運籌學對偶問題

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運籌學對偶問題范文第1篇

關鍵詞 影子價格 決策 對偶問題

中圖分類號：0221.1 文獻標識碼：A

影子價格（shadow price），是荷蘭經濟學家詹恩?丁伯根在本世紀30年代末首次提出來的，運用線性規劃的數學方式計算的，反映社會資源獲得最佳配置的一種價格。用線性規劃方法求解資源最優利用時，即在解決如何使有限資源的總產出最大的過程中，得出相應的極小值，其解就是對偶解，極小值作為對資源的經濟評價，表現為影子價格。這種影子價格反映勞動產品、自然資源、勞動力的最優使用效果。初學者對這個內容往往感到抽象，不易掌握。實際上解釋這個問題需要對對偶問題有個正確的認識，同時看到原問題和對偶問題的內在聯系，以及它們在經濟上的重要含義，就能將這個問題融會貫通，收到事半功倍之效。

1影子價格實例

某工廠生產三種產品B1B2B3利用兩種原料A1A2，有關數據如下：

從這個例子我們可以清楚看到（1）是如何求解最優配置（利用或使用）資源問題，而它的對偶問題（2）是求解如何恰當估價資源問題。Y描述了第i種資源在具體生產中的一種估價，這種估價不同于該種資源的市場價格，而是該種資源在給定某條件生產的最優生產方案下的一種實際存在而又看不見的真實價格，因此稱之為影子價格。

2影子價格在資源利用，投資決策方面的重要作用

影子價格對于擁有資源的決策者來說有著非常重要作用。當市場價格低于影子價格時，可以考慮買入該種資源，組織和增加生產，反之，當市場價格高于影子價格時，可以賣出資源或提高產品價格。同時，影子價格還可以幫助企業預測產品的價格，買方要買入賣方的產品作為資源投入生產，要求其價格必須小于該產品作為自己最優生產資源的影子價格，否則將無利可圖，賣方要求出售產品的價格必須大于自己的生產成本，否則，利益會受到損失。產品的價格應該在成本和影子價格之間。影子價格越大，說明這種資源越是相對緊缺，影子價格越小，說明這種資源越是相對不緊缺，如果最優生產計劃下某種資源有剩余，這種資源的影子價格一定為零。例如上述對偶問題還可以看見，原問題第一個約束條件的影子價格時3/5萬元/噸，它表示現有原料A1增加1噸，最大利潤可增加3/5萬元/噸。因此市場上原料A1的實際價格小于影子價格3/5萬元/噸時，可以買進原料A1擴大生產，使利潤增加。反之，市場上原料A1的實際價格大于于影子價格3/5萬元/噸時，可賣掉原材料，縮小生產數量。此時生產利潤雖然會減少一些，但加上賣原料的實際收入，總的經濟收入還是會比原來增加。可見影子價格對市場有調節作用。

3影子價格的計算

影子價格（對偶問題的最優解）是原問題最優基對應的單純性表中松弛變量對應的檢驗數額相反數。而檢驗數又與最優基精密聯系著。最優基改變，檢驗數就會改變，因而影子價格也改變。

參考文獻

[1] 甘應愛，田豐.運籌學[M].清華大學出版社，1990.

[2] 邱蔻華，馮允成.運籌學教程[M] 1 機械工業出版社，2009.

