數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用

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數(shù)學(xué)學(xué)科具有抽象性和邏輯性的特點(diǎn)，在初中生學(xué)習(xí)這一學(xué)科時(shí)，通常會(huì)因?yàn)槠渲心承┻^于抽象性或過于邏輯性的知識(shí)而停滯不前，使得初中生在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方面較弱，但即使這樣，初中生也不應(yīng)該放棄對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)。初中生在解決數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中的實(shí)際問題時(shí)，其可以將數(shù)形結(jié)合這一方法運(yùn)用到自己的解題過程當(dāng)中，通過數(shù)形結(jié)合法將實(shí)際問題當(dāng)中的數(shù)據(jù)利用圖形顯現(xiàn)出來，進(jìn)而使其能夠更容易地理解題意，這有助于其解決實(shí)際問題。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵

伴隨國家教育工作的持續(xù)完善和進(jìn)步，各個(gè)階段的教育教學(xué)獲得了長足發(fā)展，在面向社會(huì)培養(yǎng)現(xiàn)代化人才方面也做出了積極貢獻(xiàn)。不過培養(yǎng)合格人才并不是短時(shí)間內(nèi)可以完成的任務(wù)，需做到循序漸進(jìn)將其作為一種長期工程來抓，尤其是要打牢基礎(chǔ)。眾所周知，初中階段的教育教學(xué)是整個(gè)教育系統(tǒng)當(dāng)中非常基礎(chǔ)和關(guān)鍵的部分。數(shù)學(xué)是初中教育當(dāng)中難度大但卻非常重要的學(xué)科，特別是在學(xué)生考取大學(xué)以及研究生的過程中有著非常突出的價(jià)值。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，很多時(shí)候并不是考驗(yàn)學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的掌握，而是看學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而數(shù)形結(jié)合這一思維就逐步進(jìn)入人們的視野。所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是把抽象化的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)量間的關(guān)系用直觀化的圖形表示的一種思想與思維方法。數(shù)和形可謂是數(shù)學(xué)當(dāng)中兩個(gè)最古老和最為基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件之下是能夠相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想方法，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中主要涉及到兩種情況，分別是以數(shù)解形和以行助數(shù)。數(shù)形結(jié)合方法能夠讓復(fù)雜問題簡單化，也可以把抽象問題具體化，讓學(xué)生能夠輕松找到最為理想的解題方法。在初中階段的解題實(shí)踐當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合法可以用在解決集合、函數(shù)、方程和不定式、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、數(shù)列、集合、分?jǐn)?shù)、解析幾何、立體幾何、絕對(duì)值等類型的數(shù)學(xué)問題中。

