數學精神教學

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很久以前我就想寫一篇這樣的文章了。一方面，就我自己觀察來看，很多非數

學專業的朋友甚至包括一些數學系的本科生對究竟什么是數學有一種不正確的理解

。這種流行的理解就是，數學是一種為其他科學服務的工具或者說語言。數學的任

務就是把已經列成式子的現實問題算出一個用數字表示的結果而已。我經常在我們

系的StudyingHall被一些外系的學生搞得哭笑不得，在他/她的眼里，我們就是一

群比別人算得快的奇怪動物。然而在我看來，數學無疑是具有自己獨立精神的一門

科學，或者說是藝術。但是這一點往往只是在數學的教科書中被泛泛而談，并不真

正讓人信服。另外一個動力就是我想人的思想可以說九成九被他所占有的知識所決

定，讀不同的專業的人很可能會有對世界的不同看法。這篇文章肯定是戴著我自己

的眼鏡寫的，正好袞袞諸公分析一下我的思想的緣起，俾能起到拋磚引玉的作用。

英國大數學家G.Hardy曾經說過[1]，對于一個數學家來說，不去證明任何定

理而只是泛泛而談數學實在是令人感到悲哀，因為這種情況多半發生在一個因為年

老（對于數學家來說，四十歲就已經是老人了）而不再具有年輕時的創造性的人身

上。一個擁有創造力并正在改寫當代數學的年青人不會屑于去向外行“談數學”。

我現在還只是一個學生，在數學上和Hardy比只不過是個三歲毛頭。按照中國古代

的說法小孩是不必忌諱的，所以就不必為泛泛而談數學而感到任何不適。再說這個

世界上有許多的“外行”擁有比我更好的數學功底，還有更多的人其實比我更加具

有學數學的天份，我實在不敢有“不屑一顧”的傲氣。

（一）數學對歷史的兩次推動

這篇文章到底要怎么下筆，我想了很久，最后還是認為該從歷史談起。西方有

一句形容古板學究的話，叫做言必稱希臘。好吧就讓我們從頭談起吧，從這個科學

皇后在希臘當黃毛丫頭的場景開始吧。

埃及的亞歷山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大學，第一座圖

書館。歐洲的戰亂并沒有怎么波及到這里，所以這里也成了當時西方世界第一流學

者的天堂。就是在羅馬征服埃及以后，學術傳統仍然被保留下來。當時的羅馬皇帝

在各行省征苛稅，但對其它方面并沒有干涉的興趣。在科學和文學?，征服者是

崇拜希臘人的。羅馬士兵在戰亂中殺死了阿基米德，當時的統帥Marcellus垂胸頓

足，后悔莫及。后Henllenistic時期學術氣氛仍算是寬松，Apollonius系統地研究

了圓錐曲線，托勒密等人對三角學推動很大，而丟番圖提出的問題至今仍是純數學

中的難題。

主歷三二五年，羅馬康斯坦丁大帝接受基督教為國教。那時希臘的最后一塊屬

地埃及也已經陷落三百五十五年了。從這以后曾經備受壓迫的基督教（天主教）開

始成為壓迫異端的急先鋒。公元四七六年，西羅馬帝國在北方各蠻族的不斷打擊下

毀滅。但是就象入侵并占領了漢族中國的滿族人最終被同化一樣，強大的基督教戰勝

了羅馬兵團所沒有戰勝的敵人----古羅馬帝國垮掉了，他們的宗教思想卻獲得了前

所未有的勝利，基督的威勢在歐洲的每一個角落建立起來。公元五二九年，在狂熱

的天主教信徒不斷的壓力下，雅典學院因轉播異端思想被關閉。在此之前亞歷山大

大學和圖書館已經焚毀，整個古希臘數學時期就此結束了。

從此中世紀的陰影就一直在分籠罩了一千年左右。要等到一五一七年馬丁路

德在維滕貝格發表反贖罪券的《九十五條論綱》正式向教皇挑戰并成為新教創始人

后歐洲的宗教壟斷才被打破。在路德改宗前歐洲還發生了一些影響世界的大事情。

一四九二年一個叫克里斯托弗·

哥倫布的意大利人發現了一個他稱之為印度的龐大

新世界，以后各國特別是英倫三島受宗教迫害的人們就找到了一個棲身之地，在這

之前在繁榮的意大利已經開始了文藝復興，各種各樣的新思潮和新技術伴隨著新的

資本都在蠢蠢欲動。

這時候還有一些不是那么為正史所看中的人物在另外一個世界，一個只有靠人

類抽象的思辯才能夠達到的世界里努力地耕耘著。他們是伽利略，開普勒，哥白尼

，帕斯卡，笛卡爾，萊布尼茲，牛頓.....特別是牛頓和萊布尼茲所發現的微機分

，整個地改寫了科學史。通過數學工具的極大改進，一系列原本用初等方法無從下

手的問題迎刃而解。一個對社會的影響當然是提高了當時的生產力的需求，從而孕

育出最終埋葬神權和君權的資產階級，另外一個更加直接的影響卻是從天文學上來

的。這個天文學在中世紀經院哲學里占了相當大的比重，因為按照基督教教義，天

體是天使和圣靈運行的軌跡，是完美的。天是圓的，地球在這個圓的最中心。當這

些觀念被科學一個個地打破以后，教皇的權威，甚至說圣經本身的權威，才真正受

到了根本性的沖擊。對于牛頓到底有多重要，下面這收詩大概可以反映一下吧：

“NatureandNature''''''''slawslayhidinnight;

Godsaid,''''''''letNewtonbe,''''''''andallwaslight."[1]