運籌學對偶問題范文第2篇

關鍵詞：運籌學；課程建設；教學研究；教學方法；教學改革

中圖分類號：G6420文獻標識碼：A文章編號：1674-120X（2016）17-0076-02收稿日期：2016-04-21

基金項目：本文系“中國傳媒大學教學改革項目”（2014 No32）的研究成果。

作者簡介：朱永貴（1964―），男，北京人，中國傳媒大學理工學部教授，博士，研究方向：運籌學、信息處理。

運籌學主要研究系統最優化問題，從實際問題出發，應用數學理論和方法建立數學模型，然后給出求解這些數學模型的各種最優化方法[1]。運籌學主要研究的是線性最優化問題，其內容有線性規劃、目標規劃、整數規劃、動態規劃、圖與網絡分析、排隊論、存儲論、對策論、決策論和啟發式方法[2]。運籌學是信息與計算科學、數學與應用數學、統計學和其他相關專業的專業基礎課，其目的是培養學生綜合各學科知識，利用運籌學的方法對實際問題進行定量分析和數學建模，通過本課程的學習為大學生進一步學習專業課程奠定理論基礎，使其具有系統優化的思維方法和邏輯推理能力，從而全面提升大學生應用運籌學解決實際問題的能力[3]。通過對“運籌學”課程的調研和課程教學的親身體會，發現目前“運籌學”教學過程中存在許多問題亟待解決，還有很多方面達不到“運籌學”課程的培養目標。為此我們探索和研究了“運籌學”課程教學的規律和特點，找出了解決問題的一些積極有效的方法。下面從“運籌學”課程培養目標、教學現狀和存在的問題、教學改革措施、教學改革方法幾個方面討論了“運籌學”課程教學改革研究的重要性。

一、“運籌學”課程建設目標

“運籌學”課程的實際應用非常廣泛，涉及很多專業知識，要求學生系統掌握運籌學的基本數學模型、基本概念、基本理論、基本算法和數據處理的基本能力。本課程建設的具體目標如下：

（1）要求學生掌握“運籌學”課程中的線性規劃與單純形法、對偶理論和靈敏度分析、運輸問題的數學建模和表上作業法、目標規劃的數學模型和解目標規劃的單純形方法。

（2）要求學生系統地掌握整數規劃求解的分支定界法和割平面法，掌握0-1型整數規劃數學模型及其求解方法，能夠熟練求解指派問題。

（3）要求學生掌握動態規劃方法、圖與網絡優化方法，系統掌握排隊論、存儲論、對策論、決策論的基本概念和求解方法。

（4）培養學生能夠從實際問題中抽象出運籌學問題，并借助于計算機得以解決，提高學生分析和解決實際問題的能力。

（5）培養學生的創新性意識，讓他們善于發現問題、分析問題和解決問題。

二、“運籌學”課程教學現狀和存在的問題

1教學內容過于陳舊和教學重點不突出

在目前高等學校教學改革的大環境下，現階段開設的“運籌學”課程教學內容偏重于經濟管理專業所使用的“運籌學”，而且內容主要是線性最優化問題。線性優化問題對非線性科學不再實用。隨著科學技術的發展，特別是信息科學的發展，非線性問題越來越多，與此相適應則需要非線性最優化方法去求解非線性最優化問題。只有這樣才能適應高等學校的教學改革要求，才能使“運籌學”課程教學富有活力，進而實現“運籌學”的課程建設目標。

2教學手段過于單調，沒有創新性

目前“運籌學”課程教學以多媒體教學授課方式進行，缺少板書教學。利用多媒體教學，僅僅顯示PPT的內容，沒有有針對性地對部分定理給出一些數學推導過程。學生們獲得的信息非常枯燥、非常有限，講課的速度過快，學生很難跟上主講教師的思路與節奏，同時也沒有更多的時間去獨立思考，最終導致課堂教學效果比較低。比如單純形法求解線性規劃問題、表上作業法求解產銷平衡運輸問題、分支定界法求解整數線性規劃問題，在講解過程中過于重復，缺乏創新性的內容。

3教學內容的取舍與側重點不明晰，主次選擇不恰當

講授“運籌學”課程的大多數教師是數學出身，不太熟悉計算機軟件的使用，教學過程中偏重于理論分析與解題方法的講解，不注重算法的實現和程序的編寫，也很少安排上機實習。結果大部分學生認為“運籌學”課程比較抽象，對本課程的學習缺乏興趣。目前“運籌學”課程中的主要教學內容有線性規劃、整數規劃、運輸問題、目標規劃和動態規劃、圖論與網絡等，而大部分高校設置的教學課時是48學時。由于受教學課時的限制，在教學中不可能講完所有的內容。對于不同專業、不同學科和不同類型課程的學生如何選取教學內容，以滿足教學改革和教學內容創新的需求，需要我們進一步探索。