二、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

（一）在函數(shù)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于數(shù)形結(jié)合這一方法，其適用于很多類型的題，而函數(shù)題就是其中的一種題型。在初中生遇到與函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)，其便可以利用數(shù)形結(jié)合法來解決實(shí)際問題。其可以首先逐字逐句地閱讀題意內(nèi)容，并在閱讀的過程中將題目當(dāng)中重點(diǎn)數(shù)據(jù)勾畫出來，在此之后，其可以再次閱讀題目內(nèi)容，然后根據(jù)題目內(nèi)容和勾畫出的重點(diǎn)內(nèi)容來畫出圖形，然后了解題目當(dāng)中的關(guān)系，最后再結(jié)合所畫圖形和題目內(nèi)容來解決實(shí)際問題。初中生在利用數(shù)形結(jié)合法來解決函數(shù)問題，便可以大大降低題目的難度，有助于初中生更快、更高效地解決函數(shù)問題，有助于提升其解題能力。在初步講解數(shù)形結(jié)合這種方法時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)這種解題方法不夠熟悉，在自主運(yùn)用方面會(huì)出現(xiàn)疑問，于是可以先選取典型的函數(shù)例題，并引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合技巧逐步完成問題解答任務(wù)，從而梳理解題思路和解題技巧，提高對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用準(zhǔn)確度。教師在示范教學(xué)當(dāng)中應(yīng)該將畫圖和講解結(jié)合起來，并給學(xué)生參與和發(fā)揮的空間。例1：已知二次函數(shù)y=x2-6x+8，設(shè)此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，現(xiàn)已知在圖像上取一點(diǎn)C，然后連接AB，AC，BC，得到一個(gè)三角形，且此三角形的面積為1，試求C點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：此題為二次函數(shù)題，我們?cè)谟龅竭@一問題時(shí)，首先想到的應(yīng)該是將二次函數(shù)的圖像和A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)出來，然后再進(jìn)行問題的求解。如圖1即為此題圖像。解：在作出圖1后，我們可以首先令y=0，求出x1=2，x2=4，所以此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別為（2，0）、（4，0），而其與x的交點(diǎn)即為A、B的坐標(biāo)，在此之后，我們可以列出三角形的面積方程12×AB×C'F×yc=1，由此可以解出x3=3±姨2，驗(yàn)證可知，當(dāng)C在圖像頂點(diǎn)時(shí)同樣成立，此時(shí)x4=3，所以坐標(biāo)分別為（3±姨2，1）、（3，-1）。例2：已知函數(shù)y1=|x|，y2=x+，在y1＞y2時(shí)，試求x取值范圍？解析：針對(duì)本道函數(shù)題的求解，我們可以選擇借助不等式性質(zhì)來進(jìn)行求解，即將給定的y1=|x|，y2=x+代入y1＞y2當(dāng)中后采取分類討論的方式去掉絕對(duì)值，以此來推導(dǎo)出x的取值范圍。但是這種計(jì)算方式會(huì)增加我們的計(jì)算量，并且很容易出現(xiàn)計(jì)算失誤，整個(gè)解題過程非常復(fù)雜。如果我們換個(gè)角度思考問題，在求解問題過程中首先繪出y1=|x|，y2=x+兩個(gè)函數(shù)的具體圖象，之后可以對(duì)照?qǐng)D象來直觀地對(duì)比二者的大小情況。解：在平面直角坐標(biāo)系中繪制出y1=|x|,y2=x+，可得圖2，并且可以得到圖中A和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1,1）和（2,2），同時(shí)作一條平行于y軸的直線，并將該條線進(jìn)行平移，這樣可以直觀地得到本道題的正確答案為：x＜-1或x＞2。由此可知，在我們遇到求解某些比較復(fù)雜的不等式相關(guān)函數(shù)問題時(shí)，要盡量不直接采取求解不等式的方式求解問題，而應(yīng)該換個(gè)角度思考問題，靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，采取作圖的方式將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行直觀求解問題，這樣可以大大簡化問題求解過程，降低我們解題的難度。

（二）在代數(shù)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法

代數(shù)題也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較多見的一種題型，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。在求解這類數(shù)學(xué)題型中，如果我們按照解應(yīng)用題的思路來求解問題，那么整個(gè)過程比較耗時(shí)，并且最終的結(jié)果準(zhǔn)確度無法保證。此時(shí)如果我們可以想辦法靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，那么可以簡化代數(shù)題的求解過程，提高我們解題的準(zhǔn)確度。例3：已知函數(shù)y=x2姨-6x+34+x2姨-2x+5，試求y的最小值_____。解析：這道題是考查我們求解代數(shù)式最值能力的一道例題，求解中我們可以直接運(yùn)用代數(shù)式求值的方式來對(duì)這道題進(jìn)行求解，即首先對(duì)題目給定函數(shù)y中的兩個(gè)根號(hào)進(jìn)行配方，得到y(tǒng)=(x-3)2姨+25+(x-1)2姨+4，要使y值達(dá)到最小值，那么要保證兩個(gè)根號(hào)同時(shí)取得最小值。這樣的求解思路很容易使我們陷入解題困境，此時(shí)如果我們可以認(rèn)真觀察題目中的根號(hào)特征，并聯(lián)想平面中任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)公式，那么可以快速構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)圖像來簡化這道題的求解過程，提高我們解題的準(zhǔn)確度與效率。解：∵y=x2姨-6x+34+x2姨-2x+5，∴y=(x-3)2姨+25+(x-1)2姨+4∴y=(x-3)2+(0-5)2姨+(x-1)2+(0-2)2姨基于該式，可知只需要在坐標(biāo)系的x軸上面確定一點(diǎn)C（x,0），使其到坐標(biāo)A（3,5）和B（1,2）兩點(diǎn)之間的距離之和達(dá)到最小值即可，所以這時(shí)候我們可以靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造圖3所示的坐標(biāo)系。然后可以直接利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)定理來快速判斷C點(diǎn)所在的位置。經(jīng)過求解可以得到此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（117，0）。圖3由此可知，在我們求解代數(shù)題的時(shí)候可以對(duì)代數(shù)式的相應(yīng)形式進(jìn)行認(rèn)真觀察，如果發(fā)現(xiàn)其中涉及到距離模型，那么這時(shí)候可以聯(lián)想“將軍飲馬”問題的求解，巧用數(shù)形結(jié)合思想來將代數(shù)問題求解轉(zhuǎn)換為幾何問題求解，這樣可以大大降低我們的求解難度，提高整體的解題準(zhǔn)確度與效率。