信仰這個東西是非常奇怪的。和狂熱的信徒談天你會發現你幾乎無法用另一套

信仰來改變他。這不僅僅是幾百上千年以前中世紀的事，也不是只有西方民族或者

有宗教的地方才有。今天的朝鮮和昨天的民柬在信仰狂熱的程度上絕不亞于費迪南

德和伊沙貝拉治下的西班牙。畢竟在那里宗灘門興三個半世紀才燒死了三萬兩千

人，加上其他刑罰處死和間接死亡的，不過百萬之數吧，而他們在亞洲的同仁們卻

在短短的幾十年內就達到了這個目標。其實就在幾十年前我們的國家在思想領域又

何嘗不是如此？七八年鄧小平說出了一句“實踐是檢驗真理的唯一標準”，沒過多

久全國人民突然就發現了過去的荒謬----怎么會是那樣呢？怎么會那么笨呢？在這

里皇帝的新衣一旦被揭下，謊言就變得一錢不值。今天的西方世界在回想起中世紀

的一幕幕場景時恐怕也和我們一樣會覺得荒謬大于恐懼吧，為什么當時的人們會為

對圣經上某一句話的不同解釋如此憤怒，以至于非要把同樣是信奉上帝的兄弟姐妹

送上火刑架呢？甚至在英國有很長一段時間里竟然要在全國找最美麗的女人來燒死

，只因為當時那里的神學家確信這些美人是撒旦的化身！

路德和加爾文站起來挑戰羅馬教皇的權威了，但丁更早些在《神曲》里把教皇

判入了地獄，但是人們很快就發現，單憑文學和神學的革命并不能夠改變上帝獨一

無二的地位，人本主義并沒有因為《神曲》而成為主流。甚至新教首領加爾文在教

皇鞭長莫及的日內瓦還燒死了塞爾維特，而且足足把他烤了兩個小時。歷史的車輪

似乎又在向著循環往復的軌道上滑去。靠神學本身的辯論只能夠產生新的神學；靠

文學的啟蒙可以產生懷疑，卻無法最后戰勝神學；靠地理上的發現可以解決一時的

壓迫，但是一個清教徒的天堂依然讓人們嗅到了舊世界信仰之爭的味道；靠美學

----達·芬奇的名作并沒有改變天主教堂的圖案，再說這世上還有比那些送上火刑

架的“撒旦”更美的作品么？

只有真實和時間，才是戰勝精神強權的終極力量。西方有一句話，說是（強權

）可以短時間欺騙所有人，也可以永遠欺騙一些人，但是它不能永遠欺騙所有人。

象317是個素數這樣的真實，就是再堅強的神學信仰也只有在這個事實面前底頭。

而物質生活的真實呢，一旦產業革命的機器開動起來，田園詩

似的貴族們又如何抵

擋呢？打敗舊制度的歸根到底是靠以微機分為代表的理性擊敗了神學和以機器為代

表的新生產力戰勝了貴族勢力。如果沒有這些，一切革命都將重復類似于中國農民

革命的老路。

牛頓和他之后一個世紀的科學家們生活在一個背靠絕對真理挑戰世俗神權和政

權的偉大時代。在馬斯頓荒原，英國革命軍戰勝了保王黨的反動勢力；在美洲，八

年艱苦的奮戰打跑了日不落帝國的總督；在巴黎，第三等級廢除了歐洲最頑固的君

主制。在那個時期的主流科學家頭腦里，一個來源與物質世界，卻又比它更加完美

的理性取代了華麗的拉丁文圣經。人作為上帝的影子的日子過去了，任何權勢在真

理面前必須是平等的。微機分之后的科學文明中心在法國。那時全歐的人文主義旗

幟在以狄德羅和達郎貝爾為首的法國百科全書派學者手里。達郎貝爾對發展方程，

函數論和代數都有重大貢獻，他有一句名言：“代數是慷慨的，你從她那里得的總

是比你想要的多”，另外他還說過，“幾何上的真理是物理真理的漸進形式，就是

說后者無窮地逼近前者但卻永不相交”[2]，這大概更加接近現代科學家們的想法

吧。

時間就這樣一點一點卻又是無可抗拒地從中世紀走到了十九世紀末。科學學飛

速地發展著，正如當時的資本主義一樣。神權和君權一點一點地退出了舞臺，科學

和經濟的力量似乎已經取得了全面的勝利。“上帝死了”，人作為主體出現在那個

喧囂的世界。“這是一個最好的時代，這是一個最糟的時代”[3]。世界似乎是永

無休止地被開采著，人幾乎可以憑機器做到一切想做的事。在自然科學上，一個與

這種自大相對應的是在那時，主流物理學家們認為這個世界的規律已經被發現完畢

了。一九零零年，英國的開爾文勛爵在皇家學會的新年致辭中自負地宣稱，物理學

的大廈已經完成，今后物理學家的任務只是把實驗做得更精確些（當然那時他并沒

有料到，他眼中小小的“兩朵烏云”——黑體輻射的理論解釋和邁克爾遜——莫雷

實驗對以太觀念的沖擊——引起了現代物理學翻天覆地的變化）。自然的，社會的

終極真理似乎就在人們手邊。隨后文明世界卻遭到了空前的打擊，那就是兩次世界

大戰。在那些年現實中的文明世界秩序已經在意大利，德國國家社會主義和日本軍

國主義的沖擊下蕩然無存了。

兩次次世界大戰，全人類為此付出了近億生命的代價。科學的標志既不是體現

在治病救人的青霉素上，也不是體現在純粹數學和理論物理的完美結合廣義相對論

上，而是體現在可以一次毀滅一個城市的原子彈上。西方人文主義的傳統讓位于民

族主義和意識形態，二戰后東西方兩大陣營相互敵對，勢不兩立。社會主義陣營的

故事我就不說了，美國的麥卡錫先生對美國共產黨（毋寧說是同情共產黨的左派知

識分子）的迫害也足以名垂青史。與中世紀不同的是，現在沒有一個極權愚蠢到敢

于宣稱科學在自己之下了，相反地這個權力為了強調自己的正確性合法性，往往宣

稱自己是“科學”的。就算它還要迫害知識分子，也是用別的方法來進行。這種迫

害進行的方法說來也很簡單，那就是先宣稱自己是科學和正確的化身，然后讓每一