4教學方法需要更新，考核方法要科學合理

如何在本課程的教學過程中更多地激勵學生去主動積極地學習課程內容，提高課堂的教學效果是值得探討的一個重要問題。為此，我們教師要突破傳統的教學理念，改變以往的教學方法，引進和學習國內外具有創新思想的教學理論和方法。對學生學習情況進行合理的考核是提高學生學習積極性的重要環節。“運籌學”課程主要培養學生創造性地分析問題、建立模型并解決問題的能力，但教學結果的考核常采用傳統的閉卷筆試的模式，主要考查一些概念和定理與計算方法，致使學生死記硬背“運籌學”的理論、概念和方法，這導致多數學生考完試后就忘記所學內容，談不上“運籌學”的實際應用能力的提高。為此，我們要對“運籌學”采取閉卷考試和上機實驗環節測試的考核方法，其目的在于尋找更科學、更適合學生們的教學方法。

三、“運籌學”課程教學改革措施

1優化“運籌學”課程教學內容

不同專業的培養目標一般是不同的，不同專業的學生對“運籌學”課程知識點的需求也是不一樣的。因此，我們對教學內容的選取要按照不同的專業進行取舍。選取以學生需求為導向的教學內容，這樣不僅滿足了不同專業學生的培養目標要求，而且還做到了因專業施教，提高了“運籌學”課程的教學效果。

2建立科學合理的“運籌學”課程體系

選擇教學內容是教學過程的重要環節，在這個重要環節中，我們要注重引進新的教學內容、教學理念與教學方法，建立合理的課程體系。我們應該按照“運籌學”課程的培養目標，力求使課程內容的設置和難度的確定符合大學生的認知規律。“運籌學”應用范圍廣，涉及專業多，不同專業學生的知識基礎千差萬別，對“運籌學”的要求也有所不同。對信息與計算科學、數學與應用數學兩個專業的本科生開設“運籌學”課程，要較系統地講解“運籌學”的理論知識和應用方法，使他們掌握基本的數學規劃方法，線性規劃、整數規劃、0-1規劃的數學模型、基本概念、基本理論、基本算法和實際應用。而對于統計學專業的本科生來說，所開設的“運籌學”課程要與“經濟數學實驗”課程相結合，介紹經濟管理和生產管理實際問題建模的案例及Matlab、Lingo等計算軟件的使用和編程的技術和方法，增加實踐教學過程，使學生能夠解決經濟領域中的現實問題，同時也為學生從事該方向的繼續學習與深入研究打下基礎等。

3優化“運籌學”課程教學手段

合理使用多媒體教學，多增加板書內容。例如，在講解圖解法求解線性規劃問題、整數規劃問題時，應該使用多媒體課件技術將目標函數的等值線在約束域中沿著梯度方向平移，恰好離開約束域時即得到線性規劃問題的最優解和最優值。用單純形法求解線性規劃問題時，不斷更新單純形表的過程是一個非常煩瑣的過程，所以應該使用黑板講解單純形法的數學思想是Gauss迭代過程，從理論上要讓學生明白單純形方法是怎么得到的。這有助于學生在上機編程實現單純形方法求解線性規劃問題。在“運籌學”課程的教學過程中，合理運用多媒體技術，將黑板板書與其結合使用，讓學生及時理解、消化課堂知識，從而提高教學質量。在“運籌學”課程的教學過程中， 合理應用案例教學。案例教學模式可以通過教師引導、學生參與，培養學生的分析問題和解決問題的能力。適當加入實驗教學環節，“運籌學”課程中的數學模型問題涉及的決策變量數目一般比較多，約束條件也比較復雜，從而會使問題求解的計算量增加。為此可考慮利用計算機進行實驗教學，使得學生掌握基本的計算工程軟件如Matlab的操作。這樣不但可以減少手工計算的煩瑣性，而且節約了計算時間，將更多的時間和精力應用到數學建模、結果分析等方面，進而培養和提高學生解決實際問題的能力。

四、“運籌學”課程教學改革方法

運籌學的教學內容與教學方法，要滿足數學與應用數學、統計學、信息與計算科學以及非數學類專業學生的需求。要突破傳統的教學方法和教學模式，不斷改革、不斷創新，要在“運籌學”課程實踐教學過程中探索新的教學規律和教學方法，進一步修訂、完善教學課件，根據本課程的教學特點采用板書與課件有機結合的方式，增加新的教學內容，全面提高教學效果。要循循善誘、因材施教，不拘泥于呆板的教學方式，從各類專業的學生基礎出發，激發所有學生的學習興趣。主講教師要積極主動地與學生形成一個互動式教學氛圍，提高課堂的教學效率。要開發“運籌學模型求解教學輔助軟件”，用來幫助指導學生掌握運籌學模型的求解方法和思路。要適當吸納國際化課程教學方法，可以以英語教材為輔助教學材料，插入一些雙語教學。

