數學思想論文
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數學思想論文范文第1篇
在數學教學中，怎樣寓知識、技能、方法、思想于一個學過程中，是數學教學的重要課題。由于數學的高度抽象性、嚴謹的邏輯性、結論的確定性以及應用的廣泛性這些特征，決定了數學教學的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識，而不注重學習方法的指導和能力的培養，學生就會跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時還會，自己做時就錯，臨到考時就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學生變書本知識為自己知識，就必須學會學習知識的方法。下面就其怎樣使學生在原有知識基礎上學習新知識的方法談些教學體會。
新知識的獲得，離不開原有認知基矗很多新知識都是學生在已有知識基礎上發展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。這就需要教師在教學中精心設計、抓住知識的生長點、促進正遷移的實現。
例如，在研究多邊形內角和定理時，可向學生提出：我們已經知道三角形的內角和等于180°，那么，你能根據三角形的內角和求出四邊形的內角和嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內在聯系。問題的提出，激發了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創造了活躍的教學氣氛，學生會準確地回答出四邊形的內角和等于360°。又問：你是根據什么說四邊形的內角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學生的回答是作四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，而每個三角形的內角和等于180°，兩個三角形的內角和等于360°。教師馬上對學生的回答給以肯定和鼓勵，再問：五邊形、六邊形的內角和等于多少度？學生很快就會回答出五邊形的內角和等于540°，六邊形的內角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內角和是多少度嗎？這是老師故意設置“知識障礙”，激發學生的求知欲望。及時引導、啟發、遷移、總結規律。讓學生觀察、發現求四邊形、五邊形、六邊形的內角和，都是從它們的一個頂點作對角線將它們轉化為三角形來求得的，并且內角和是由從它們的一個頂點作對角線所分得三角形的個數確定的，而三角形的個數又是由這個多邊形的邊數確定的。從而可知從n邊形的一個頂點作對角線可將n邊形分成（n－2）個三角形，所以n邊形的內角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內角和定理。這個定理的出現，是教者通過設疑、引導、啟發學生思維，尋求解題方法，由個性問題追朔到共性問題，總結出了一般規律。這樣做，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，又培養了學生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉化為三角形來研究的數學轉化思想。
當學生在原有知識的基礎上掌握了學習新知識的方法和數學的轉化思想，對于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學生很自然就會將它轉化為三角形中位線來解決。對于平行四邊形、梯形的問題學生也很容易就想到轉化為已有知識來研究。又如，對于解二元二次方程組，學生根據已學過的解一元二次方程等知識，自然就會想到通過消元將原方程組轉為一元二次方程來解之，或將二元二次方程組通過降次轉化為一次方程或有一個一次方程和一個二次方程組來解決。對于分式方程要通過去分母或換元轉化為整式方程來解。對于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。
在數學教學中，教師只要做到精心設計教學環節，科學的提出問題，采取得體的教學方法、適時疏導，幫助學生學會用自己的語言對所學知識進行概括和總結，以知識講方法，以方法取知識，就能夠調動學生學習數學的積極性，達到開發學生智力、提高學生能力的目的。
數學思想論文范文第2篇