個公民都相信，不“科學”不“正確”的人或者思想就必須予以消滅。最后給異端

貼標簽的工作就比較容易了，各個不同的國家自有不同的方法和習慣。

好吧再讓我們回到數學吧，回到這個比現實世界優美的避難所吧。讓我們從本

世紀的最初看看數學的發展。在這一時期，數學學上出了一件大事。這件事在正史

中當然沒有推倒柏林墻那么重要，但是其內在的意義，也許將比那個政治事件更能

讓我們的后代共鳴。

德國數學家希爾伯特于一九零零年在巴黎國際數學家代表大會上作了一次演講

[4]。在演講中希爾伯特提出了二十三個公開問題，這些問題后來主宰了二十世紀

（至少是前五十年）的數學研究，幾乎所有的第一流數學家都在為攻克這些難題而

奮斗。在這次著名的演講中，他還說到：“.....每一個確定的數學問題，.....無

論這些問題在我們看來多么難以解決，無論在這些問題面前我們顯得多么無能為力

，我們仍然堅定地相信，它們的解答一定能夠通過有限步純邏輯推理而得到。”這

一說法后來被稱之為希爾伯特綱領，是人類可以解決一切問題在看饉辯領域的縮

減版本。這二十三個問題如今大部分已經被解決或者部分解決，剩下未被解決的問

題是如下幾個：

第二問題：算數公里體系的相容性；

第六問題：物理公理的數學處理；

第八問題：素數問題；

第十二問題：Abel域上的Kronecker定理的推廣。

這里面后兩個基本上是獨立的技巧性問題，而前兩個卻事關整個數學物理的基礎，

進而對整個人類科學和邏輯產生影響。我不是搞物理的，就物理公理的數學化不好

作深入的評論，但是這無疑是希爾伯特或者說任何一個相信希爾伯特綱領的科學家

的一個“野心”吧，先在數學領域建立起可以解決一切問題的信心，然后再把物理

數學化，進而推廣到一切人類的科學領域。就象運用數學歸納法時我們要證明兩件

事：“對最基本的出發點成立；假設對n成立，證對n+1也成立”相仿，第六問題更

象是后一步，而第二問題則更象是前一步（的一個必要條件）。如果前一步走不通

，后一步也就失去了意義。

為了更好的說明問題，我想我不得不講點專業化的東西了。大家都知道所有的

自然數{1，2，.....}是個無窮集合，而且肯定也知道全體實數，通常記作R的也是

個無窮集合。直觀告訴我們，雖然都是無窮集合，后者比前者應該要“大”[5]。

數學怪才康托(Cantor）第一次給出了一個嚴格的證明，這個證明我想在實變函數

的第一章就可以找得到。康托還證明了一個和一般人直觀很不一致的結論，那就是

一個正方形或者正方體的點數和一條小得可憐的一維線段的點數是“一樣多”的。

這樣一來一個自然的問題就出來了：有沒有一種無窮大，它比自然數（數學上稱之

為可數集）的無窮大要大，卻又比實數（數學上稱之為連續統）的無窮大要小？這

就是有名的希爾伯特第一問題，連續統假設了。

一九六三年美國的PaulJ.Cohen以一個大家都意想不到的方式解決了這個問

題：連續統假設和實數公理體系（Zermelo-Fraenkel公里系統）是相互獨立的，也

就是說，我們既不可以用實數公理來證明它，也不可能證偽！希爾伯特幸運地在這

個消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一年），一

個叫哥德爾[6]的年輕人已經徹底擊碎了他的理想：在任何一個數學體系里，一定

存在既不能能夠被證明，也不能夠被證偽的命題[7]。那一年希爾伯特已年近七旬，

而哥德爾二十五歲。在這里理想國里老派學者的綱領被年輕人徹底給擊敗了。和我?

們驕傲的宣言正好成對比的是，數學的真理讓我們知道我們永恒的無知。

時間似乎又回到了兩千年前的古希臘。蘇格拉底說：“我唯一知道的是我的無

知。”兩千年來我們的智力不斷地在發展，我們的科學不斷地在完善，我們比起任

何一個時代都更有資格判斷對錯。我們甚至想要運用邏輯去證明一切事物都可以貼

上“正”“誤”的標簽。然后達到一個正確的天堂。而這時數學又一次改變了人類

的哲學，當人們盲目地崇拜上帝時她用鋒利的矛挑戰神性，而當人們把“正確”當

做新的偶像來崇拜時，又是她告訴人們，人類任何對真理的認識總有不足，地上不

僅僅沒有神的天國，也沒有絕對真理的標準。只有對不同的哪怕是錯誤的思想的包

容并蓄，只有放下打擊“錯誤”的執著，憑著對異端的寬容，我們才能真正接近真

理。

“所有的動物生而平等，但是有些比別的更平等[1]。”在數學里也一樣存在

這個現象。如果只是要合乎邏輯的話幾何可以有很多種，代數也一樣。就算動用美

學的標準，也很難說我們的數學就比它的這些兄弟們更好一些。那為什么我們今天

見到的數學是這樣的而不是那樣的？我想，原因在于我們總是用現實世界的眼睛去

觀察和發現數學。歐氏幾何之所以有這樣的公理而不是別的，是因為它最符合當時

人類對自然世界的觀察。這樣一來它就比別的幾何在數學里具有更高的地位，擁有

更多的關注。

偉大的蘇格拉底曾經向普羅塔奇思(Protarchus)問道：“是不是有兩種數學，

一種是平民百姓的，一種是哲學家的？.....（平民）在建筑和作買賣時運用的算

法和測量的技術與哲學家們的（歐氏）幾何和極為精細的計算比較如何——我的意

思是，它們是一種還是兩種？”

普羅塔奇思：“.....我認為是兩種”。[2]