在課后定期開展一些專題講座，講座的形式可以多種多樣，可以由學生來講，也可以由與“運籌學”課程有關的教師來講。第一階段可以介紹運籌學領域的發展歷史和發展現狀，第二階段主要介紹“運籌學”在經濟領域的企業管理、生產管理、庫存管理、物流管理、科學管理工程等中的應用，第三階段主要介紹“運籌學”領域的前沿問題和最新動態。通過系列學術講座活動，能夠讓學生了解如何應用“運籌學”工具解決實際生活問題，同時可以拓寬學生的學術視野，激發學生的學習興趣，提高學生的研究能力，激勵他們利用“運籌學”知識解決實際問題，從而提高他們理論聯系實際的能力。

參考文獻：

[1]朱永貴“運籌學”課程建設探討教師，2012，（11）：31―32.

運籌學對偶問題范文第3篇

論文[關鍵詞]運籌學；管理科學；數學模型；實踐教學

1引言

產生戰爭時期的運籌學如今在經濟、生產、管理等領域的應用日益廣泛．經過近幾十年的發展，運籌學的分支幾乎擴展到生產實踐、管理科學的各個領域，是現代管理科學的基礎理論和重要方法及工具．它是抽象的數學理論和實踐相結合的“橋梁”，它既為從事應用領域研究的人們提供了完整的數學方法，又為從事數學理論研究的人們展現了廣闊的應用前景．

運籌學是數學的一個重要分支，其核心是研究優化的理論和方法，是數學與應用數學專業必修課；同時運籌學又以定量分析的方法研究管理、生產實踐等領域的問題，將系統思想、工程思想和管理思想相結合，應用數學的方法，通過建立數學模型、求解數學模型解決實際應用問題，為決策者提供定量化的分析結果，輔助決策．運籌學是現代管理科學的理論基礎之一，因此也是經濟、管理等專業的主干課程．在運籌學教學中，應該根據管理類專業和應用數學專業的不同專業特點、學生知識基礎等情況區別對待，切實達到應有的教學目的和效果．

2培養目標及教學目的比較

1．專業培養目標的比較．

一般地，管理專業要培養掌握堅實的專業基本理論和系統的專業知識，具有從事專業領域決策、管理和研究工作能力的人才．學生畢業后主要在企業、政府管理、經濟研究等部門工作．

應用數學專業要培養學生具備扎實的數學基礎和一定的理論研究能力；在強調基礎知識的前提下，強調理論與實踐相結合，培養學生分析問題、運用數學方法解決實際問題的能力；熟練的計算機應用能力．充分體現“寬口徑，厚基礎，多選擇”的培養理念，適應社會需求多樣化和學生興趣與發展方向個性化的要求．學生畢業后應能在科研、經濟等部門從事研究或在生產經營及管理部門從事實際應用、開發研究和管理工作．

2．運籌學教學目的的比較．

雖然很多專業都需要學習運籌學，但各專業的培養目標不同決定運籌學教學的目的必然不同．

運籌學作為現代管理科學的基礎理論之一，是現代管理科學不可缺少的方法、手段和工具．管理專業的學生通過運籌學知識的學習和訓練，目的是開發和啟迪學生的獨立思考能力和創造能力，培養其運用系統的思想、定量分析的方法解決生產、管理等實際應用方面的問題，學生運用數學的工具和邏輯判斷方法，來研究系統中人、財、物的組織管理、籌劃調度等問題，使其發揮最大的經濟效益．通過運籌學的學習可以提高管理者的素質，提高管理的質量．

這些學生畢業后多數是從事生產實踐等方面的管理工作，而非優化理論的研究工作，因而從其任職的需要來說，運籌學學習的重點應放在應用性方面．

運籌學是數學的一個重要分支，經過半個多世紀的發展，已經形成了比較完備的學科知識體系．對應用數學專業，通過運籌學課程的教學，目的是讓學生掌握這門學科有關的基本理論，打好扎實的理論基礎；另一方面，運籌學畢竟是一門應用性學科，學生還應學會用數學模型的方法解決實際應用中的優化問題，這也是運籌學的精髓所在．