計算教學在整個小學階段的數學學習中占有很大的比重，培養小學生“會計算、懂算理”也是小學數學教學的主要目標。盡管數的運算有各種不同題型不同的運算方法，但每一種運算都是由一步運算演變成二步、三步運算，而且由簡單轉化為復雜的。在這個過程中，滲透化歸思想能很好的幫助學生理解算理，提高運算的正確率，起到事半功倍之效。例如：北師大教材一年級上冊中，學生學習20以內進位加法，雖然方法多樣但最重要的方法是“湊十法”，即通過將大數拆成小數（或者小數拆成大數）和其它另一小數（大數）湊成十，將20以內進位加法轉化成簡單的十加幾的計算題，如：8+5=13從而使計算變得比較簡便。再如，北師大教材五年級上冊的異分母分數加減法，北師大教材五年級上冊，異分母分數加減法的教學。由于有了同分母分數加減法的鋪墊，筆者在教學這部分知識時，直接將異分母的分數加減法式題呈現給了學生：①這些分數與我們以前學過的有什么不同？②不是同分母分數，還能算嗎？問題一出，絕大部分學生就意會了，只要把異分母分數轉化為同分母就可以計算了。當學生完成轉化、計算之后，筆者適時追問：為什么不能直接計算？進一步強化了學生的認知：分數的分母不同就是分數單位不同，而分數單位不同的分數是不能直接相加減的，必須要轉化成同分母的分數才能計算。其實在小學階段很多的計算中，如多位數乘法、小數除法、分數除法等都運用了化歸方法，可見化歸的方法運用的廣泛性。
二、圖形教學中的滲透
“圖形與幾何”是小學階段重要的學習內容。無論從認識各種圖形的特征到探究面積、體積的計算，無處不體現化歸的思想方法。尤其在探索面積的計算公式時，滲透化歸思想方法是極好的機會。在圖形面積計算方法的學習上，北師大教材是分三次安排的：第一次安排在三下學習長方形、正方形的面積計算；第二次安排在五上學習平行四邊形、三角形和梯形的面積計算；第三次安排在六上學習圓的面積計算。我們知道長方形面積的計算是平面圖形面積計算的起始課，是以后學習平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形面積的基礎，而平行四邊形面積計算又是學生探究圖形面積計算方法的節點，在這個節點上，化歸思想方法得到很大體現。所以在探究平行四邊形面積計算方法的教學中，引導學生從已有的知識和經驗出發，通過數、剪、拼等一系列操作活動把平行四邊形轉化為我們已知的長方形或正方形，從而很容易的得出平行四邊形面積的計算方法。教學中，要通過追問：你是怎樣把一個平行四邊形拼成了一個長方形？怎么剪的？為什么要拼成一個長方形？什么變了、什么沒變？從而使學生明白：沿著平行四邊形的任意一條高剪開都可以拼成一個長方形，拼成的長方形和原來的平行四邊形相比，形狀雖然變了，但面積沒變。這樣就可以化新為舊、化未知為已知。有了這部分化歸方法的滲透，后面的三角形、梯形、圓面積計算方法的探究過程就會水到渠成。從而讓學生真正體會到數學學習的成就感，享受數學探究的樂趣。
三、解決問題中的滲透
數學思想論文范文第3篇
1 數學思想的基本內涵
數學思想方法是前人探索數學真理過程中的精髓。而數學思想,是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中,經過思維活動而產生的結果,它是對數學事實與數學理論的本質認識,是知識中奠基性的成分。首先,數學思想比一般說的數學概念具有更高的抽象和概括水平。其次,數學思想、數學觀點、數學方法三者密不可分。如果人們站在某個位置、從某個角度運用數學方法去觀察和思考問題,那么數學思想也就成了一種觀點、一種認識。數學思想是對數學理論和方法在更高層次上的提煉和概括,屬于理性認識的范疇。數學思想具有概括性和普通性,而數學方法它具有操作性和具體性。作為數學思想,它不僅比數學方法處于更高層次,而且是數學知識、數學方法的精髓和靈魂,其運用和發展有助于知識得到優化,有助于理性認識迅速構建,有助于將知識轉化為能力。數學思想與數學方法既有聯系又有區別。數學思想具有概括性和普遍性,數學方法具有操作性和具體性。數學思想是數學方法的理論基礎和精神實質。數學思想都是通過某種方法來體現,而任何一種數學方法都反映了一定的數學思想。高職數學中的基本數學思想有:(1)符號化與變元表示思想。包括符號化思想、換元思想、方程思想、參數思想。(2)集合思想。包括分類思想、交集思想、補集思想、包含排除思想。(3)對應思想。包括映射思想、函數思想、變換思想、數形結合思想。(4)公理化與結構思想。包括基元與母結構思想、演繹推理思想、數學模式思想。(5)數學系統思想。包括整體思想、分解與組合思想、狀態運動變化思想、最優化思想。(6)統計思想。包括隨機思想、抽樣統計思想。(7)辯證的數學思想。包括數學范疇的對立統一、普遍聯系相互制約、量變質變、否定之否定、數學化歸、極限思想。(8)整體與局部思想。
