數學思想歷史與邏輯探析
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歐陽絳認為，歷史從哪里開始，思維的邏輯也應從哪里開始．⋯數學的思想是歷史地并且是合乎邏輯地發生和發展的．這是思維的辯證法，是人類認識客觀世界必須遵循的基本規律，也是人類認知的基本規律，當然也是數學教育必須遵循的基本規律．這也充分表明數學史在數學教育中的重要作用和密不可分的關系．數學史的一個重要的目的就是“教育的目的”．正如萊布尼茲所說：“了解重大發現，特別是那些絕非偶然的、經過深思熟慮的重大發現的真正起源，是極為有益的．”通過歷史范例，可以“促進數學發現的藝術，揭示數學發現的方法”．宋乃慶認為，新課程是一種人本化的文化教育．新課程理念下的數學教育應是一種文化意義上的全面培養學生數學素養的教育．-3數學史是認識數學的基本依據，是數學文化的重要載體，是制定數學新課程目標的有力支撐，是實現新課程目標的有效途徑．數學史支持數學教育的發展，數學教育也拓展并深化數學史的價值．我國老一輩數學家余介石先生也倡導數學史的教育價值：“教師對于學理，必須考其在歷史上發展之象跡，以覘人心認知之程序與限度，庶可因時指宜，善為說理，既不至使初學難以猝通，亦不至養成其謬見或誤解．歷史之于教學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收聞風興起之效．更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也．-4J，’基于此，數學教育方式的選擇和運用就自然地要求順應于數學思想本身的歷史和邏輯的發展規律．數學教育方式選擇的一個基本認識前提就是建立在數學史與數學教育整合的基礎之上，而基本思路則是以“歷史與邏輯相統一?的辯證思維基本規律為指導，基于數學思想的歷史與邏輯，探究符合數學思想的歷史與邏輯的，從而也符合學生認知規律的且適合學生數學潛能的開發和思維能力發展的數學教育方式，充分發掘數學教育的整體功能．研究表明，要真正地把蘊含著數學思想方法的巨大寶藏的數學史的文化教育功能發掘出來，就必須走數學史與數學教育整合的研究之路，即將歷史上發生的數學的思想和方法整合進數學知識內容的教學之中，讓學生在學習數學知識的同時，受到數學的精神、思想、方法的熏陶．基本思路則是對數學觀、數學教育觀以及數學教學觀及其指導下的數學教育實踐進行思考，在基于數學思想的發生發展的歷史與邏輯以及數學家創立新數學理論的思維過程的基礎上，揭示其對數學教育的遷移和教育作用(即如何將數學家的思維方式轉化為數學的教育形態)，并將這一基本認識遷移到我們的數學教育教學實踐中，形成“基于數學思想的歷史與邏輯的數學教育”教學模式．
2．實施途徑——基于歷史相似性理論的數學教學
“基于數學思想的歷史與邏輯的數學教育”教學模式實施的一個有效途徑是設計基于歷史相似性理論的數學教學．歷史相似性理論認為，學生對數學知識的認知過程和歷史上該知識的發展過程具有相似性．基于歷史相似性理論的數學教學要求教師對知識進行解構，其根據是按照數學史上該知識形成的幾個關鍵特征進行分析，探索學生在學習此知識時可能存在的障礙；然后對這幾個特征進行重構，其標準是按照每一個特征的難易程度進行序列化，重新組織教學進程；在重構的基礎上實施教學，讓學習者親歷知識點形成關鍵時期數學家對于該知識內容的探究活動，教師適時引導和點撥，從而學生完成自組織突變的一種教學模式．基于歷史相似性理論的數學教學，是要讓學生做到“讀、做、悟、創”，通過閱讀、學習典型數學史料，感知數學知識的發現歷程，理解科學發現的艱難曲折的過程．學生通過“親歷”和“重演”數學家的探究活動，建構數學知識，理解數學知識；學生通過反思親歷的探究活動，體悟數學的人文精神；通過現實應用，創新設計探究數學知識的思路和步驟，超越數學家，體驗數學學習的成功喜悅感．基于歷史相似性理論的教學設計對于數學教學至少有兩方面的意義．一方面，可以運用歷史相似性理論來反思現今教學內容順序安排的合理性，對知識的呈現順序進行更為合理的設計，對整體課程的設置進行更適切的把握；另一方面，歷史相似性理論又指導在針對某一知識點進行教學設計時，通過研究歷史對學生的認知障礙進行預先分析，然后結合豐富的史實資源來開拓學生思維，使學生對知識的理解更加多元更加深入。