數學建模經典算法
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數學建模經典算法范文第1篇
前言：數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學模型是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。在21世紀新時代下，信息技術的快速發展使得數學建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。
正文：自從20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展、數學理論與方法的不斷擴充，使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。而數學建模作為數學方面的分支，在其中起到了關鍵性的作用。
談到數學建模的過程，可以分為以下幾個部分：
一.模型準備
了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰準確。
二.模型假設
根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。
三.模型建立
在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。
四.模型計算
利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。其中需要應用到一些計算工具，如matlab。
五.模型分析
對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。
六.模型檢驗
將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。
數學建模中比較重要的是，我們需要根據實際問題，適當調整，采取正確的數學建模方法，以較為準確地對實際問題發展的方向進行有據地預測，達到我們解決實際問題的目的，
在近些年，數學建模涉及到的實際問題有關于各個領域，包括病毒傳播問題、人口增長預測問題、衛星的導航跟蹤、環境質量的評價和預測等等，這些就能說明數學建模涉及領域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應的數學建模方法，采用不同的數學模型，再綜合起來分析，得出結論，這需要我們要有一定的數學基礎和掌握一些應用數學方法，以適應各種實際問題類型的研究，也應該在一些數學方法的基礎上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數學工作者的基本要求，我們對數學建模的所能達到的要求就是實現對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現其中的內在關系，體現數學建模的巨大作用。
而在對數學建模中的數據處理中，我們往往采用十類算法：
一.蒙特卡羅算法
也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。
二.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數據擬合在數學建模中常常有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系。
三.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。它尤其適用于傳統搜索方法難于解決的復雜和非線性問題，在運籌學和模糊數學中也有應用。
四.圖論算法
這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應用價值,圖論可將各種復雜的工程系統和管理問題用“圖”來描述,然后用數學方法求得最優結果，圖論是解決許多工程問題中算法設計的一種有效地數學模型,便于計算分析和計算機存儲。
五.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
動態規劃的應用極其廣泛，包括工程技術、經濟、工業生產、軍事以及自動化控制等領域，并在背包問題、生產經營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統可靠性問題等中取得了顯著的效果。回溯算法是深度優先策略的典型應用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經典問題，還有一個經典的應用場景就是迷宮問題。回溯算法是深度優先，那么分支限界法就是廣度優先的一個經典的例子。回溯法一般來說是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。
這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。
六.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
模擬退火算法的依據是固體物質退火過程和組合優化問題之間的相似性。物質在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質轉化為液態，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩定。
“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優雅——雖然生存競爭是殘酷的。 遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術指導對一個被編碼的參數空間進行高效搜索 。
神經網絡從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經元結構，它的構成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經網絡計算非數字，非精確，高度并行，并且有自學習功能。
這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用。
七 .網格算法和窮舉法
對于小數據量窮舉法就是最優秀的算法，網格算法就是連續問題的枚舉。網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
八.一些連續離散化方法
很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
九.數值分析算法
在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、 函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。
十.圖像處理法
賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。
這十類算法對于數據處理有很大的幫助，甚至從其中可以發現在它們中的很多算法都是數學某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學習，相信這對我們今后的數學學習有很大的幫助，然后，就是數學模型的類別。
常見的數學模型有離散動態模型、連續動態模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數學模型、常微分方程模型、常微分方程的數值穩定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數學模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導，我們最終都會通過實踐檢驗數學建模的正確性，加以完善和提升，在對現實對象進行建模時，人們常常對預測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產的價值或者有一種傳染病的人數。數學模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規劃未來，可以把數學模型看做一種研究特定的實際系統或者人們感興趣的行為而設計的數學結構。
例如人口增長模型：
中國是世界上人口最多的發展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經濟發展的首要因素。人口數量、 質量和年齡分布直接影響一個地區的經濟發展、資源配置、社會保障、社會穩定和城市活力。 在我國現代化進程中，必須實現人口與經濟、社會、資源、環境協調發展和可持續發展， 進一步控制人口數量，提高人口質量，改善人口結構。對此，單純的人口數量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現人口規劃的科學性。 政府部門需要更詳細、 更系統的人口分析技術，為人口發展策略的制定提供指導和依據。長期以來，對人口年齡結構的研究僅限于粗線條的定性分析， 只能預測年齡結構分布的大致范圍，無法用于分析年齡結構的具體形態。 隨著對人口規劃精準度要求的提高，通過數學方法來定量計算各種人口指數的方法日益受到重視，這就是人口控制和預測。
人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性， 適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律。灰色預測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測。
基于以上思想我們建立了灰色預測模型：
灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。
在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素， 例如出生率、死亡率、 遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算， 則可以根據年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數推算一年或多年后年齡相應增長一歲或增長多歲的人口數。在這個人口數的基礎上減去相應年齡的死亡人數， 就可以得到未來某年齡組的實際人口數。對于0 歲的新生人口， 則需要通過生育率作重新計算。當社會經濟條件變化不大時， 各年齡組死亡率比較穩定， 相應活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩定不變。 因而可以根據現有的分性別年齡組存活率推算未來各相應年齡組的人數。
通過這樣的實例就能很細致地說明數學建模的方法應用，數學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。它是將研究的某種事物系統，采用數學形式化語言把該系統的特征和數量關系，抽象出一種數學結構的方法，這種數學結構就叫數學模型。一般地，一個實際問題系統的數學模型是抽象的數學表達式，如代數方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規律， 與實際問題系統中相應特征的變化規律相符。一個實際系統的數學模型，就是對其中某些特征的變化規律作出最精煉的概括。
數學模型為人們解決現實問題提供了十分有效和足夠精確的工具， 在現實生活中， 我們經常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們為了一定的目的對原型進行的一個抽象。
隨著科學技術的快速發展，數學在自然科學、社會科學、工程技術與現代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應用， 尤其是在經濟發展方面， 數學建模也有很重要的作用。 數學模型這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數學模型的重要性。數學模型就是要用數學的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、 圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學習數學建可以掌握解決實際問題的強大武器。
參考文獻：數學建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業出版社（2014）.