高職數學中所蘊含的這些豐富的數學思想,它們與其基礎知識、基本方法一起構成了高等數學的主要內容。同時,又由于這些思想往往隱含在基礎知識和基本方法里,也就伴隨著數學思想產出、發展和完善的過程。隨著科學技術和人類社會的不斷進步,數學思想其內涵也是會更豐富的,內容也是會不斷的延展的。
2 數學思想對高職數學教學的啟示
2.1 數學思想在數學教材內容體系中的呈現
高等職業院校的數學教學是以應用為重點,必需夠用為度,突出職業教育特色。因此,使學生掌握日常生活、生產中必備的數學知識,能以數學為工具解決一定的實際問題應作為高職數學教學的主要目標之一。數學方法是指在提出問題,解決問題(包括數學內部問題和實際問題)的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等,其中包括交換數學形式。但數學教材并不是這種探索過程的真實記錄。恰恰相反,教材對完美演繹形式的追求往往掩蓋了內在的思想方法,顛倒了數學真理的發現過程。整個高等數學其主要思想觀點就是運動與變化的觀點,以運動與變化的觀點去考察問題,從運動與變化中去認識事物,這是唯物辯證法在數學中的反映。例如,高等數學就是從圓的內接正多邊形面積的變化中去認識圓的面積,從割線運動中去認識切線,從平均速度的變化中去認識瞬時速度等等。而初等數學基本上不涉及運動與變化,只是在幾個相對固定量的關系中從已知求未知。研究對象從初等數學主要研究常量的運算和固定不變圖形的性質,反映運動與變化的數學概念是變量與函數,到高等數學是以變量及變量之間的依賴關系函數作為研究對象。解決問題的基本方法是極限,這是因為在數學和科學技術應用發展中,所帶來出現的問題表現出的矛盾,如“曲”與“直”、“均勻”與“非均勻”等等,雖然各自的具體意義千差萬別,但表現在數量關系上都歸結成“近似”與“精確”的矛盾。解決這一矛盾的有效方法就是極限方法,借助于這實質上深刻的辯證法,使人們清楚地看到,定不變的事物是過程、運動的結果。高職數學內容全面,結構嚴密,通過本課程的學習可以使學生初步獲得從數和形兩個方面洞察現實世界、用數學方法解決問題的能力。同時,它能提高學生的科學和文化素質。找到他們學習中遇到的問題和困難調動和激發學生在教和學中的積極性,發揮他們的潛能,為學生后續課程學習的奠定必需的數學基礎。使學生明白高等數學這門課程正在滲透到許多專業基礎課和專業課當中。高職數學既是工具,又是文化,學生自身也要加強對高等數學應用能力的培養。才能獲得掌握和認識新理論、新知識、新方法強有力的工具。教師在傳授知識的過程中應使數學思想的精神得以完整的體現。使學生了解和認識一個較為完整的數學知識體系。
2.2 數學思想是課堂教學實施的精髓,是學生能力培養的核心指導思想
數學既有一般科學的特征,又具有橫向移植的特點,因而在整個科學領域中有著廣泛應用。數學方法是指用數學語言表述事物的狀態、關系和過程,并加以推導、演算和分析,以形成對問題的解釋、判斷和預言。數學思想以解決問題為根本,指導人們從數學概念、命題、規律、方法和技巧的本質認識中獲取解決自然科學、技術科學或社會科學等各個方面問題的具體途徑、策略和手段。數學是集嚴密性、邏輯性、精確性和創造性與想象力與一身的學科。它的這些特點決定著高職數學教學培養目標是使受教育者不僅具有一定的數學素質和應用數學知識去發現問題和解決問題的能力,而且要使學生通過學習數學,更具有敏銳的洞察能力、分析歸納和邏輯推理能力,將抽象性的邏輯思維和創造性的發散思維結合起來,創造性地應用數學知識去解決現代科學技術所面臨的許多問題。進入高職學習的學生,他們在面臨的學習方法和學習形式上都發生了重要的變化。目前對于入學的高職學生群體中體現入學起點較低,中學數學基礎知識的能力水平參差不齊,由于高職數學要求的是“以應用為目的,以必須夠用為度”教學原則,教學時間和教學內容上都進行了壓縮和調整,對教師要求備課中要深入鉆研教材和參閱有關參考材料,要善于從具體的數學知識中挖掘和提煉出數學思想方法,要預先把全書、每單元章節所蘊涵的數學思想方法及它們之間的聯系搞明確具體,然后統籌安排,有目的、有計劃和有要求地進行數學思想方法的課堂教學提出了更高的要求。教師在教學過程中應首先培養學生學習數學的興趣,因為“興趣是最好的老師”。教師要注重運用啟發式教學原則,充分調動學生學習數學的積極性。備課充分、規范,教學態度端正,治學嚴謹,關心學生,做學生的知心朋友。教師在教學應教育學生樹立學好數學的信心,調動和激發他們的學習熱情,深刻去體會數學思想的作用和意義,逐步形成良好的學習能力,鍛造學生的辨證觀。例如,導數概念在工程技術上更多的是被稱為在一點的變化率,在數學課上強調這一點,可使學生迅速地接受專業概念的數學描述;另一方面還要對數學概念的實質分析透徹,以使學生能夠意識到哪類專業問題可以使用相應的數學概念去表述,應用相應的數學知識去解決。對于習題課的教學中,要盡可能注意避免陷入模式化的算式形式,著重要以應用為中心,生動活潑地突出應用,引導和啟發學生運用數學思想和方法去思維,而去解決實際問題作用,也還要能使不同水平的學生都能意識到數學的意義,從中領略到自己需要的東西。