（三）在應(yīng)用題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法

應(yīng)用題與簡單的選擇題、填空題不同，通常大多數(shù)的選擇題、填空題都是一些比較簡單的題目，在初中生做這些題型時(shí)，通過簡單的計(jì)算便可以解決，甚至直接觀察便可以得出答案，但對(duì)于應(yīng)用題，無論簡單或是復(fù)雜，其都需要進(jìn)行一定的理解和計(jì)算，而在此時(shí)，初中生便可以利用數(shù)形結(jié)合法來解決問題。在利用數(shù)形結(jié)合法來解決問題時(shí)，其可以首先根據(jù)題目數(shù)據(jù)來畫出圖形，然后通過圖形來簡單地觀察和判斷題目當(dāng)中的一些位置關(guān)系等，再利用這些得出的結(jié)論來解決實(shí)際問題。通過這一方法，便能夠大大簡化初中生的解題步驟，進(jìn)而提升初中生的解題速度。當(dāng)然這種方法還可以讓學(xué)生今后再面對(duì)應(yīng)用題時(shí)，消除膽怯抵觸的情緒，思考可以運(yùn)用的解題技巧，把握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。例4：已知有一個(gè)三角形ABC，做出它的高為AD，然后分別做∠A和∠B的角平分線，其交BC與AC分別為E、F，且AE與BF相交于點(diǎn)O，∠CAB=°，∠C=°，試求∠DAE和∠BOA的度數(shù)。解析：在我們遇到這一問題時(shí)，如果憑空想象，那么無法快速找到解題的突破口，因?yàn)槠渲猩婕暗降亩际浅橄蟮膸缀沃R(shí)，所以求解的時(shí)候可以嘗試采用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題進(jìn)行直觀化處理，這樣可以幫助我們快速求解問題。解：首先，要根據(jù)題意內(nèi)容畫出圖像，圖像如圖4所示。

（四）在線性規(guī)劃題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法

線性規(guī)劃題便是一個(gè)典型的利用數(shù)形結(jié)合法來解決的數(shù)學(xué)問題，在遇到這一問題時(shí)，初中生必須要根據(jù)題目內(nèi)容畫出圖形，然后在此之后再去解決特定問題。在遇到此類問題時(shí)，初中生首先就應(yīng)該根據(jù)題目內(nèi)容來畫出正確的圖形，找出正確的區(qū)域，然后再根據(jù)題目要求計(jì)算出問題的答案。由此可知，在線性規(guī)劃類的題型中，利用數(shù)形結(jié)合法來解決問題是十分重要的，只有畫出了正確的區(qū)域，才能夠根據(jù)問題的要求逐步得出問題的答案。因此，初中生在遇到這類問題時(shí)，應(yīng)該牢記利用數(shù)形結(jié)合法來解決問題，只有這樣，才能夠正確快速地解決問題。綜上所述，初中生在解決實(shí)際問題時(shí)，只要懂得將自己所學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行變通，不斷的探索，而后不斷獲得更多簡便的解題技巧，最終利用自己探索出來的解題技巧來解決實(shí)際問題。在解決一些實(shí)際問題時(shí)，初中生便可以利用數(shù)形結(jié)合這一方法，通過這一方法將題目當(dāng)中的重要數(shù)據(jù)更直觀地展現(xiàn)出來，最終使其能夠更清楚地理解題意內(nèi)容，最終提升其數(shù)學(xué)學(xué)科的解題能力。

作者:徐建國 單位:如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)