這段對話其實反映出數學自降生以來，就被分成從目標上來說截然不同的兩部

分：純粹數學和應用數學。我認為這種分類并不能嚴格地從內容上進行，比如說屬

于應用數學的微分方程理論就有很多定理十分優美和抽象，當年被證明出來大概也

還是出于認識真理的動力；而以前非歐幾何完全是在純數學的小圈子里面流通的，

后來也在二十世紀成了描述現實宇宙的重要工具。最有意思的是這么一個故事，在

一九一零年左右，普林斯頓大學一位數學家和一位物理學家在討論課程表的時候，

物理學家很有把握地聲稱，他們無疑可以去掉抽象代數，因為它絕不會對物理有用

的[3]。結果是沒出幾十年，不懂群論就已經無法進行基礎物理的研究了。在數學

的發展史上，“純粹”往往在多年以后找到“應用”，而“應用”也常常成為理論

研究的動力，它們二者與其說成是兩個不同的數學分支，不如說成是統一的數學的

兩個側面。就象在希臘神話中，雅典娜不僅有俏麗的面容，也有強大的力量。純粹

思辯的數學在自然科學中是極有力的工具，以至于馬克思曾經說過，一門科學只有

當它能夠成功地運用數學的時候，才可以真正算作發展成熟了。[4]

然而為什么數學是如此地有用？這本身卻是一個難以回答的哲學問題。就象我

在前面兩章里所闡述的，數學是為數很少的幾個公設在邏輯推理下可以得到的所有

命題的總和。如果把“真理”理解為在現實世界里行得通的某種“法則”，那么正

好和常識相反，數學里不包含任何“真理”。在物理，化學，生物里我們經常可以

看到這樣的論斷：A具有性質B。驗證它的方法是實驗C。和這種毫不猶豫地求助于

實驗的風格不同的是，在勾股定理的命題描述后面，你絕不會看見驗證它的實驗是

什么什么，取代這一步驟的是從歐幾里得幾何的幾條公理出發，通過清晰的邏輯把

它證明出來。按照羅素等人的解釋，“正三角形的直角邊平方和等于斜邊的平方”