2.3 數學知識背景學習能深化學生對數學思想的認識
學生在數學教學過程和學生的學習過程中,教材是按知識的體系編寫的,是邏輯的,嚴謹的。對于知識產生的背景和解決的過程介紹的甚少。適當地給學生介紹有關數學發展史,適時開展一些數學講座如“數學熱門話題”,“數學史上的三次危機”等,開闊學生眼界。在高職數學教學中適時去介紹和挖掘教學內容與所學專業和實際生活中實例的聯系,也會對學生學習數學知識起到一定的作用,對他們也能夠形
成良好思維和學習興趣也有幫助。這樣既能突出高職的培養目標,學生充分了解數學的發展、數學的價值,培養學生戰勝困難的決心,去激發學生的求知欲望。
2.4 數學思想對教師素質的要求
數學知識在當今的國民經濟發展和科學技術中得到廣泛的應用,同時也在不斷的知識擴充和延展。對于我們教師來說,自己知識的學習和提高從來都是必要的,也是重要的。同時,數學教師還應充分發揮其自身的人格魅力,以增強數學教學的實效性。這樣的高職數學教學中,自然也會對教師素質的要求會更高。面對高職學生的能力培養,同時也是一個復雜的系統工程,讓教師和學生都要意識到數學知識的傳授和學習,不單單僅是各自單方面所要完成的任務,也是在“教”與“學”的過程中,對學生的數學素質、科學的思維能力建立與培養的過程。這樣才能去提高學生的綜合素質,培養出基礎知識扎實,應用能力好,具有良好品格的高等技能型適用人才。
數學思想論文范文第4篇
“親其師，信其道，樂其學”．和諧的師生關系，是教學中師生交流合作活動的基礎、動力和保證．首先，教師在進行教學的過程中要不斷重視自身的情緒表達，培養起良好積極的情緒范圍和情緒能量．其次，和諧的師生關系，也是學生產生積極情感體驗的手段．和諧的師生關系需要教師與同學的共同經營，其中一個重要方面就是教師對每個學生自有品性及人格的認可．例如，在接任七(4)班的數學教學工作時，我認識了小霞．由于先天智力不行，加上后天不認真和單親家庭，她很自卑，導致學習落后．同學們譏笑她，家長也責備她．開學后，我首先制止同學們對她的譏笑和瞧不起，動員大家給她更多的關心和愛護．學習與生活中的每一絲進步都及時進行肯定，不僅在同學面前正式鼓勵，還及時向她的家長肯定她的成長，這種肯定不僅表現在語言上，也體現在每次的善意眼神及行為中．由于老師的表率作用，帶動了全班同學對她的尊重．她逐漸走出了自卑的陰影，有學習的興趣，成績也提高了，人也開朗了．教師對學生的關愛和尊重，教師的每一個眼神、每一句話中，都可以使學生受到激勵，感到振奮，從而形成一種積極向上的情感．這種學習情緒的調動更是單純的學習溝通無法帶來的，只有良好情緒的共同感染才能引起．于是，教師的情緒便對學生的情緒起著尤其關鍵的影響與作用，只有讓學生真切地感受到自己對教學及學生的熱忱、積極向上的教學情緒、真誠自然的教學態度，才能讓學生感受到積極輕松的氛圍，繼而在這種課堂氛圍下接納授課內容．我會真誠對全體學生說:“老師的教學需要全體同學的支持和配合，老師愿意和同學們一起學好數學．我不期盼學生背負著從前一紙成績的壓力，更期待的是學生擁有良好的心理，和建立在良好心理基礎上的奮斗意識．一切從現在開始，只要肯努力，我相信每個同學都會進步!”在執教過程中，對于學習成績與動力暫時不突出的同學，課上在尊重為主的前提下關注這些學生的行為，更是及時肯定他們踴躍參與課堂活動的表現;平時對他們學習上的困難進行耐心輔導，關注他們的點滴進步，不斷給他們加油鼓勁，使他們總是生活在希望之中．我真切地意識到，在老師孜孜不倦的鼓勵與肯定下，學生往往會形成更多的學習主動性與積極性，進而取得更多的進步．
二、以情引趣，創設新鮮的學習情境，讓學生學習勁頭足