數學建模經典算法范文第2篇
（廣西師范大學數學與統計學院 廣西?桂林 541004）
摘 要 根據牛頓切線法求方程的根的思想，結合2008年數學建模A題，運用迭代法求兩凸集（橢圓）的公切線，算法簡潔實用，可操作性強。并證明了算法對公切線的收斂性和收斂速度。
關鍵詞 迭代法 公切線 凸集分離 數學建模
中圖分類號：O182 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.05.014
Seek Common Tangent with the Iterative Method
ZHAO Xiaoxiang
（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University，
Guilin， Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）
Abstract According to Newton's equation of the tangent method the root of thinking， combined with mathematical modeling A title in 2008， using the iterative method for two convex sets （oval） common tangent， the algorithm is simple and practical， workable. And proved common tangent algorithm convergence and convergence rate.
Key words iterative method; common tangent; separation of convex sets; mathematical modeling
0 引言
隨著計算機加入科學研究的行列，迭代算法作為計算機能執行的有效算法，在解決實際問題中起著越來越重要的作用。區間二分法、牛頓法等都是經典的迭代法。
2008年高教社杯全國大學生數學建模競賽甲組A題《數碼相機定位》問題的一種解決思路是通過求公切線交點的方法來確定圓心。而求兩個橢圓（或R2內任意有界閉凸子集）的公切線就可以用迭代算法來實現。尤其是在離散（橢圓由相片給出，而相片只能分解為離散的像素點）的情況下，迭代算法更加適合于計算機的實現。
1 數碼相機定位
08數模A題的數碼相機定位問題給出了標靶以及標靶在相機中的像，如圖1、2要求設計算法求出相片中圓的圓心，以建立像坐標系到世界坐標系的點點對應，從而完成系統標定。具體題目見文獻[1]。
圖1 標靶 圖2 標靶在相機中的像
公切線交點的方法是指根據直線的像還直線的原理，作圓A與圓C、圓A與圓E的外公切線，如圖3，四條切線有四個交點，構成正方形，正方形對角線交點即為圓A的圓心。在相片中，只需求出變形后的圓A與圓C、圓A與圓E的外公切線，即可確定圓心。圖4。
圖3 標靶中的公切線 圖4 像中的公切線
所以問題可轉化為設計算法求兩圓的外公切線。而本文主要研究如何用迭代法來求兩圓的公切線。
2 外公切線算法
求兩個橢圓（或R2內任意有界閉凸子集）的外公切線的迭代算法，具體操作步驟如下：
（1）對給定的兩個橢圓A、B，分別任意給出一條切線和，切橢圓A，切橢圓B，兩切線在兩圓的同側，且只與一圓線切，如圖5。
圖5 初始切線 圖6 第一次迭代
（2）過和的交點做和的角平分線，如圖6。
（3）將平移至與圓相切，如果能與兩圓都相切，即為所求公切線，則停止。若不能與兩圓都相切，將平移至較近的圓，并取代與該圓相切的直線。如圖7，平移后與圓B相切，且用取代。
（4）過和的交點做和的角平分線，如圖8。
（5）將平移至于一圓相切，如果能與兩圓都相切，即為所求公切線，則停止。若只能與一圓相切，將平移至該圓，并取代與該圓相切的直線。如圖9，平移后與圓A相切，且用取代。
圖7 調整初始切線 圖8 第二次迭代
圖9 調整初始切線 圖10 第三次迭代
（6）過和的交點做和的角平分線，如圖10，重復以上過程。
（7）當與兩圓相切或與兩圓距離達到足夠小的精度時，停止。
在實際操作中，做兩直線的角平分線可改為取兩直線斜率之和的一半為斜率做直線，這樣并不影響收斂性和收斂速度。
定理1 上述步驟給出的平分直線的斜率收斂于兩橢圓的外公切線的斜率。且收斂速度為（）。
證明：設的斜率為，的斜率為，兩橢圓公切線的斜率為，
不妨設取代了，則根據的取法，有
同理，OO≤， ≥2。