這個給人以“客觀真理”印象的命題是過于簡化了，它應該被說成：“從歐氏幾何

的公理和實數的策墨羅-富蘭克爾公理體系出發，推出勾股定理的邏輯值為真”。

后一種說法其實就和客觀實踐無關了，如果我們把前提修改一下，后面那個符合實

踐的結論很可能就不成立。比方說在非歐幾何里，這條定理就行不通。這兩個不同

的結論可以很好地共存，而且還不象經典力學和相對論那樣是彼此近似的關系。

原

因是單從邏輯的角度上講，只要它們各自的前提不存在內部矛盾就是平等的。而前

提是不是正確？是不是我們這個自然世界的性質？數學家們狡猾地笑笑，說：這就

是物理學家，化學家，生物學家們的事情了。

一個現實問題的數學解法之合理性是出自近似性。從應用的角度講，我們從來

就不需要絕對的精確，恐怕永遠也達不到它。根號二是個無理數？那不要緊，反正

我們連有理數長的尺子也造不出來。exp(x)=x沒有“解析解”？這也不要緊，要緊

的是我們能夠想出一個逼近的方法，有多精確的需要，就能夠通過有限步運算達到

多么精確。

回到幾何和數學本身，它們是有限步邏輯的產物，哪怕最接近“現實”的數學

也已注定了是這個無限復雜的世界的某種近似。那么真實世界中任何問題都能夠被

某種數學所漸進描述么？學過一些比較專業的數學就知道，這個問題等價于“全體

數學空間”在“全體現實問題空間”里稠密，而這一般來說并不是顯然的。好在我

們的科學發展暫時還沒有碰到這些問題，多么復雜的物理問題最后總是找到相應的

數學工具，而且在很多時候這件事情還富有戲劇性：物理學家們有時發現，他們需

要的工具，很早以前一小群純粹數學家們就已經準備好了。這種應用在數學界的影

響也是巨大的，因為它把某種“沒有用”的純粹數學隱含的應用性揭示出來，從而

強烈地暗示，任何抽象的數學研究終歸會被派上用場，成為應用數學。這也是非歐

幾何創始人之一的羅巴切夫斯基的信心，而且我們還知道，愛因斯坦沒有讓他失望

。“所有數學都是有用的”這個命題大致是前面“所有現實問題都有數學模型”的

逆命題。很可惜，就和前面那個命題一樣，這也是難以證明的。困難來自于無限，

希望卻也來自無限。數學的發展與人類對無限的挑戰和超越密不可分。

在上一章里，我已經提到所有的數學都是研究涉及無限的模式，哪怕最簡單的

自然數也不例外。現在我們更進一步，看看我們是怎么解決由數本身所構成的無限

命題。第一步我想我們應該看看最為簡單的無限：自然數所產生的無限（這種無限

有個學名，叫做“可數無窮大”）。在近代數學定義中，這個無限可以通過“給定

一個自然數n，總存在n+1比它大”這一事實來描述。這些語言本身僅僅涉及有限，

因而是我們可以把握的。由此我們還得到數學歸納法，它可以處理含有這種無窮大

的命題，比方說“1+2+……+n=n*(n+1)/2”。步驟是先證明最開始的一個情況是對

的，然后證明第n+1個情況的正確性可以由第n個情況所推出。這就象是在搭梯子，

只要第一下踏中了，而且保證一腳踏實后就可以踏第二腳，那么哪怕這梯子有無限

多級，我們也滿可以登上去。

然而這并不是一個讓人放心的邏輯。事實上它違反了一個“常識”：如果真有

無限級的梯子，就算一個人結結實實地踩中了第一腳，并且保證下一腳永不踏空，

他也沒有辦法爬完全部梯子。不過好在我們誰也沒有真正見到過無限級的梯子，真

正的無窮是不為人所見的。世界是那樣的復雜，我們把它叫做無窮；而人卻是渺小

的，我們只能感知到有限。無限如果不和有限結合起來，就是對我們毫無用處的無

限。這條想象中的“無限梯”是那樣真實，以至于我們已經忘了它其實來自于“非