3運籌學教學內容與重點的分析

1．管理專業運籌學課程應側重應用．

根據以上分析，加之一般管理類學生數學基礎較弱，對于基礎理論部分感到晦澀難懂，興趣不大．因此，這類專業的運籌學教學應以應用為主，重點介紹各種類型的運籌模型和求解模型的計算軟件，要求學生掌握數學模型的建立、優化思想、求解(計算機求解)及對解的經濟分析和評價．數學模型方法是定量化、科學化決策的重要工具．

運籌學的各個分支都是在研究不同領域的實際應用中逐步發展起來的，因此運籌學的方法幾乎涵蓋各個領域的管理決策問題，例如制定生產計劃、規劃交通網絡、設計產品參數、控制工藝過程、預報經濟增長、確定投資方案等都可以用適當的數學模型表示并加以解決．因此應讓學生充分了解模型的類型、不同模型的特點與應用，以便今后將運籌學方法運用到實際中去解決問題，可以使得管理更加科學、有效．這部分內容是學生今后進一步學習專業課以及從事經濟管理工作要用到的基礎知識，所以要求學生要深刻理解、準確把握，并側重理論聯系實際的應用．

管理專業運籌學課時一般都不多，因此可以選擇線性規劃、對偶理論、運輸問題、整數規劃及動態規劃等基本內容進行講授．還有一些難度較大的內容(如排隊論、存儲論等)，根據課時情況可作簡單介紹，通過典型案例，讓學生了解其實際應用．當在實際中確實碰到這類問題時可通過具有不同知識結構的人員通過團隊合作的方式加以解決．

2．數學專業運籌學課程應理論、應用并重．

雖然運籌學是一門應用性較強的學科，但它有相應的理論基礎，而且這是一門比較年輕的學科，其理論還在不斷地發展完善之中．理論來自實踐，還要回到實踐中去，實際應用要在相應的理論指導下進行，因此運籌學的理論也很重要．

數學專業的學生與管理專業的學生相比，他們的數學基礎較好，邏輯思維的能力較強，因此理科的學生應該掌握這門課程的有關理論知識，可以為今后從事理論研究打下基礎．

另一方面，理科的學生通常存在重理論、輕應用的現象，而將理論應用于實踐，轉化成實際的生產力或經濟效益才是理論研究的目的，否則只能是紙上談兵．事實上，通過實踐中的應用，還可以發現新的問題，在解決新問題的過程中又可以豐富理論、發展理論．因此學生除了學習有關的理論外，還應該注重聯系實際的應用，避免眼高手低．在當前嚴峻的就業形勢下，應用型人才是非常受歡迎的．應用數學專業在課時較充足的情況下，學生的數學基礎較好，除了前面提到的管理專業所講授的基本內容外，還可以講授難度稍大的排隊論、存儲論等內容．

3．計算機應用能力的培養．

計算機技術的發展日新月異，計算機的使用也已滲透到社會生產、生活的各個方面，實踐中的很多問題都要借助于計算機來解決，計算機在求解數學模型方面也有著強大的功能，是不可或缺的角色．因此在求解運籌學模型方面，除了掌握不同模型的求解思想和方法，還要結合實驗教學，介紹求解運籌學模型的數學軟件，如LINDO，LINGO，MATHEMATICA等．給學生提供上機實踐，使學生學會使用有關的數學軟件求解數學模型．

實踐教學在以往的運籌學教學中常常是薄弱環節，但在當前的就業形勢、計算機技術的發展水平等形式下，通過實踐教學，培養學生解決實際問題的意識和能力是非常重要的一方面．實踐教學中，通過分小組讓學生解決一些實際應用當中的問題，不但可以提高學生學習運籌學的興趣，讓他們感覺到能夠學以致用；另外還可以培養合作研究的團隊精神，這也是他們將來在工作中不可缺少的一種素質要求．當然，管理專業的學生多偏文科，因此軟件編程能力相對弱一些，而應用數學專業的理科學生在這方面要強一些，因此可以根據學生的實際情況，選擇難度適當的應用性問題讓學生解決．而無論文科還是理科的學生，要想真正學會一門編程語言，都不僅僅是通過課堂所學就足夠的，但實踐教學可以起到拋磚引玉的作用．