即上述步驟給出的平分直線的斜率收斂于兩橢圓的外公切線的斜率。且收斂速度為（）。
3 算法實現
在上述迭代法實現應用過程中，我們一般適當調整坐標系，使得所求公切線的斜率大致在0.5到1.5之間，并選擇合理的初值，使得每次所選的角平分線是兩橢圓同側的直線，而不是另一條將兩圓分開的角平分線，如圖11。同時，也可減少計算精度帶來的誤差。
圖11 適當選取初始切線的角平分線
以08數模A題為例，我們給出用matlab編程實現上述迭代算法的具體過程。
按照上述方法繼續迭代，直到達到允許精讀。由圖12-17 可以看出，當迭代四五次以后，就已經相當精確。
值得注意的是，同樣的思路可以用來求內公切線，進而可以將兩個凸集分離。
圖12-17 matlab編程實現迭代算法的過程
參考文獻
數學建模經典算法范文第3篇
【關鍵詞】配電通信網;LR-PON;帶寬分配;IPACT
1.引言
智能電網的目標是以堅強網架為基礎，以通信信息平臺為支撐，以智能控制為手段，實現“電力流，信息流，業務流”的高度一體化融合。堅強在輸電，智能在配用電，配電網的自動化和信息化是建設智能電網的主要內容[1-2]。隨著智能電網的不斷發展，配電自動化對通信系統的可靠性、實時性、雙向性、靈活性和可擴展性等方面的要求越來越高，因此，配電通信網成為了智能電網建設的關鍵部分。近年來，國家電網和南方電網都加大了配電通信網的試點，逐步形成了基于SMTP的骨干層和以EPON為主無線公網為輔，其他通信方式補充的接入層兩級架構。PON（無源光網絡）技術高帶寬、點對多點、WDM信道和TDMA接入的優勢，非常適合配電網樹形鏈路的拓撲結構并且能最大限度滿足其通信要求。因此，以EPON為主，無線公網為輔，其他通信方式補充的接入層方案逐漸成為主流[3-5]。隨著智能電網通信技術的不斷發展，配電通信網絡覆蓋的范圍也越來越廣，OLT與ONU之間的距離將會增加，可能超過IEEE802.3ah-2004標準中定義的OLT到ONU的最大距離20km。又由于傳統的EPON技術采用的分光器為無源器件，該器件無法實現對光信號的放大。旨在擴展OLT與ONU之間距離的長距離無源光網絡（LR-PON）作為下一代光接入網技術應運而生。LR-PON不僅擴展了距離，而且增大了分光比。
但是，在IEEE802.3ah標準中并未對EPON的帶寬分配策略進行規定，公網中廣泛使用的EPON設備不能完全適應電力應用的需求。電力的配用電業務分為三類：A類控制業務，即對配電網及其設備的遠程監控，涉及配電自動化和配電變壓器監控;B類管理業務，即電力公司與終端用戶之間的互動操作，包括用電信息采集和費控，負荷控制，分布式電源接入和充電樁管理等;C類輔助業務，即現場視頻語音數據等輔助業務。因此，研究面向電力領域，適應生產管理和輔助需求以及不同QOS（服務質量）要求下的細粒度，優先級的動態帶寬分配技術，引導電力LR-PON設備制造有重要的價值。
2.PON系統帶寬分配算法研究
自EPON技術被提出之后，由于EPON系統上行方向多個ONU在規定的時隙內向OLT上傳數據并請求下一次傳送數據所需要的帶寬，在這個過程中，所有ONU共享上行信道，因此存在一個信道爭用的問題，如何合理分配上行信道帶寬，避免數據碰撞，使信道得到充分高效公平的利用變得尤為重要。帶寬分配算法按照有無統計時分復用可分為靜態帶寬分配（SSA）和動態帶寬分配（DBA）[6]。在SSA算法中，每個ONU獲得的授權帶寬大小一樣，雖然此算法公平且易于實現，但負載小的ONU會浪費很多帶寬，而負載過大的ONU會導致丟包率和時延的增大;在DBA算法中，OLT根據ONU上報的Report信息獲得各ONU的實時帶寬請求，動態地為各ONU分配帶寬，因此DBA可以合理并充分地使用帶寬資源。
隨著智能電網的不斷發展，多種業務對帶寬的需求日益增長。帶寬的高低是衡量配電通信網絡是否能滿足各種業務需求的最根本指標。為保證網絡中各種業務的服務質量，文獻[7]提出在ONU內設置三個不同優先級的隊列，根據優先級高低來分配帶寬。文獻[8]提出將ONU分為兩類，即帶寬保證ONU和非帶寬保證ONU，同時把上行帶寬分割為相等的小單元，優先分配帶寬保證ONU。文獻[9]提出基于動態分組的EPON帶寬分配算法，該算法根據ONU的負載情況，為其設置不同的權重，然后通過權重大小來分配帶寬。文獻[10]為解決長距離EPON在授權過程中的過授權問題，提出了基于幀分片的增強型IPACT算法，以解決過授權帶來的帶寬資源浪費問題。在作者仔細研讀大量參考文獻的基礎上，認為目前研究的帶寬分配算法從研究角度的不同可以分為兩大類。一類是基于業務分類，另一類是基于授權機制，即：