常長”然而仍然是有限的梯子的經驗。我們不必為那條無限梯永遠爬不到頂而煩惱

，我們的勝利來自于每一級被征服的有限，和不斷延續的過程。過程！是的，無限

不是靜止的體驗，無限來自不停息的過程。每一個被征服的具體的n+1都是有限，

歸納的過程卻意味著我們征服了第一個無限。

談到過程，就要談談時間了。和自然數不同，時間是連續的。換句話說，在萬

分之一毫秒中我們還可以插入許多億分之一毫秒，而且這一分割還可以繼續下去，

要多細有多細。在現實生活中，人對“微小”的認識水平是有限制的。所以無限可

分并不是直接的經驗，而是和可數無窮大一樣，是有限經驗的一種抽象。這種無限

可分的性質不光時間有，空間也是有的，它們合在一起構成了我們這個宇宙的框架

。最早對這一框架的數學描述是歐氏幾何，通過笛卡爾等人的努力，實數和這一幾

何通過坐標系建立了不可分割的關系。

幾何的出發點是抽象的“點”，“直線”等概念，這些概念，在現實生活中是

不存在的。確實，有誰能夠見到一個沒有任何大小的“點”呢？又有哪一條“直線

”不是彎曲的呢？然而今天對于任何一個受過教育的人來講，這些奇怪的人造動物

都是再自然不過的了。我們把力學問題抽象為幾何，通過數學來推導，運算，得到

一個數字或者圖形，然后再把它的力學意義解釋出來。而這個結論總是對的，這可

以從無數實驗中看出來。可是這種正確，卻是基于在現實生活中誰也沒有見到過的

“點”和“線”的看邏輯推理。

解釋它的辦法仍然是用過程的概念：比方說一個“點”或者說一個實數不是個

固定的概念——無限小的“存在”，而是一個可以不斷逼近（縮小）的過程。一顆

質量為3.75公斤的石子在113.14牛頓的推進力下沿直線運行了3.03秒，那么它的軌

跡就有138.50米。這里的任何一個數字都不是對現實實驗的真實描述，而是近似。

隨著對3.75公斤，113.14牛頓，3.03秒近似水平的提高，軌跡也會越來越接近

138.50米。這個“越來越接近”又是一個涉及無限的過程了，它被有限的邏輯以

F=ma,S=a*t^2/2的形式表達出來。其中第一個式子來源于物理經驗，第二個式子

則是微積分的一個結果。

微積分和它所生成的分析學是近代數學最值得銘記的里程碑，它在數學中的重

要性怎么估計都不會過高。可是它竟然在相當長的一段時間里不是嚴格意義上的數

學——因為它的基礎要到很晚以后才被建立在堅實的邏輯之上。天文學家開普勒嘗

試著做最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包

圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經驗的幾何學，而不是歐幾里得以后的那

種幾何學[5]。牛頓發明的“流數”運算，不僅是為了研究物理提供工具，連陳述

都是物理化的，而這種不精確性，來源就是把無窮小量當作靜止的恒量。在牛頓時

代的微積分運算中，我們經常可以看到用這個無窮小量做分母（這意味著它不等于

零），而在隨后的乘法中和它相乘的量又都被消去（這時它就是零了），從而得到

結果。這個矛盾當時無法解決，而且它并不是象虛數那樣完全是形式上的問題，那

種推導方法還有可能會得出象0=1這種荒謬的結論。以前曾經是如此嚴格地合乎道

德的數學也犯了原罪；它吃了智慧果，這為它開辟了獲得最大成就但也造成謬誤的

道路[6]。

現在我們高等數學/數學分析教科書上已經找不到這個象幽靈一樣的無窮小量

了，取而代之的是柯西和魏爾斯特拉斯所發現的極限思想和用來描述它的ε-δ法

則。無窮小量現在被看成某個函數的極限過程，精確的描述如下：對于任意ε>0.

