數學發現的哲學反思

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一、數學美學的追求是數學發現的內驅動力

一個正確的數學理論，就其反映現實世界的量的內在規律性而言，就是數學的真；就其實現對外部現實和目的的要求而言，就是數學的善；就其體現人的能動的創造力而言，就是數學的美。美學的真、善、美在本質上是一致的，統一于人類的社會實踐。因此，對于數學美的追求，在數學發現中具有重要意義。首先，美感來源于客觀現實中的美，是人的一種特殊的復雜的心理現象，包含著豐富的想象、情感和豐富的理解，是諸種要素共同活動的結果。在一定意義上來說，沒有美感就不會有數學發現。龐加萊曾指出：“科學家研究自然，并非它有用處，他研究它，是因為他喜歡它，他之所以喜歡它，是因為它是美的。如果自然不美它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫無意義。正是這種美使物體，也可以使結構具有讓我們感官滿意的彩虹的外表。沒有這種支持，這種疏忽即逝的夢幻之美其結果是不完美的，因為它是模糊的，總是短暫的。相反，理性美可以充分達到它自身，科學家之所以投身長期而艱巨的勞動，也許為此緣故甚于為人類未來的福利。”當代有名的數論大家賽爾伯格說，他喜歡數學的一個動機。其次，美學的考慮選擇正確的研究方向。龐加萊指出：“數學創造實際上是什么呢？它并不在于用已知的數學實體作出新的組合。任何一個人都會做這樣的組合，但這樣的組合在數目上是無限的，他們中的大多數完全沒有用處。創造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數極少的組合。

發明就是識別、選擇。”20世紀以來，科學分化與科學綜合的辯證運動，一方面使得數學的分支日趨繁多、精細，另一方面又使數學在不同范圍、不同層次上結合為有機整體。面對又分化又綜合的數學發展潮流，要想作出新的數學發現，更需要選擇正確的研究方向。數學美感是作出正確選擇的一個必須遵循的準則。數學美的簡單性、對稱性、統一性和奇異性都是作出正確選擇的重要原則。第三，鑒于現代數學的高度抽象性，美學的考慮對于評價數學理論也具有一定的作用。數學發展的歷史表明，如果一種數學理論符合數學美學原則，那么這種理論就具有更大的生命力，它就能被流傳下來，得到進一步的發展；否則就會被淘汰、遺棄。例如，概率論是從量的側面研究隨機現象的一門科學，它的產生始于17世紀，由于人們對概率論概念的不同理解，因此所建立的體系也不完全一樣，最迷人的體系是前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫的概率論。[2]用數學美的原則來評價，他的理論體系顯示了數學的簡單美和統一美，不僅對論述無限隨機試驗序列或一般隨機過程給出了足夠的邏輯基礎，而且應用于統計學也很方便。所以他的概率論得到了進一步發展，后來又產生了不少的分支。從認識論上來分析，人類的實踐需要，以實踐為主導的實踐同認識的矛盾，是數學發展的最終動力；同時，數學發展到一定階段，在一定程度和一定范圍內具有相對獨立性，數學體系的內部矛盾、各種數學理論的矛盾、數學理論與審美標準之間或數學美形態前后之間的矛盾，也都成為數學發現不可缺少的內在推動力。在數學發現的過程中我們既應重視美學的考慮也不應忘記數學發展的根本動力在于實踐。

二、數學直覺是數學發現的源泉

直覺是指對事物直接的覺察、領悟甚至是印象。數學直覺則是對數學對象或數學問題的直接領悟或覺察。隨著科學由經驗時期發展到理性時期，直覺在數學發現中的作用越來越引起人們的關注。[3]數學直覺是數學創造的一種思維方式，在數學家的創造性思維活動中可以找到很多實例。例如古希臘數學家阿基米德奉國王之命，鑒別王冠的質地是否純正。他花了很多心血，但許久找不到合適的方法。在感到特別疲勞的時候，他來到浴室。當他跨進澡盆，看到溢出盆外的水時，突然受到啟發，連連高喊“：我知道了！我知道了！”在隨后的實驗中，阿基米德不僅揭開了王冠之謎，還發現了有名的浮力原理。龐加萊曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具。”“沒有直覺，數學家便會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但確是毫無思想。”愛因斯坦曾說過“：真正可貴的因素是直覺。“”我相信直覺和靈感。”大量史實證明，龐加萊和愛因斯坦的論斷是正確的，直覺思維有邏輯思維所不能替代的特殊作用。主要表現在以下幾個方面：