EPON帶寬分配算法
在DBA算法中，最經典的就是由Kramer等人在2001年提出的IPACT算法[11]。IPACT是一種基于授權/請求的周期不固定的帶寬分配方案。IAPCT算法中，OLT廣播所有授權GRANT信息幀且建立了輪詢表，以記錄每個ONU下一周期請求傳輸的數據量REPORT和RTT大小，OLT根據輪詢表中記錄的數據來給各個ONU分配不同的時隙，并且OLT每接收到一個新的REPORT信息幀就更新輪詢表中相應ONU的緩沖區數據量和RTT的大小。以3個ONU為例IPACT算法原理流程圖如圖1所示。
3.改進IPACT算法
IPACT是最早提出的動態帶寬算法，該算法采用間插的方式，這樣OLT就不需要等到接收完上一個ONU的數據后再給下一個ONU發送授權。而且輪詢周期不固定，OLT根據ONU的負載自適應分配帶寬，實現帶寬復用。DBA算法的思想是通過即時的網絡負載來動態調整輪詢周期，根據ONU的需求來動態分配帶寬。其數據包的延遲由如圖2所示的三部分組成。
由圖可得包延遲：d=dpoll+dgrant+dqueue
dpoll：數據到達ONU和ONU發送下次Request的時間，一般dpoll=T/2，T為輪詢周期。
dgrant：從ONU發出Request到收到OLT的Grant的時間。
（3）
式中q為用戶端數據包隊列的長度，包含新到達的數據;Wp[i]表示待定的授權窗口的大小，即新的數據包到達之前已經請求傳輸但還未獲得授權的傳輸窗。
dqueue：從OLT收到Grant后數據包的隊列延遲，取模是為了防止q比WMAX[i]還大。
（4）
表1給出了IPACT算法中的四種授權服務機制和授權窗口大小的數學表達式。
表1 IPACT三種授權服務機制以及授權窗口大小
授權服務類型 授權窗口大小 服務描述
固定服務 Wgi（j+1）=WMAX 無論ONU請求傳輸多少數據，OLT都給ONU授權預定義的最大傳輸窗WMAX，所以此服務的輪詢周期為一個固定值TMAX，所以此服務一般用作對照。
有限服務 Wgi（j+1）=MINWri（j）
WMAX ONU請求傳輸多少數據，OLT就授權多大的傳輸窗，但不能超過最大傳輸窗口WMAX。所以此服務的輪詢周期最小。
門限服務 Wgi（j+1）=Wri（j） 此服務沒有最大傳輸窗WMAX的限制，ONU請求傳輸多少數據，OLT就授權多大的傳輸窗口。此服務僅受ONU的最大緩存限制，ONU請求的傳輸窗不會超過它的最大緩存Q。
在上表中，Wgi（j+1）表示第i個ONU第j+1次獲得的授權窗口的大小，Wri（j）表示第i個ONU第j次請求的傳輸窗口大小。在固定服務下，無論ONU請求多少，OLT都給它授權最大傳輸窗WMAX;在有限服務中，如果ONU第j次請求的數據大于WMAX就僅給它授權WMAX，如果小于WMAX，那么j+1次授權就正好是它第j次請求傳輸的數據窗大小;在門限服務下，ONU請求多少OLT就授權多少，但此服務必須受限于ONU的緩存大小。由此可見，三種授權服務方式都存在請求了但未被授權傳輸的情況，因此，如果按照請求傳輸窗口來計算平均輪詢周期和包延遲就顯得很不合理。
圖1 IPACT算法原理流程圖
圖2 數據包時延組成
圖3 PON系統傳輸授權圖
圖4 三種授權服務的平均輪詢周期
圖5 三種授權服務的平均包延遲
隨著智能電網通信技術的不斷發展，配電通信網絡覆蓋的范圍也越來越廣，其通信業務更是復雜多樣，要求其通信網提供比傳統服務質量（QoS）機制更具針對性的靈活高效的QoS機制保證[12-13]。傳統EPON已經無法滿足配電通信網的接入要求，LR-PON將會是最優的配網接入方式。因此對傳統IPACT算法進行改進，使其更適合長距離LP-PON配電通信網接入就很有必要。
OLT通過對ONU的帶寬請求和算法規則來授權傳輸窗口的大小即Grant信息，以此保證整個上行帶寬的公平共享。設ONU的個數為N，第i個ONU從用戶側接收流量服從λipacket/sec的泊松分布，每個包大小為S字節，EPON數據鏈路速率為RU=1Gbps，所以每個ONU的負載Li為：
（5）
整個網絡的總負載為N個ONU的負載之和：
（6）
現考慮一個含有N=3個ONU的PON系統，它的傳輸窗授權如圖3所示。
圖3中Ti（k）表示第i個ONU的第k個周期時間，Vi（k）表示第i個ONU在時間k的傳輸窗大小，從圖中可以清楚地看出，基于前一個周期到達的數據包個數的傳輸窗有一個可以變化的長度。例如，在時間k=1時，V1（1）的大小取決于圖中前一個輪詢周期T1（0）時間內到達的包個數N1（0）=5（即圖3中的P1-P5）。設T1（j）為第i個ONU的第j個輪詢周期，由于數據包到達服從速率為λi的泊松分布，所以在前一個輪詢周期時間T1（j）內到達n個數據包的概率為：