存在δ>0,當|x-x_0|<δ時|f(x)-f(x_0)|<ε，記為當x→x_0時，f(x)→

f(x_0)。

這里ε和δ都代表了有限，“任意”和“存在”是集合論或者說是邏輯運算的

語言，通過它們把代表無限的無窮小量刻畫出來。看似笨拙的描述中透露的還是那

個思想：如果不能夠從有限出發刻畫無限，那樣的無限就毫無意義；如果一種計算

不能

寫成標準的邏輯語言，它就不能被稱為真正的數學。數學的力量表現在豐富多

彩的應用上，但更是出自它無比的嚴密。在歷史上應用很多次走在了嚴密的前面，

就象微積分那樣，但最終數學總可以為它們建立嚴格的邏輯，盡管有時不得不付出

直觀性和有效性的代價。后者一個典型的例子就是概率論。古典概率的直觀體系很

早就有了雛形，而且被實踐證明是管用的。然而要到本世紀柯爾莫哥洛夫（

Kolmogorov）突破性的工作后它才談得上有一個嚴格的數學基礎。這套體系是建立

在測度論上的，而在現有的體系下一定有很多事件是無法定義概率的（不可測），

所以概率的定義域就從來自經驗的“全部可能的事件”縮減為一個純粹為滿足數學

嚴格性而建筑的δ-algebra之上。這種不自然多多少少削弱了概率論的力量（盡管

幾乎所有我們見過的集合都是可測的），因此直到現在還有人反對它，試圖建立一

套更加完美的理論。

不管新的體系會是什么樣子，有一點是肯定的：它一定是保證了邏輯嚴密性后

的推廣，只有這樣，我們才有充分的信心去運用它。可是邏輯又為什么會適用于我

們這個世界？這是還未得到解決的哲學問題。抽象的邏輯其實一樣來自于重復足夠

多次的經驗，我們的經驗則是視覺，聽覺，觸覺，嗅覺——通過機器可以把它們延

伸，通過思考可以間接地感受它們，然而歸根到底它們還是基于這些感覺。也許

1+1=2不是感覺，可是它也是從一大類我們感知得到的具體事物中抽象出來的規律

。這個規律，就我們過去的經驗所知是正確的。之所以我們要去（通過研究過去的

經驗）追求規律，是為了把握我們難以把握的未來，如果歷史對未來毫無影響，如

果宇宙隨時間的變化完全不可知，我們還有研究科學的必要嗎？我們的信心只能建

立在宇宙的規律性上，這種規律性也許永遠不能夠為人類所完全認識，但總是在某

個地方“存在”著，全部自然科學包括數學不是創造它，而是發現它。然而即使全

部的過去都支持某一種規律，這種規律就一定會在將來永遠地成立下去嗎？太陽明

天還會升起，這可以通過物理定律來證明，可是物理定律恰恰是從象太陽無數次有

規律的升起這樣的大量經驗中得出的，這就象是自己證明自己，并沒有產生新的信

息。

到這里我打算停下來，把問題交給搞自然科學的同仁們。歸跟到底，那些建立

模型解釋模型的任務不在數學家身上。我們所從事的工作就象是下圍棋，給定了規

則（邏輯）后就演繹出許多推論，在數學上的“正確”意味著合乎這種規則，和現

實生活中的“正確”具有不同（然而非常相關）的哲學意義。由此可見，數學不是

具體科學，更不是“客觀真理”的總匯。

[1]《動物莊院》，GeorgeOrwell

[2]《AppliedMathematicsIsBadMathematics》，P.Halmos

[3]《MathematicsinthePhysicalScience》，F.J.Dyson

[4]《馬克思回憶錄》，拉法格著，轉引自《數學與人類文化》，孫小禮著

[5]《論數學》，馮·諾伊曼

[6]《反杜林論》，恩格斯

迦羅華小傳

E·迦羅華（EvaristeGalois），法國數學家。一八一一年生于巴黎近郊的

Bourg-la-Reine。他父親當時是那里的鎮長，他母親是知識婦女，她在家里一直教

小迦羅華到十二歲，到那時他才開始上正規的學校。但是由于不喜歡學校正規教育

的僵化體制和一成不變的教材，迦羅華在學校的成績很快就從剛進去時的名列前矛

跌到了谷底。有一次他偶然找到了一本勒讓德寫的幾何學專著，這個成績一塌糊涂

的小家伙很快就全部看