由于學生對學新難點的理解以及轉化過程與歷史存在相似性，所以通過研究歷史上數學家所遇到的認知沖突、認識障礙來預測和解釋現今學生的學習難點自然就成了數學教育工作者關注的重點問題．同時，通過了解數學家們曾面臨的困難和錯誤，也有助于教師更加寬容地看待學生所犯的錯誤，給學生更多的信心和鼓勵．基于歷史相似性理論的數學教學可考慮從縱橫兩個維度展開．縱向維度即為在教學的邏輯順序的處理上應該盡量遵循歷史發生的維度，以便能夠更加適合學生的認知心理．對歷史相似性理論進行縱向理解，即意指圍繞著知識呈現的順序是否符合歷史所給予的啟示而展開的理解．這里所謂的知識呈現順序也即通常意義上教材對學科內容先后順序的編排，教師在教學過程中先教什么后教什么的問題，就中學階段所學習的數學知識而言，可以理解為如何安排代數、幾何、概率統計三者的教學先后關系；進而還可以細化為如何安排幾何內容中所包含的兩大部分：平面幾何與立體幾何之間的教學先后問題；再進一步甚至可以細化到單單就立體幾何知識而言究竟是選擇按照元素之間的關系進行教學，諸如現在人教版新教材中使用的按照垂直和平行這兩大類關系進行介紹，將點線面體穿插于其中，還是像舊版教材那樣按照抓住單一元素再介紹它們之間及與其它元素之間的關系進行，即先介紹點與點之間的關系，再介紹線與線以及點與線之間的關系，進而再是面與面及點線面之間的關系．橫向維度則是從單個知識點的角度考慮，學生在某些知識點的理解上會產生和前人同樣的認識，甚至于也可能會重復前人的謬誤，在一些知識上呈現歷史上各種不同的觀點，讓學生自行取舍與分析，以起到深化理解的作用．對歷史相似性理論進行橫向理解，即意指就某一知識點的學習，學生所遇到的認知障礙或出現的多元思維常常會與前人呈現驚人的相似，諸如前面提及的“歷史相似性理論”的實證研究．在諸多實驗中我們都發現學生會重蹈前人覆轍，因此可以史實研究來預測學生對某一知識的認知困難，或者也可以如實地展現歷史上的這些或者正確或者錯誤的思維片段，讓學生自行分析；而另一方面，由于時代不同或者社會背景不同，對于同一問題歷史上往往會出現多種不同角度的思考方式，這時我們就可以如實地向學生再現古今中外數學家們對這一知識點、知識片段的多元觀點與各家爭鳴，以便于學生更為系統深入地理解這一知識點．
3．實施基礎——教師的數學史修養
數學史家卡約黎曾經說過，數學史對于數學教學來說是一種十分有效、不可或缺的工具J．歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現各個數學概念，盡可能地減小各個知識點之間的跨越度，為開展課堂活動提供生動而有意義的資料．因此掌握一定的數學史知識有助于教師預測學生的學習困難，設計對應的教學策略，即遵循概念的歷史發生順序的教學設計，幫助學生克服各種理解障礙．我們認為，為了有效實施基于數學思想的歷史與邏輯的數學教育研究，首先，教師必須了解本學科的基本發展史．實際上，在教師教育的計劃中，開設數學史的課程應該是教育取向的數學史課程，數學史教育者，尤其是教師教育者的一個重要任務就是精心選擇那些和教師將來的教學有關的數學史知識，并對它們的教育意義加以分析．這個任務，需要聯合數學史家和數學教育家的共同力量來完成．在這個基礎上，確定其中關鍵的發展步驟，比如一些認知障礙的出現．然后再按照課堂和學生的實際情況重新構建這些關鍵步驟，直接或間接地使用歷史材料設計教學方案．歷史資料是教學設計教學實驗的靈感來源和控制手段，但是使用歷史并非簡單地重復歷史事件或評論歷史事實，正如弗萊登塔爾所說：我們不應該重蹈發明者的足跡，而是通過改良使歷史過程有更好的引導作用．對于一線教師來說，必須謹慎地對待歷史和教學，考慮到兩種環境的區別：歷史與課堂的優勢和局限分別是什么．只有做好兩手充分準備，才能根據不同水平不同類型的學生，恰如其分地將歷史的資料轉化為教學的材料．在高師數學專業學生課程設置上，對未來的數學教師開設數學史課程是非常必要的，特別是開設的課程要注重挖掘數學史料的教育價值．對于在職教師而言，以各種形式提高它們的數學史修養也非常必要．可效仿國際上比較常用的方式，考慮以學校為中心，組織教師開展HPM的實踐活動，不僅可以增強教師的HPM素養，而且可以促進教師專業發展．此外，將HPM作為在職教師培訓的一個專題也是可取的．