數學教學不僅是一種活動，而且是一種充滿情感交流的過程．師生的交流溝通，不僅應飽含情感與尊重，更應在這樣的基礎上及時鼓勵學生的積極性，這樣才能將精神源頭轉化為實際行為．在教學過程中，對教材的深度鉆研是合理規劃課堂內容的基礎，在這一層面上將數學教材總結的生動有趣，才能使學生有更大興趣．興趣是通往一門新知識的鑰匙，學生的興趣能夠深層影響其學習動力．在講授數學知識時，可以更多設立中等難度引導學生思考的范圍，讓其進行積極深入的思索，引起學生對新領域新知識的興致．班里幾個同學在拋硬幣，教師可以提問:一個硬幣正面向上的可能性有幾種?兩個呢?這樣的引發學生思考的提問，能夠逐步地引發學生的疑惑與求知的欲望，進而讓學生在新課程的講授中更加集中注意力并積極參與，在接下來的課程中，接二連三的拋出讓學生思考的問題，將課程的講授自然地深入進行，而學生也就在稍有間斷的思考中不斷獲取新的書本知識．然后又問:三個硬幣呢?學生帶著疑問看多媒體計算機演示．精心安排與引導的課程環節，能夠讓學生一直處在被求知欲與好奇心包圍的氛圍之中，教師不僅將課本知識得以傳授，更可以通過輕松有趣的溝通方式與學生建立情感深入交流，讓全體學生都在輕松的學習過程中體會到獨立思考的樂趣，通過多次這樣的教學慢慢培養學生主動思考與積極參與的有益習慣．
三、以情促知，恰當地將知識潛移默化，能使學生興奮，對正確理解和鞏固知識有好處
贊可夫認為，少兒的情緒反應和其好奇、疑惑、思考、探索等行為是緊密相關的，并且會互相影響．也就是說愉悅、輕松、有成就感的學習過程能夠潛移默化地引導學生的學習行為，進而達到促進學習勁頭的良性循環．然而，這樣的良性循環并不是一次或幾次就能達到的結果，授課的過程是漫長且需要耐心的，根據不同學生的基本情況進行分層次教學模式，不對優秀學生偏袒也不對暫時落后的學生另眼相看，在讓每一位學生都能感受到相比從前自己的進步，讓學生從內心深處認可自己的進步與潛力，在不斷提升的自我認可度基礎上，逐步用行動證明自身的努力成果．在教學過程中，我力求做到如下兩點:一是反饋練習的設計注重層次性，突出針對性:足量的基本練習給基礎較差的學生創設了成功的機會;設置不同層次的練習題目，分為必做和選做等多種題型，這樣就能讓學習成績較好的學生有更多的發揮空間與求學動力，不會感覺到知識的信手拈來，讓這部分學生迎難而上．二是練習形式的多樣性，增強趣味性．鞏固反饋階段，有書面練習，口答練習，也有動手操作練習，有小組合作，也有競賽，調動學生學習的積極性，激發他們的學習興趣，動靜結合，充分開發學生的潛能，增強學生以學為主的情感．
四、以言喚情，用情促行
教學語言既是一門科學，也是一門藝術．它是提高課堂教學效果行之有效的重要手段．有人說“教師應該是語言大師”．這句話說得非常恰當，因為教師就是通過語言來授之以理、授之以法的．有的教師總是能把一節課講得有聲有色，很好地完成教學任務．而有的教師則詞不達意，言不傳情，因此效果極差．可見，課堂教學語言的藝術是多么重要．在數學教學過程中，教師的專業術語精確練達固然重要，更讓學生產生情感共鳴的還應是教師的言語方式及個人風度涵養，優秀的師風師德配合表達風趣、結構嚴謹的語言，必然能吸引更多學生的注意力與求知欲．例如，有的教師在初次接觸幾何課的學生面前，用一支筆能測量高樓的懸殊對比這一生動例子，很好地抓住了學生的疑惑心理，學生聽后目瞪口呆，隨后議論起來如何測量．教師提問:想知道如何測量嗎?學生回答非常想知道．那我們必須學好八年級的幾何!本節課學生情緒高漲，聽得、學得、做得都非常認真、入神、到位．在上課的同時，教師要經常用“你太棒了!”“還有別的做法嗎?”用這樣的提問式語句與互動方式，提供給學生自主發揮想象空間的平臺，通過幾何就在生活中隨處可見的例子，拉近新課程與學生的心理距離．
五、結語
數學思想論文范文第5篇
關鍵詞：算經十書，傳統數學思想，新理解
Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.
KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding
在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。
1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧
就數學內容而言，“算經十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識。“算經十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。