i=0，1，2…… （7）
所以，平均包到達數量，E[Ti（j）]為第i個ONU在第j次輪詢的平均輪詢周期。第i個ONU在第j+1次輪詢周期內請求的平均窗口大小為：
（8）
式中Wri（j-1）表示第i個ONU在第j-1次輪詢周期內請求的窗口大小，Wgi（j）表示第i個ONU在第j次輪詢周期內根據第j-1次輪詢周期的請求獲得的授權窗口大小，所以，當Wgi（j）
平均輪詢周期E[C]為N個傳輸窗所用的時間加上保護時間Tguard，即：
E[C]=
（9）
公式（10）主要用于計算OLT的平均輪詢周期，前兩行主要用于有限服務和門限服務兩種服務方式，如果第j次授權的窗口Wgi（j）大于等于第j-1次請求的傳輸窗Wri（j-1），就說明第j次請求的傳輸窗只含有新到達的數據包，第j+1次的授權只包含新到達的數據包;如果第j次授權的窗口Wgi（j）小于第j-1次請求的傳輸窗Wri（j-1），就說明第j次傳輸沒有把第j-1次請求的傳完，那么第j次請求的輸窗不僅包含新到達的數據包，還包含第j次未傳完的數據包Wri（j-1）-Wgi（j）。式中第三行表示固定服務的平均輪詢周期。
根據改進后的平均輪詢周期E（C）和每個數據包的延遲d，得到改進后網絡中的數據包平均時延E（D）為：
（10）
4.實驗及仿真分析
本文通過研究服從泊松分布到達的數據流，來分析IPACT的三種經典服務模型，提出適用于配電通信網LR-PON的平均輪詢周期的數學模型，并以此來研究基于不同服務的數據包時延的數學模型，并通過網絡仿真軟件OPNET[14-15]對新數學模型下的平均輪詢周期和數據包延遲性能進行分析比較。根據OLT的平均授權窗口大小，分別對各種授權服務方式進行平均輪詢周期的計算。利用網絡仿真軟件OPNET進行LR-PON建模，由于授權服務機制不同，Q-Wp[i]的值也就不一樣，從而網絡中數據包的平均時延也不相同。設ONU的個數N=16，最大傳輸窗WMAX=15000Bytes，保護時間Tguard=5μs，鏈路速率RU=1Gbps，然后分別對上述三種服務進行平均輪詢周期和平均包時延仿真比較，結果分別如圖4和5所示。
在圖4中，固定服務的平均輪詢周期在任何負載情況下都是一個相同值，這是由于固定服務的授權窗口大小始終為最大傳輸窗WMAX，根據公式（9）它的平均輪詢周期就為一個常數與負載大小無關。限制服務即ONU請求多少OLT就授權多少，如果ONU請求大于最大傳輸窗，OLT只授權最大傳輸窗，因此限制服務的輪詢周期隨著網絡負載的增大而增大，當網絡負載超過一定程度，由于OLT只授權最大傳輸窗，所以輪詢周期與固定服務相同。門限服務是ONU請求多少OLT就授權多少，但有隊列大小限制，因此，在重負載時，ONU的請求會超過最大授權而小于隊列緩存長度，平均輪詢周期則會一直增大超過固定服務的平均輪詢周期，由于隊列緩存是個定值，所以此服務下的平均輪詢周期增大到一定程度也會趨于一個固定的閾值。
在圖5中，固定服務，限制服務，門限服務的平均包延遲依次減小，這是由于固定服務的輪詢周期比較大，接收的數據包比其他服務多，而限制服務與門限服務的輪詢周期比較短，在一個輪詢周期內沒有多余的時間去接收更多的數據包，導致數據包的延遲很小。
在圖6中，帶寬利用率隨著網絡負載的增大而增大，在ONU處于輕負載時，兩種算法的利用率基本一樣，但是當ONU的負載超過50%時，改進型IPACT算法的帶寬利用率要高于經典IPACT算法，這是由于網絡負載增大時，經典IPACT算法下的每個ONU請求的帶寬都相應增加，但OLT沒有授權它請求的帶寬大小，有一部分數據雖然請求了但是并沒有傳輸，如此反復請求就會降低帶寬利用率。
圖6 兩種算法的帶寬利用率
5.結束語
本文建立了經典帶寬分配算法IPACT數據包延遲的數學模型，并在此基礎上依據配電通信網LR-PON接入要求針對IPACT算法的不同服務類型的平均數據包時延和輪詢周期進行分析和改進，使用優秀的網絡仿真軟件OPNET對適用于配電通信網的LR-PON系統進行建模，使用相同的場景和設置參數，分別對不同的服務類型進行仿真，最后對新數學模型下的平均輪詢周期和平均包延遲性能進行分析和比較。最后對改進后的IPACT算法和經典IPACT算法的帶寬利用率進行比較，當網絡負載超過50%時，改進后的IPACT算法的帶寬利用率要明顯高于經典IPACT算法。