首先，在科學認識活動中，科學家常常依靠直覺進行辨別、選擇，找到解決問題的正確道路或最佳方案。阿達瑪指出：“構造各種各樣思想的組合僅僅是發明創造的初步。正如我們所注意到的，也正如龐加萊所說的，發明創造就是排除那些無用的組合，保留那些有用的組合，而有用的組合只是極少數的。因此我們可以說，發明就是辨別，就是選擇。”人們在嘗試解決復雜的問題時，大都預先要遇到許多可能的思路，究竟先選擇哪條思路？單憑邏輯思維或形象思維往往難以解決，在不少情況下需要借助直覺力量，憑借直覺去辨別、去選擇。

其次，憑直覺啟迪思路，發現新的概念、新的方法和新的思想。科學發展的歷史表明，許多重大的科學發現，既不是從以前的知識中按嚴格的邏輯推理得到的，也不是作為經驗材料的簡單總結、歸納而形成的，科學家當解決問題的邏輯通道受到阻塞時，常常憑借直覺從大量復雜的材料中，直接得出結論，作出新的發現。龐加萊就是在山巖上散步時，突然想到不定三元二次型的算術變換和非歐幾何的變換方法是完全一樣的。

第三，利用直覺獲得猜想（公理或假說），然后演繹推出若干定理，建立科學理論體系。我們的數學教育不能忽視直覺力的培養，這樣不僅可以使青少年的學習是創造性的，而且在使他們學好數學的同時變得更聰明，并為未來做好更充分的準備，人類的未來與創造性的關系更密切。因此，從經驗事實上升科學理論是十分復雜的創造性思維的活動。一般說來，在建立首創性理論的過程中，直覺常常起主導作用。

三、數學發現內容、思想方法及意義

數學發現的內容十分廣泛，大體上包括數學問題的發現，數學概念、數學規律、數學方法的發現和數學理論的發現三個互相聯系的基本層次。數學問題是數學發現的基礎性層次內容。發現問題提出問題是全部數學發現的基礎。數學概念、規律和數學方法是數學發現的一個中介性層次的內容。數學理論是數學發現的最高層次的內容。[4]數學同其他各門科學一樣，在其發展的進程中，形成了一整套思想方法，數學思想方法是數學的靈魂。歷史表明，一個重大數學成果的取得往往與數學方法的突破分不開。類比猜想和歸納推廣是數學發現的重要方法，而觀察、嘗試是進行猜想的必要前提，聯想化歸是進行猜想的必要方法。一個好的數學發現必須以細致的觀察為前提，正如愛因斯坦所指出的“即使是最明晰的數學理論，它本身也不能使真理得到保證，要不是用自然科學中的最準確的觀察來檢驗，它也是毫無意義的。”羅巴切夫斯基在19世紀20年代提出非歐幾何時，許多著名數學家都很不理解，直到本世紀初，非歐幾何在相對論中得到了成功的應用，現代天文學又發現大質量的周圍空間的非歐幾何性質，羅巴切夫的非歐幾何學才最終被證實。數學發現的意義在于，首先，它推進數學研究。研究數學發現的認識與方法，有助于拓寬人們的思路，推進數學研究工作。在科學技術突飛猛進的今天更具有重要的現實意義。據估計19世紀的知識更新周期是80到90年，現在已縮短為15年，某些領先學科更縮短為5到10年，數學也是如此，面臨著文獻爆炸。這就要求在數學研究中作出新的成果，除了要具備扎實的數學基礎知識，還必須熟悉數學發現的案例、模式、方法，從認識論方法論中汲取成功的經驗。其二，它改革數學教學方法。研究數學發現的認識與方法，有助于培養學生的創造性思維能力，開發學生的智力。在數學教學中，講清原始思想，分析解決問題的念頭，給出證明定理的思路，引導學生從各個不同的角度看問題培養學生的創造能力是必要的。數學發現將有助于填補這方面的空白。有針對性地研究數學發現的案例、模式和方法，有助于充實教學內容，改進教學方法，優化教學結構，從本原上發展學生的思維，增強學生的數學素質，提高學生的分析問題和解決問題的能力。第三，它有助于堅持和發展馬克思主義哲學。數學本身具有堅實的客觀基礎和豐富的辯證性質是“辯證的輔助工具和表現方式”。從本質上說，深入研究數學發現的案例，模式和方法，必將有助于培養我們的辯證唯物主義觀點。例如，由于非歐幾何的發現，幾何理論與現實空間的聯系在形式上被切斷了，從而推進了關于數學的真理性問題的哲學思考。

