系統的學習。其數學活動不單是知識的傳授，更重要的是引導學生獨立思考，培養學生的思維能力，讓學生在獲取知識和運用過程中發展邏輯推理素質。

一、講清概念，使學生掌握邏輯推理的基礎

概念是構成判斷、推理的要素。概念不清，必然招致思維的絮亂和推理上的瞎猜。所以建立清晰的幾何概念對于培養學生邏輯推理素質是至關重要的。對于容易混淆的概念，要引導學生用對比的方法弄清他們的區別和聯系，達到概念清晰，理解透徹。

例如：在教學“距離”這一概念時，教師要讓學生認識幾何上的“距離”是與代數上講的“路程”概念不同。“路程”是指物體移動時經過線路的長度。幾何上的“距離”有幾種情況：①點與點間距離是指兩點間的線段長；②點與線的距離是指點與直線的垂線段的長。教學時，我舉了兩個例子讓學生思考并回答（如圖1）：①圓心到直線L的距離等于圓半徑時，這直線與圓的位置關系是怎么樣？②A為直線上一點，圓心O與直線L上的一點A的距離等于圓的半徑，這條直線與圓的位置關系又是怎樣？通過思考后，絕大多數同學認為第二個問題的結果是相切。通過引導，學生認識到第二個答案是相切或相交。這兩道題的訓練，使學生認識點與線的距離和點與點的距離的區別，從而掌握了這一概念。

圖1

二、講透定理，使學生掌握邏輯推理的根據

定理教學是平面幾何的核心，是邏輯推理的依據。我們教學時一定要引起足夠的重視，務必把定理講深講透，并讓學生領會定理證明過程中所涉及的知識、數學的思想和方法。

例如，在教學相似三角形判定定理2時（如圖2）首先讓學生自己閱讀定理內容，逐字逐句加以理解，并提出以下問題讓學生邊閱讀邊思考：①定理的題設部分包含哪些條件，具備這些條件后得到什么結論？②依據定理畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行分析。根據已知條件我們不易用判斷定理1和定義來證明，應考慮用平行三角形一邊的直線的定理證明。

因為∠A=∠A’，可∠A’和∠A重合，再在ABC的邊AB、AC（如果AB＜A’B’，AC＜A’C’，就在AB、AC的延長線上）分別截取AD=A’B’，AE=A’C’，連接DE，顯然ADE與A’B’C’，只要證明ADE與ABC相似，就有A’B’C’和ABC相似，由AD：AB=AE：AC，所以證得DE//BC，因此就可證明ADC與ABC相似。接下來就是寫出證明過程（略）。定理證好后，引導學生進行小結如下：定理的證明方法是先構造一個三角形，使它與其中一個三角形全等，再證這個三角形與另一個三角形相似，從而得到這兩個三角形相似。整個證明過程運用了三角形全等的判定定理（一）（SAS）公理；平等與三角形一邊的直線的判定定理，即平等于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似。這樣，學生對定理理解深刻，為推理論證掃除了障礙。

三、 注重分析，使學生掌握邏輯推理的方法

所謂分析就是怎樣探求解題或證題的途徑，主要包括分析題意和分析思路。首先要學生反復讀題，弄清題中的條件和結論；其次在學生理解題意的基礎上正確地畫出圖形，要防止用特殊代替一般，正確的畫圖有助于尋求解題思路。分析思路是進行邏輯推理的關鍵，要引導學生分析問題時從何處著手，解決這個問題可用哪些基本方法。

如，對三角形的判定（三）中的例3是這樣處理的：

例3.已知（如圖3），AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的兩點，且AE=CF，求證：BF=DE。

分析：觀察圖形：因BF、DE分別是BCF和DAE的邊，故只需證明這兩個三角形全等即可，要證BCF≌DAE，辦為有BC=DA，CF=AE，根據（SAS）公理，還要證明∠1和∠2相等，因為∠1、∠2分別是ABC和CDA的角，故只需證明這兩個三角形全等即可，因已知BC=DA，AB=CD，AC=CA，根據SSS公理證ABCCDA。至此本題得證，邊分析邊畫出下邊的思路圖：

然后讓學生用綜合法寫出證明過程。這種分析綜合的思維方法，對解決復雜問題很有意義，用綜合法探求解決途徑，用遞推的方法使之逐漸接近于結論。用分析法設法先找一個包含舊結論而又容易從已知條件推進新結論，以代替舊結論。這樣兩頭夾攻，可逐漸縮短已知和求證之間的邏輯距離。這種邏輯思維的方法，是幾何證題中探求證法、建立思路的基本方法。