基于時分復用的EPON（即TDM-PON）雖然是所有用戶共享上行帶寬，但實際也限制了每個用戶的可用帶寬，帶寬利用率低且難以支持以太網之外的業務。伴隨用戶寬帶業務的不斷增加和光纖器件成本的降低，基于波分復用的EPON（即WDM-PON）可以提供虛擬點對點的帶寬，能夠更加有效的利用光纖的巨大資源，這些優越的性能使得WDM-PON在不久的將來必將超越TDM-PON成為下一代配電通信網接入的必然選擇。
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數學建模經典算法范文第4篇
醫學圖像在獲取與傳輸的過程中，會受到各種形式噪聲的干擾。近年來，一些新的濾波技術逐漸受到相關學者的重視并被應用到醫學圖像的降噪中[1-3]。文獻[3]提出的非局部均值(Non-localMeans,NLM)濾波算法考慮了盡可能多的相似性結構信息，但該算法存在耗時、搜尋相似像素不充分的不足。相關文獻報道了一些改進的NLM濾波算法，如魯棒的快速算法[4]、基于核回歸的改進算法[5]、基于奇異值分解和K-均值聚類的自適應改進算法[6]、基于矩的改進算法[7-8]。這些改進算法均取得了較好的去噪效果。為提高NLM算法的去噪性能，本文提出一種基于梯度信息的自適應的醫學圖像去噪NLM改進算法(ANLM)，并通過實驗驗證了算法的有效性和可行性。
2經典的非局部均值濾波算法
文獻[3]中提出的經典NLM算法原理為：含噪圖像f{f(i)|iI}的任一像素點i處被濾波的灰度值()fi為：()(,)()jIfiwijfj(1)222,||()()||1(,)e()ijfNfNhwijZi(2)其中，權重w(i,j)滿足0≤w(i,j)≤1和(,)1jwij；22,||||為度量像素i和j的相似程度的高斯加權歐氏距離；a為高斯核的標準差，a0；h為控制衰減程度的參數；kN表示中心位于像素k的方形鄰域。正則化常數Z(i)為：222,||()()||()eijfNfNhjIZi(3)為避免過加權，當ij時，權重w(i,j)為：w(i,j)max(w(i,j)),ij(4)NLM算法的核心思想是在一個稱為搜索窗的大的像素范圍內搜尋盡可能多的、與被濾波像素相似或匹配的其他像素參與到濾波過程中，以改善濾波效果。搜索窗內2個像素點i和j的相似性通過稱為相似窗的2個鄰域Ni和Nj中所有像素點的加權歐氏距離來度量。該距離越小，則i和j的相似程度越高，權重w(i,j)值越大。本文將上述算法稱為經典的非局部均值算法(CassicalNL-means,CNLM)。顯然，CNLM算法中相似窗的平移操作只能找到位置不同的相似像素，數量相對較少。若能同時對相似窗進行平移和旋轉操作，則能找到更多的位置匹配或方向匹配的像素，從而提高算法的性能。本文基于這一思想，利用梯度信息，提出一種自適應的非局部均值濾波算法(AdaptiveNL-means,ANLM）。
3自適應非局部均值濾波算法
3.1算法原理
所提出的ANLM算法將待濾波圖像的梯度幅度信息和方向信息引入到了CNLM算法中。對于圖像f，像素點i處的梯度定義為：
3.1.1基于梯度幅度的濾波參數選擇
對于式(2)中濾波參數h的選擇，國內外研究者已做了一系列研究[7,9-10]。本文依據梯度幅度信息選擇濾波參數h。具體思想為：由于較大的梯度幅度|f(i)|表明相似窗Ni內可能存在圖像邊緣或紋理，而較小的|f(i)|則表明Ni為較為平坦的區域。因此，為避免過于平滑圖像的邊緣或紋理細節，對于較大的|f(i)|，選取較小的參數h；反之，則選取較大的h。本文采用Sobel梯度算子計算梯度。ANLM算法結合一個最佳的梯度優化閾值optiT對h進行多種選擇，即：0opti0optiopti00.8|()|1.50.9|()|1.5hfiThhTfiTh≥≤其他(8)其中，0h為CNLM算法所用的h值，0h。這樣，對|f(i)|不同的點，選擇不同的h值，很大程度上實現了既保護邊緣、又平滑噪聲的濾波效果。
3.1.2基于梯度方向的更多匹配像素搜索
依據式(7)計算點i處和點j處的梯度方向j,i以及二者之差ji。依據將相似窗Nj繞中心旋轉：當大于0時，順時針旋轉；反之，逆時針旋轉。旋轉間隔為π/4，總的旋轉角度為/(π/4)(π/4)。圖1給出了Nj相對于Ni的旋轉過程。可見，Nj逆時針旋轉π/4后，得到jN，而jN與Ni的像素結構完全相同。這樣，通過旋轉操作，提高了2個相似窗的相似程度，即減小了式(2)中的距離22,||||，找到了平移操作所不能找到的匹配像素點。(a)Ni(b)Nj(c)jN圖1相似窗旋轉過程圖2和圖3分別給出了CNLM算法和ANLM算法對于中心像素點的權重分布比較。相比CNLM算法，ANLM算法找到了更多的匹配像素點，這表明ANLM算法具有更好的去噪性能。可見，ANLM算法依據|f(i)|實現了參數h的自適應選擇；依據實現了鄰域Nj的自適應旋轉操作，保證了算法的優越性。此外，考慮到多數醫學圖像對稱或近似對稱的特點，搜索窗由中心分別位于i處和與i縱向對稱的像素點處的2個方形區域組成，進一步提高了匹配點的數量。