運籌學對偶問題范文第4篇

【關鍵詞】Sandwich教學法；教學內容；教學過程；教學優缺點

Sandwich教學法即“三明治”教學法，最早是1903年英國桑德蘭技術學院在工程和船舶建筑系中開始實施的，以培養應用型人才為目標，以學年為基本單位交替進行理論學習和工作實踐，俗稱大Sandwich。后德國海德堡大學醫學院將Sandwich教學理念應用于醫學小班教學，建立Sandwich醫學教學法，簡稱小Sandwich。小Sandwich教學法是一種小班（25―36人）[1]教學中安排學生小組討論、交叉學習、小結匯報，提高學生自主學習能力和思考能力的教學方法，將集體學習和個體學習穿插結合，注重教師與學生、學生與學生之間的交流、溝通，國內很多院校正積極引進和使用該教學法[2]。本文所指的“Sandwich教學法”，即“小Sandwich教學法”。

1 在運籌學實驗課中應用Sandwich教學法的必要性

運籌學是一門綜合性、實踐性較強的應用學科。運籌學實驗教學中引入Sandwich教學法是一種創新，它將實踐操作與理論學習相結合，通過小組討論、交叉學習、小組匯報等學習方式加強學習效果，做到融會貫通，在保證正常教學內容和質量的同時，提高和發展學生的自主學習能力和動手操作能力。因此它對運籌學教學來說是一種提高課堂教學效果很強的教學方法，對培養理論和實踐全面發展的科研人才是很有幫助的。

2 運籌學實驗內容在我校整體設置情況

在本校信息管理與信息系統專業的2013版本科課程培養方案中，本課程由48學時增加到了56學時，其中實驗是16學時。相應的，新教學大綱中的授課內容就由原來的：線性規劃、對偶理論、運輸問題、整數規劃、目標規劃、圖與網絡分析、計劃評審方法和關鍵路線法、動態規劃8章內容，增加了存儲論、排隊論2章，共10章的教學內容。在教學軟件方面，由原來的Excel、WinQSB，增加了Lindo、Lingo、Matlab軟件的使用。

3 教學過程設置

由于信管專業的運籌學課程已經開始了小班教學，且每個班學生人數均在32人左右，可以保證Sandwich教學法的順利實施。

在Sandwich教學法指引下，運籌學整個教學過程以教學流程為主線，教師和學生分別承擔不同的任務。課前，教師負責教學過程設計，按組數及課堂內容編寫具體問題、提供豐富的資源、布置任務。課中學生按照教師的安排自主學習，教師作為指導者引導學生交流討論、鞏固練習。

Sandwich教學法大致包括以下幾個階段： ①開場白5分鐘；②第一次分組討論20分鐘；③交叉學習20分鐘；④匯報15分鐘；⑤教師總結10分鐘；⑥金魚缸討論（解決新問題）20分鐘；⑦成績評定[3]10分鐘。每個階段具體時間依教學內容難易程度而定，以上列舉時間僅供參考。

開場白中，老師要引出本次課的教學流程、教學內容和提出本次課學習目標，讓學生既要了解自己在討論過程中擔當的角色，接下來要討論的問題，還需要知道應該重點掌握和理解哪方面的內容。同時，讓學生明確分組要求。比如一個班級有32位同學，若本節課需要掌握5個基礎問題，則可以劃分為5個小組。

第二次組隊按1，2，3，4，5分組，小組內每位學生就在第一次小組中討論學習的內容做一匯報。如果在前一次小組討論中沒有找到正確答案，也可以在這一環節收獲一些新的意見。

交叉討論后，學生回到最初分配的小組，進行信息的反饋和歸納總結。

每組派代表發言，匯報各組問題的最終結果。在這一環節中，除了鍛煉學生的口頭表達能力，還需要教師加以適當的引導，巧妙的將涉及的知識串聯在一起，起到融會貫通的效果[4]。

教師根據本次課所提出的學習目標，結合授課內容和學生討論過程中出現的分歧或疑問，進行解答，并幫助學生解析每一個問題，最后給出確切的結論。

金魚缸討論中每個小組選出一位學生進行第三次分組，例如將A1、B2、C3、D4、E5組成一組，討論新問題，其他學生聆聽，也可以積極參與討論。設計的問題是要花心思，在包含前面討論學習的知識點的同時，更側重于提升學生的主動思考和分析新問題的能力。但由于課上時間的有限性和前面討論內容的難易程度，有時可能進展不到這一步。