四、 循序漸進，加強訓練，培養學生邏輯推理素質

從易做到難，循序漸進地組織證題訓練，是培養學生邏輯推理素質的重要途徑。

邏輯推理的基本方法范文第3篇

【關鍵詞】 數學 公理化方法 研究數學 作用

【中圖分類號】 G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01

1 數學公理化方法概述

1.1 數學公理化方法的內涵

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統的基本概念、基本關系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達。一個符號化的形式系統只有在解釋之后才有意義。同時，作為一個符號化的形式系統，可以用來提供簡潔精確的形式化語言；提供數量分析及計算的方法；提供邏輯推理的工具。

公理化方法的具體形態有三種：實體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構起來的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。

1.2 公理化方法的基本思想

數學是撇開現實世界的具體內容來研究其量性特征形式與關系的。其結果只有經過證明才可信，而數學證明采用的是邏輯推理方法，根據邏輯推理的規則，每步推理都要有個大前提，我們不難想象到，最初的那個大前提是不可能再由另外的大前提導出的，既是說，我們的逆推過程總有個“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現這樣的情況最原始的概念無法定義。

因此，我們要想建立一門科學的嚴格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學科的某些概念以及與之有關的某些關系作為不加定義的原始概念與公設或公理，而以后的全部概念及其性質要求均由原始概念與公設或公理經過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設或公理出發，運用邏輯推理原則，建立科學體系的方法叫做公理化方法。

2 數學公理化方法的邏輯特征

2.1 協調性

無矛盾性要求在一個公理系統中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結果也不能矛盾，即不能同時推出命題A與其否定命題，顯然，這是對公理系統的最基本的要求。如何證明給定的公理系統的無矛盾性呢？若想通過“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾”來證明是不可能的。

2.2 獨立性

獨立性要求在一個公理系統中，被選定的公理組中任何一個公理都不能由其他公理推出。獨立性其實要求的是公理組中公理之間不能有依從關系，若某一公理被其余公理推出，那它實質上就是一個定理，在公理組中就是多余的，所以，獨立性要求公理組中公理數目最少。

2.3 完備性

完備性要求在一個公理系統中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統的全部真命題，所以，公理不能過少，否則就推不出某些真命題，這是關于完備性的古典定義。現代數學常借助模型的同構給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構，就稱這個公理系是完備的。

在上述公理化方法的三個特征中，無矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨立性從理論上講，從完美簡煉上講，應該要求，因為公理和定理在整個系統中處的地位不同，公理是出發點，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨立性要求有時可降低。現行中學幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對象轉向研究其公理系不完備的對象”被認為是現代數學的特征之一。

3 數學公理化方法在研究數學中的作用和意義

3.1 表述和總結科學理論

公理化方法使有關的理論系統化，把它們按照某種邏輯順序構建成一個系統，因而便于人們系統地理解知識體系，便于掌握理論的本質。它是應用演繹推理的基本方法，它為認識世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學理論一種比較完善的方法，它為各門科學提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進理論的完善和嚴格化。它賦與數學內在的統一性，有助于人們了解數學各分支、各部門之間的本質聯系。

3.2 完善和創新理論

公理化方法的應用要求一門科學的充分成熟：積累了一定數量的基礎知識，進行了一定的系統分析和研究，對該門學科知識結構有了較深入的理解。因此，實現公理化的過程也是深入研究理論體系的過程。采用公理化方法還可以發現和補充理論系統中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創建新的理論。

3.3 培養和熏陶人們的邏輯思維能力

數學學習，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學會如何去獲得這些知識，即學會正確地進行數學思維，邏輯思維正是數學思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數學能力。而公理化方法使邏輯思維在數學中的作用得以充分發揮，大大提高了數學教育的成效，實現高度的思維經濟，這無疑對培養和熏陶學生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個數學系統和分支的內在規律性，從而使它系統化，這也無疑有利于人們學習和掌握。

4 結語

公理化方法是是建立某些抽象學科的基礎，是加工、整理知識，建立科學理論的工具，公理系統的形成是數學分支發展的新起點。公理化方法有助于發現新的數學成果，可以探索各個數學分支的邏輯結構，發現新問題，促進和推動新理論的創立和發展。對各門自然科學的表述具有積極的借鑒作用。同時公理化方法對于學生理解和掌握數學知識、數學方法及培養學生邏輯思維能力具有重要作用。公理化方法本身及其在數學理論和實踐應用中的巨大作用，隨著科學技術的發展還在繼續向前發展。

參考文獻

[1] 李文平.論數學公理化方法在數學發展中的推動作用[J].讀寫算，2010（16）.