3.2優化閾值T
opti的確定ANLM算法中一個關鍵點是式(8)中閾值Topti的確定。本文用實驗的方法建立Topti與噪聲標準差之間的數學模型，從而依據圖像噪聲實現Topti的自適應選擇。具體思想為：對多幅醫學圖像添加標準差為的噪聲得到噪聲圖像。之后，對每幅噪聲圖像的梯度幅度|f|進行閾值化，即：||||||0||TffTffT≥(9)選取不同的T，求取使原圖像||0f與閾值化||Tf之間的均方誤差err最小的T值，作為優化的閾值Topti，即：2opti01argmin((|()||()|))ITTiTfifi(10)即通過最小二乘法確定Topti。這樣，選取多個不同的值，得到多個相應的Topti，進而確定出二者的關系模型，作為自適應選擇Topti的依據。4.1節詳述了具體建模過程。
3.3ANLM算法步驟
ANLM算法的具體步驟如下：
(1)對于像素i和j，依據式(6)和式(7)計算梯度信息。
(2)計算噪聲標準差，依據所建立的Topti與模型及式(8)確定梯度閾值化參數Topti和濾波參數h。
(3)依據ji，將相似窗Nj繞其中心旋轉/(/4)(π/4)°。
(4)確定中心點與i縱向對稱的搜索窗siN。
(5)依據式(1)~式(4)計算i點處的濾波值()fi。
(6)使i遍歷像素點集合I中的每一個像素點，重復上述步驟(1)~步驟(5)，得到最終的濾波圖像f。
4實驗結果與分析
本文將CNLM算法和ANLM算法分別應用于一幅對稱的幾何圖像和2幅醫學CT圖像的去噪過程中。在圖像中添加均值為0、標準差分別為5、10、15、20、25的5種高斯噪聲。搜索窗大小為21×21，相似窗大小為3×3。圖4為未受噪聲污染的原圖及=10時相應的包含高斯噪聲圖像。
4.1優化閾值T
opti的建模根據式(9)和式(10)所描述的理論依據，通過實驗建立最佳梯度閾值Topti與噪聲標準差之間的數學模型。圖5為當σ=10時均方誤差err與閾值T的關系曲線，可見，err具有全局極小值。圖6為3幅圖像Topti與之間的關系曲線。可見，除過幾何測試圖像曲線上最右邊一點(25,37.2)外，Topti與成近似的線性關系。對應于腹部CT圖像與胸部CT圖像的Topti與近似線性數學模型分別為：optiT1.860.8(11)optiT1.641.9(12)對于該類醫學圖像降噪時，可將上述2個線性模型的綜合作為自適應選擇Topti的依據。
4.2算法性能比較
圖7~圖9分別為3幅圖像的CNLM濾波和ANLM濾波結果及相應的方法噪聲。比較2種算法所得結果圖像的視覺效果可知，ANLM算法明顯優于CNLM算法，尤其在圖中標注的矩形區域內，后者具有更強的對比度。此外，相對于CNLM，ANLM所對應的方法噪聲也更接近于高斯白噪聲。這進一步表明了ANLM算法去噪性能的改善。上述結果表明，在引入梯度信息、考慮了相似窗的旋轉不變性和自適應地確定濾波參數h之后，ANLM算法在平滑噪聲的同時較好地保持了圖像的邊緣，濾波性能明顯提高。
數學建模經典算法范文第5篇
關鍵詞：自動發電控制、建模、辨識
Abstract: as the power plant control system is extremely complex, the delay, are the major factors to nonlinear, close. Classic identification method can not the identification. This paper makes use of the Matlab software adopts advanced identification algorithm and method of fuzzy control is to coordinate control system (CCS) and of automatic generation control (AGO system modeling, simulation and optimization, to overcome the shortcomings, hope and counterparts from common.