懂了。學校的代數課本對他來說實在太boring，他于是就去

找數學大師拉格朗日和阿貝爾求學。然而在大師們那里他也表現不好，得到的評價

是該生十分古怪，喜歡爭辯，老是惹麻煩。

十六歲時他投考聞名全歐的EcolePolytechnique，結果考官根本不能理解他

的答題，因而被拒。后來Terquem是這樣評價的：“Acandidateofsuperior

intelligenceislostwithanexaminerofinferiorintelligence”。后他再

次報考該校，又碰到一幫這樣的考官，在復試（面試）的時候，他甚至憤而拿粉筆

擦扔中一名考官。這一扔，也就扔掉了他讀Polytechnique的希望。不過他雖然這

兩年沒有讀大學，卻還是找到了一個能夠容忍他的數學老師，LouisRichard，自

此開始真正意義上的數學研究。他的第一篇論文也正是在這個階段（十七歲時）發

表的。就在這個時候還發生了一件影響他人生觀的事情，他的父親，因為受到當時

法國天主教會的迫害而自殺了。

十九歲（一八二九年）終于上了另外一所學校EcoleNormale，然而不久（一

八三零年）法國發生革命。當時EcoleNormale的校長把所有的學生都鎖在學校里

面，只除可憐的迦羅華以外----他因為懷有民主理想，寫了支持暴動罵校長的公開

信而被開除了。在EcoleNormale短短的一年時間里，迦羅華發表了三篇關于代數

方程的論文，并寄給法國科學院。當時科學院的秘書把它們帶回家準備去讀，不過

他在寫出評價之前就死了，那些論文再也沒人找得到。

開除以后二十歲不到的他試圖開辦他自己的數學學校，結果是沒有人肯當他的

學生。然后他就加入了國民衛隊，并且說了一句對于我們中國人或多或少熟悉的話

：如果必須用尸體來激勵民眾，拿我的去好了。具有戲劇性的故事還在后面：他這

個危險分子似乎是不可避免地被抓了起來，罪名是“試圖謀害國王”。這本是求仁

得仁，但在法庭上法官不知為什么卻又判他無罪。最后他還是被判了六個月的徒刑

，罪名是“illegallywearingauniform”！

當他刑滿釋放后，他這一生第一次，也是唯一的一次卷入了愛情紛爭。就象他

一慣的不走運，他這一次也沒有好多少。性子火暴的他很快就對愛情，他的女友和

他自己完全厭惡了。幾天過后情緒低沉的他接受了他的政敵的決斗挑戰。他自己知

道他不會有什么機會贏，于是整晚就在寫數學手稿，那是他短暫不幸而又閃亮的一

生唯一能夠給他安慰，體現他的價值的東西了，也是他不愿隨自己的生命帶走的。

他把這些新的結果，連同那次被法國科學院弄丟的論文的結果寄給了他的朋友

AugusteChxxxxier，然后在一八三二年五月三十日依約前往決斗場。

在那里他被射中腹部，一時斷不了氣。在送往醫院的路上他對他兄弟說：“別

哭，我可是要鼓起全部勇氣才能在二十歲去死呢。”痛苦結束于第二天，然后他被

安葬于一個連標記都沒有的墓穴里。

二十四年以后，劉維爾整理并發表了迦羅華的一些文章和傳記。而真正理解他

的成就，還要等到1870年約當寫出Traitedessubstitutions，或者更晚一些，到

二十世紀克萊因（FelixKlein）和李（SophusLie）把他的理論系統地運用到幾

何上去時人們才真正認識到他們曾經擁有過一個怎樣的天才。迦羅華只活了二十歲

，寫的全部論文只有六十頁紙。在他生前他的數學思想不為人所理解，政治主張也

大逆不道。然而在他死后人們稱他是現代代數學的開創者，而他的祖國，再也不會

有“謀害國王”這條罪名了。他真正當得起Bell的評論-----

Inallthehistoryofsciencethereisnocompleterexampleofthe

triumphofcrassstupidityoveruntamablegeniusthanisaffordedbythe

alltoobrieflifeofEvaristeGalois