四、個人素養與數學發現的辯證關系

數學發現是個人的創造發明，一個人的數學觀念、品質對于數學發現有著必然的影響。同時數學發現對個人素養又有著積極的影響，具有一定的數學發現能力使人更聰明、更富有、更高尚。個人素養與數學發現二者之間是相互影響，相互促進的。

（一）崇尚真理，不怕失敗

在探索數學發現真理的過程中，為了成功首先就要面對失敗。一個成功者，特別是有重大成就者，其成功的道路幾乎是由失敗鋪墊而成的。[5]有一位英國數學家兼物理學家開爾文曾說：“我堅持奮斗55年致力于科學的發展，用一個詞可以道出我最艱辛的工作特點，這個詞就是失敗。”在真理探索過程中，有許多人甚至冒著一輩子一事無成的巨大風險。學習數學，研究數學還不得不面對可能出現的錯誤。即令一些大數學家也很難避免不出任何錯誤。歐拉有過大量杰出的成就，但他也出現過錯誤，例如在函數的可微性、級數的收斂性以及關于曲線的觀念上出現過錯誤。一位法國數學家哈達瑪認為，優秀的數學家經常犯錯誤，但能很快發現并糾正，他甚至還說他比他學生犯錯誤更多。所以問題并不是有沒有錯誤，問題在于如何面對錯誤。

（二）勤于探索，謙虛謹慎

許多科學家不愿意承認自己有多高的天賦，而特別愿意說自己主要靠了勤奮，天才在于勤奮。我們都把牛頓視為有史以來最偉大的數學家。可是，牛頓“在21歲之前，他尚未涉獵較高深的數學知識”。二十幾歲才開始較高深的數學研究。“牛頓反復研讀經典，異常刻苦、勤奮，經常廢寢忘食。”他曾追憶說，笛卡爾的《幾何學》很難懂,只讀了大約10頁，就不得不停下來。然后再開始，比第一次稍進步一些，又停下來，再從頭開始，直至真正掌握全書的內容。到這種程度時，他對笛卡爾幾何的理解比對歐幾里得幾何的理解要好些。他又開始重讀歐幾里得，再后又第二次讀笛卡爾的幾何。隨后他又通過悉心研讀他的老師巴羅所編的《原本》和《數據》兩書，彌補了他早期對歐氏幾何的忽視。1676年，牛頓已是成績卓著，但他卻說：“如果我看的遠些，那是由于我站在巨人們的肩上。”這句話的背后是他實實在在的經歷，在他的大學生涯中，僅“沉迷于撲克牌兩次”“，上小酒館兩次”。

（三）情感陶冶，興趣持久、廣泛

在探索數學發現過程中是需要情感投入的，因而探索數學發現是肯定能陶冶情操的。首先就要對數學有興趣，對數學沒有興趣是不行的，興趣不濃厚也難以在數學學習和研究中有所成就。興趣的持久性是進一步要關注的，這種持久性必須與意志、與認識、與情感聯系起來。興趣的長久保持和發展必須有意志的支撐，因為成功與失敗必定是交替出現的，困難與順利也常常會同時存在，只有經得起失敗與困難考驗而又同時在成功與順利之中有過喜悅與歡欣，才會更有興趣。興趣的廣泛性也十分重要，如果說數學處在自己的興趣中心的話，那么，更廣泛一些的興趣是有利于加強這一中心強度的。祖沖之對數學、天文、歷法、文學都有廣泛的興趣，但他的興趣中心在數學。歐拉對力學、天文、船舶、機械、音樂、數學都有廣泛的興趣，但他的興趣中心也在數學，并且這又大大有利于他在數學領域里更廣泛的范圍內活動。從哲學上說：數學發現就是發現問題、提出問題、進而再創造性地解決問題的過程。我們要以馬克思主義哲學作指導，從數學特點出發研究數學發現的認識和方法，力求為拓寬數學研究思路、豐富數學教學內容、增強數學創新意識提供恰當的途徑方法。

作者：曲亞民單位：大慶市龍鳳區教育局