Keywords: of automatic generation control, modeling, identify
中圖分類號： TM621文獻標識碼：A 文章編號：
火電廠過程控制系統
火力發電機組的生產過程自動化隨著科學技術的發展和自動化水平的提高，它所包含的功能越來越豐富，概括起來有以下幾個方面：自動檢測，順序控制，自動調節，自動保護。
單元機組自動控制的功能是通過各種自動化系統實現的.大容量單元發電機組的自動化系統土要可分為計算機監視(或數據采集)系統、單元機組協調控制系統、鍋爐自動控制系統、汽輪機自動控制系統、發電機和電氣控制系統、輔助設備自動控制系統等。
現代的AGC是一個閉環反饋控制系統，主要由兩大部分構成:
（1）負荷分配器:根據測得的發電機實際出力、頻率偏差和其它有關信號，按一定的調節準則分配各機組應承擔的機組有功出力設定值。該部分由傳統的電網調度功能實現。
(2)機組控制器:根據負荷分配器設定的有功出力，使機組在額定頻率下的實發功率與設定有功出力相一致。電廠具備ACC功能時該部分由機組協調控制系統(CCS)自動實現。
自動發電控制( Automatic Generation Control)簡稱為AGC是建立在以計算機為核心的能量管理系統及發電機協調控制和高可靠信息傳輸系統基礎之上的遠程閉環控制系統。
自動發電控制(AGC)系統建模
對于多區域AGC系統建模，由于AGC系統位于電廠各個機組的上層，對該系統進行全面的建模是比較復雜的，因此，根據AGC系統的結構、物理機理，對控制對象進行適當簡化，借助Matlab仿真軟件1201211，建立如圖2-2-4所示的簡化后的AGC各區域控制機組模型圖。
圖1 AGC系統中Plant模塊仿真模型
以兩區域AGC模型為例，根據其運行機理，有如下的數學模型表達式：
上式中: -頻率偏差信號；-發電功率偏差信號；-負荷需求變化；-控制器時間常數；-汽輪機時間常數；α12:兩區域的功率比位；αβ:控制器死區常數。
根據相關原理及相關公式分析，假設只在第一個區域發生1%的負荷擾動，仿真結果如圖2所示。從仿真結果中可以看出，通過對PTD參數進行調節，該系統可以使兩區域頻率偏差4"從調節到零，但是其超調量比較大，可以對控制器進行改進，采用模糊P1D控制器進行PID參數的自整定，以達到更好的控制效果。
圖2 AGC系統仿真結果
協調控制系統(CCS)建模
ccs的仿真模型有很多，本文從中選取汽包爐的CCS系統建模研究對象，旨在研究汽包及蒸汽管道續熱系數。
圖3 汽包爐的CCS系統建模圖
根據相關原理及公式，在該系統中選擇燃料最指令和汽機閥門開度指令作為輸入，主蒸汽流量(與實際功率相對應)和汽包壓力作為輸出，構成一個TITO(兩輸入、兩輸出)系統，考慮輸入輸出端口的匹配性，進行Mat lab仿真，其Simulink仿真圖如圖4所示。
圖4 imulink仿真圖
以上仿真結果表明，該方法改善了系統的控制效果。
結論
本文主要以火電機組的自動發電控制系統為例，借助Matlab軟件采用先進算法及模糊控制方法對帶協調控制系統((CCS)模型的自動發電控制((ACC)系統進行建模、仿真及其優化。研究表明，建立火電廠的Matlab純軟件仿真模型是完全可能如果條件允許.可建立硬件在回路仿真系統，結合軟硬件各自的特以提高系統梢度、降低建模難度。
參考文獻
呂崇德，大型火電機組系統仿真與建模，清華大學出版社.2002