最后，由學生對本堂課做出評價，對于課堂內容設置以及此教學法實施的各個環節提出意見和合理建議。同時對學生的表現進行成績評定。

4 在運籌學實驗課中采用Sandwich教學法的優缺點

4.1 優點

Sandwich教學法，注重以學生為本，重視課堂上學生之間的討論，喚醒了學習動機，它的優越性主要體現在以下幾方面：（1）在一定程度上改變了學生課堂被動地聽講，促使學生主動地使用參考資料、互聯網資源尋找所需的知識。（2）學生在互相討論的氛圍中學習知識，充分鍛煉學生的表達能力，加強了學生的協作能力等綜合素質。（3）在實驗學習過程中能夠反復涉及理論課知識，可以很好做到理論聯系實際。（4）增加了學生與教師之間的交流機會，使教師也能動態把握學生的學習情況。

4.2 缺點

但Sandwich教學法尚處在試驗階段，仍存在一些問題：（1）不適合大班教學。該方法主要以多次討論和匯報總結為主，決定了只能在30人左右的小范圍內進行。（2）適用范圍有限。不適用于自學難理解的課程或內容，避免學生在學習或討論過程中障礙太多而產生厭學情趣。（3）對教師要求較高。教師要設置問題，引導學生，要隨時答學生的各種疑問，沒有掌控整個課堂的能力將無法完成教學任務。

總之，對該方法的實施和效果的檢驗需要進一步的觀察。

【參考文獻】

[1]韓瑋娜.Sandwich教學法在基礎化學教學中的應用[J].中國高等醫學教育.2014（7）：104-105.

[2]張志威，王建文.案例教學法結合Sandwich教學法在法醫臨床學實驗教學中的運用[J].南京醫科大學學報（社會科學版），2013（1）：89-92.

運籌學對偶問題范文第5篇

關鍵詞：線性規劃；影子價格；方向導數；資源配置

引言

影子價格是運籌學、管理學和經濟學中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產所對應的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向導數定義，計算短、長期生產所對應的影子價格。

一、問題的提出

影子價格與線性規劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規劃問題，原規劃問題（1）。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）

如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對偶規劃（2）的最優解，則最優值z*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個函數，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對bi求右向偏導數即為y*i：

y*i=，i=1，2，…，m（4）

顯然，此影子價格僅對應于一個短期生產問題，其前提是其他資源數量保持不變，一般通過單純形法求得。

考慮一個生產運作問題。設某工廠利用K、L兩種資源生產甲、乙兩種產品，資源要素量、產品的單位價格及可耗用的資源總量（如表1所示）：

表1 生產有關數據表

對于上述問題，為確定最優資源配置計劃，以收益為目標函數，以可耗資源為約束，構造線性規劃問題（5）。

max3x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）

利用單純形法對問題（5）求解，結果（如表2所示）。

表2初始線性規劃的最優單純形

根據表2，推斷資源K的影子價格為，資源L的影子價格為。

但是，如果我們對資源K、L的數量同時進行調整的長期生產問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進新的定義方式與計算方法。

二、影子價格的長期劃分與計算

本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產最優值函數的極點解進行分析，通過Akgulm的方向導數進而確定長期多資源變化的影子價格。

Akgulm定義了函數Z*（b1，…，bm）在資源組合點B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導數：

Duz*（b）=limt0+ （6）

為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過（7）式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。

三、長期資源調整的計算示例

對于例題，原規劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產范圍內，給定b1=600不變，僅b2發生變化，即此時資源組合點B沿單位方向（0，1）方向發生變化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

（7）

在長期范圍內，多種資源甚至所有資源投入都可進行調整，資源可以就任何方向進行調整。比如，假設當前要素組合沿單位方向=，進行調整，由于最優對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：

Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）

結論

實際生產總表現出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數對該要素的右向偏導數即可。如果給定時間范圍內涉及到至少兩種以上生產要素的調整，則需采用方向導數方能測度投入要素對收益函數的影響，唯有如此才能根據影子價格合理指導資源配置。

參考文獻：

[1]劉舒燕.關于資源影子價格不唯一性問題的討論[J].運籌與管理，2001，(2)：33-36.

[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.