“算經十書”中最早的一種《周髀算經》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數學思想的一些初步端倪。當周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？”時，商高答道：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接著，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”這里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經看到了數學的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數學知識的人（如高商），是注意數學思想和數學方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數之所由生”，是將形與量結合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數量關系的，從考察形可以探討到“數之法”，但這形中又包含著豐富的數量關系，特別是平方關系（九九八十一）。數之法是從圓形和方形開始的。圓是內接正多邊形經過無數次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數的性質來研究形的性質的思想，與古希臘的數學思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理：a2+b2=c2。而當a=b=1時，則
c=，這既不是自然數，也不是自然數之比，所以不能是可接受的正常的數，被稱為無理數，導致了第一次數學危機，從此古希臘數學發展的方向產生了大改變，“幾何化”占了主導地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關系可以體現出勾股定理，但中國并沒有由此而產生數學危機，也沒有發生發展方向的大改變，反而為“幾何代數化”[2]這個中國傳統數學發展主導方向奠定了很好的基礎。中國早期講究以算的方法去解決實際數學問題，是“數之所由生”的重要思想。
在古代，不管是西方國家或中國，數學的發展都跟勾股定理結下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發展脈絡的科學認識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數學研究活動，很自然地會碰到考察形的性質及數量關系，直角三角形成為關注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關的數學知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導致數學發展的不同朝向，至少在初等數學領域內是存在的。古希臘在數、形簡單和諧的觀念被打破之后發生大轉向，從重算發展到重證，發展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發展趨勢和成果的集大成標志——歐氏幾何的產生，它是西方國家初等數學體系確立的標志，而中國此時并不發生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續前進，往廣度和深度上延伸發展，導致的是中國傳統數學體系的形成——《九章算術》的出現。《九章算術》中有許多具有世界意義的成就，如負數計算、分數計算、聯立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結果。可貴的是，我們的祖先在此數學思想的指導之下，并不以原有的結果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進，而是精益求精地深入下去。如《九章算術》246道題，有解題方法202“術”，在當時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術》的基礎上，仔細作注，不但為《九章》提供了系統的理論依據，而且大力向前推進，提出了許多創見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數學思想，提到一個更高的水平，并對后世的發展帶來了深刻的實際影響，如他發現的割圓術，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎，唐李淳風注《九章算術》時說：“劉徽特以為疏，遂乃改張其率，但周徑相乘數難契合。祖沖之以其不精，就中更推其數。”劉徽本人告誡人們他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續前進，將π值愈推愈精確。