邏輯推理的基本方法范文第4篇

【關 鍵 詞】 數學；小學；邏輯；能力；培養

小學數學教學，很重要的一點就是培養學生的邏輯思維能力，特別是在應用題的教學中，老師引導學生對應用題進行分析理解的過程，實質上是一個邏輯思維的過程。

一、什么是邏輯思維

邏輯思維是指人們認識客觀事物過程中運用要領進行確切的判斷，有層次地進行分析推理。小學生限于年齡特點和生理關系，邏輯推理還未十分嚴謹。因此在數學的應用題教學中，必須經過老師的反復示范，引導學生模擬，逐步地潛移默化地通過不斷解答應用題的訓練方式初步掌握形成邏輯思維的方法，使學生學會運用這些方法去分析問題和解決實際問題能力。

二、怎樣利用應用題教學培養學生的邏輯思維能力

（一）利用“對比分析”培養學生的邏輯思維能力

對比分析也可以說是比較分析，對比是區分事物異同點的邏輯方法之一，小學生學習應用題基礎知識的過程從不會到會，從囫圇棗到理解，經常需要引導學生進行觀察、對比，才能更好地區分聯系與區別，以便學生正確地理解與掌握。不論數的多少、形的大小，抑或量的長短等，都要通過對比才會形成要領。所以說，對比是培養學生邏輯思維能力的基礎。

如求一個數比另一個數多多少或少多少？用加減法計算的簡單應用題，教師便是通過運用教具演示，如白球11個，黑球6個，引導學生觀察，運用已有知識――同樣多的基礎上，遷移來進行對比。（如下圖）

白球：

黑球：

說明白球和黑球除了同樣多的6個外，白球多5個，就是說在同樣的6個的基礎上還多5個，用加法就是5+6=11個。在此基礎上，反過來問學生黑球比白球少多少個，通過觀察對比學習，學生認識到11比6多5，也就是6比11少5，進一步認識兩者間的聯系與區別，學生計算起來也就沒什么難度。至此求比一個數多幾或少幾的簡單應用題，學生便能更好的掌握，并且加深了理解。

但在對比時必須注意兩個問題：

（1）對比的兩個事物必須是相互聯系的。如“求一個數的幾倍”和“求一個數是另一個數的幾倍”的應用題，它們之間是相互聯系的，如果拿線段與分數則不可能相比。

（2）對比時必須抓住事物的本質進行比較。如商不變的性質、分數的基本性質、比的基本性質這三個性質的本質聯系。通過抓住本質對比，能對知識點的理解更正確、透徹。

（二）利用“推理”培養學生的邏輯思維能力

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。數學作為一種演繹系統，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的。這種演繹系統一方面使得數學內容以邏輯意義相關聯。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。

如簡單的求平均數的應用題，（1）小明有7本課外書，小新有3本，小芳有8本，他們平均每人有幾本課外書？（2）小明做了6道數學題，小英做了8道，小立做了7道，他們平均每人做了幾道數學題？（3）小花期末考試，語文96分，數學100分，英語94分，音樂98分，平均每科多少分？通過這些不同內容的題目，找出共同的解答方法是：歸納為先求得幾個數的和，再除以個數，并可概括出：個數的總和÷個數=平均數。

在日常的數學教學中，我們經常運用到三段論的推理方法，它由三個部分組成：（1）大前提；（2）小前提；（3）結論（最后決斷）。如第一中隊由少先隊員36人，每12個隊員一小隊，這個中隊里有幾個小隊？運用三段的過程是在引導學生先弄清楚題目的內容條件和問題，一般提出下列問題：（1）這道題目告訴我們什么？（2）題目問題是什么？（3）用什么方法計算？為什么？因此在數學教學解答應用題的過程中，應逐步培養學生養成運用演繹推理的習慣。

（三）利用“抽象概括”培養學生的邏輯思維能力

抽象是把客觀事物許多屬性中排除其中的偶然的，非本質的屬性，抽取出它本質的屬性，以便形成鮮明的概念和規律。概括是把同一類事物具有共同的本質的屬性結合起來的敘述。數學中的概念，法則、性質、定律、公式等都是通過文字、數學、符號等進行抽象概括出來的結果。

如解答一定數量的復合應用題以后，我們就引導學生作出如下的概括。解答應用題的步驟：（1）弄清題意，并找出已知條件和所求問題；（2）分析題里的數量關系；（3）確定解答的順序和運算方法；（4）列出算式進行計算；（5）檢查、驗算，并寫出答數。抽象和概括是大量客觀事物的基礎上抽取出共同特性的結果。抽象概括在小學數學教學中，經常結合在一起運用。如果不教會學生對所學的知識作抽象概括的敘述，就難以運用概念進行判斷，用法則指導計算。所以，從低年級開始的數字教學中，就應注意逐步培養抽象概括的能力。