在求積問題上，劉徽也有突破，他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論，之后，祖暅在劉徽研究的基礎上，精益求精，得到了聞名于世的“祖暅定理”，并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧，正是在一條清晰的傳統思維途徑――探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如《張丘建算經》自序中這樣寫道：“其夏侯陽之方倉，孫子之蕩杯，此等之術皆未得其妙。故更造新術推盡其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一層樓，就是《張丘建算經》的數學指導思想，正是在此思想的指導之下，出現了舉世聞名的“百雞問題”。
2．講究明確的思想依據
數學思想研究的是數學產生和發展的思想方法和思想依據。“算經十書”不僅在數學知識上光彩耀目，在數學思想上也獨樹一幟，其顯著的特點是對于作為每項有意義的數學成果，都講究其明確的思想依據。
劉徽精細地注釋了《九章算術》，從而確立了中國傳統數學理論體系。劉徽的數學思想和方法，對后世影響極深。如王孝通在《上緝古算經表》中云：“徽思極毫芒，觸類增長。”說劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數學，是十分講究明確的思想依據的。“算經十書”中有二部與他密切相關。《九章算術》由于有了劉徽注，從此中國傳統數學有了自己的理論體系；他在注《九章算術》時補撰“重差”，其單行本即《海島算經》。劉徽注《九章算術》時，十分講究數理之道要有明確的思想依據。在《九章算術》注原序中，劉徽說：“徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。”在“圓田術”注中，劉徽寫道：“不有明據，辯之斯難”，于是，他在創造“割圓術”的同時，還告訴人們此種創造是有依據的：“謹接圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬。故置諸檢括，謹詳其記注焉。”在“開立圓”（由球的體積以開立方的方法求其直徑）注中，劉徽創立了“牟合方蓋”理論，他不僅介紹了有關方法，而且還言明思想依據，“互相通補，……觀立方之內，盒蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。”但他又擔心依據不足，惟恐理法相違，專門作了交待，以待后人獲得更嚴密的依據：“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數理的思想依據的重視，也深深領悟到他們治學嚴謹的高尚風范。在談到將割圓術作為解決有關極限問題的工具時，劉徽也闡述了其思想依據：“數而求窮之者，謂以情推，不用算籌”（“陽馬術”注）。意思是說，數學中凡解決有關無窮之類問題時，不必用算籌去計算，應當用數學思想去把握。再拿《海島算經》來說，劉徽為什么要寫《海島算經》呢？其思想依據是什么?在《九章算術》劉徽注原序中，劉徽清楚的說明“蒼等為術猶未足以博盡群數也”，于是“輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于句股之下”，“以闡世術之美”。而造“重差”此術的思路是：要測量不可到達目的物的高和遠時，一次測望不夠，于是采用二次測望、三次測望、四次測望，即“度高者重表，測深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次）、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是，劉徽并不是勉強、被動地去考究數學知識之思想依據的，他認為數學思想與數學知識之間本身具有非常緊密的聯系，他用庖丁解牛來闡述此層道理：“更有異術者，庖丁解牛，游刃理間，故能歷久其刃如新。夫數猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤”（《九章算術》方程術注）。
自劉徽之后，“算經十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據，如四庫總目提要中稱：《張丘建算經》之體例，皆設為問答，以參校而中明之，簡奧古質，與近求不同，而條理精密，實能深究古人之意。正因為此書注意講究數學的思想依據，因而對掌握數學知識的來龍去脈很有益處，“故唐代頒之算學，以為專業”。就是在我國近年的中學數學課本中，還列有《張丘建算經》的題目。
此外，“算經十書”中關于數學證明的部分，也講究要有明確的思想依據。[3]