三、在解答應用題教學中應注意幾點

1. 默讀題目。注意培養學生默讀題的習慣。

2. 了解題材。對于不熟悉的題材，老師提供知識背景，有利于學生對題目的了解，允許學生簡單地將題材所反映的情境加以描述。

3. 可以找關鍵性的詞語。因為詞語提示了一定的計算方法，表達了某種數量關系，但不能孤立地抓詞語，防止學生將某個詞語與某個計算方法不恰當地聯系起來。

4. 用圖表示數量關系，富有直觀性。

5. 培養學生分析推理能力，即思考方法。借以培養學生聚合思維和發散思維，使兩者相輔相成，相得益彰。

小學應用題教學與學生邏輯思維能力的培養不是通過一節課，一個單元，或一個學期的教學就能完成的，是一個潛移默化的過程，需要較長時間逐步培養。實踐證明，教師只要在平時有意識、有目的、科學地運用有效的教學策略來培養學生的邏輯思維能力。另外學生的邏輯思維能力的培養應該不僅僅是局限于數學領域，還可以拓展到其他的生活領域。“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”，我們要為培養學生的邏輯思維能力而不懈努力。

【參考文獻】

邏輯推理的基本方法范文第5篇

一、立足現實，從個別到一般培養學生合情推理能力

合情推理是指從個別到一般的推理過程，它要求學生通過類比、歸納、總結和概括現有的直觀事物，從而推導出一般性的結論和經驗。小學生處于個體成長和發展的最初階段，依賴直觀性的客觀表象進行生活和發展的形象思維占據主導地位，對事物的認識往往停留于感性水平上，因此，小學數學教師應當將小學生邏輯推理能力的培養放在歸納推理上面，通過引導學生對既定的數學知識、技能以及生活現象進行觀察、作圖、比較、假設、歸納和概括，從而使學生從對事物的感性認識上升到理性認識上。例如學生在解答找規律一題：“2、5、11、23、47、 ”時，學生要想在橫線上填上正確的答案，就必須結合已經學過的數學知識和經驗，并將這些知識經驗進行思維加工，在它們之間建立有機的聯系，從而推斷出正確的結論，因此，這道題考查的是學生的合情推理能力。學生通過觀察這些數字會發現，利用加減法并沒有發現他們之間有什么特別的規律所在，因此，學生推斷它們之間可能存在乘除關系或平方關系，根據學過的找規律的方法，學生先剖析前兩個數之間的關系，發現：5=2×2+1，再看第二個數與第三個數之間的關系，他們也存在一樣的規律：11=5×2+1，因此，答案便迎刃而解，學生經過一番推理得出了95。

二、統合舊知，從經驗到結論培養學生演繹推理能力

雖然小學生的日常行為處事是以形象思維為主，但在小學階段，特別是中高年級，學生的抽象思維已經覺醒，對事物的感知已經逐步具有理性認識的色彩，而且隨著社會的不斷發展以及營養水平的提升，個體身心發育的速度在不斷提升，同時在年齡上表現出逐漸向前推的趨勢，這就為小學生的思維品質發展加了一瓶濃濃的催化劑。另外，當今社會紛繁復雜，信息大爆炸使得小學生年紀輕輕就沉浸在這個大熔爐之中，為了幫助學生學會正確選擇和判斷自己所需要的信息，更加理性地生活著，我們在著重培養小學生的合情推理能力的同時，應當同步培養學生的演繹推理能力。教師應當具體結合生活案例，引導學生利用已有的數學公理、定義等規律，驗證結論假設的正確性，正確處理合情推理與演繹推理的關系。例如在教學蘇教版小學數學第九冊《三角形面積的計算》時，師生通過利用三角形與平行四邊形進行拼接、裁剪、探討和驗證認識到：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，進而得出了三角形面積的求法，即三角形面積=平行四邊形面積÷2=底×高÷2。然而，師生所探討的主要是銳角三角形的面積推導，而三角形又分為直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，而銳角三角形又可分為等邊三角形、等腰三角形等類別，是不是這些不同類別的三角形面積也符合同樣的計算公式和法則呢？這就需要教師引導學生進行依次實驗和證明，分別對這些三角形的面積進行演繹，最后得出的結果都符合這個計算公式，因而判定“三角形的面積=底×高÷2”。

三、發散思維，從單向到多向培養學生多維思考習慣