乘法公式數學教案
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第九課時
教學目標
（一）教學知識點
1．經歷探索平方差公式的過程．
2．會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算．
（二）能力訓練要求
1．在探索平方差公式的過程中，培養符號感和推理能力．
2．培養學生觀察、歸納、概括的能力．
（三）情感與價值觀要求在計算過程中發現規律，并能用符號表示，從而體會數學的簡捷美．
教學重點
平方差公式的推導和應用．
教學難點
理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式．
教學方法
探究與講練相結合．
通過計算發現規律，進一步探索公式的結構特征，在老師的講解和學生的練習中讓學生體會公式實質，學會靈活運用．
教具準備
投影片．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創設情境
[師]你能用簡便方法計算下列各題嗎？
（1）2001×1999（2）998×1002
[生甲]直接乘比較復雜，我考慮把它化成整百，整千的運算，從而使運算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項式的積，根據多項式乘法法則可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[師]很好，請同學們自己動手運算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[師]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它們積的結果都是兩個數的平方差，那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規律呢？我們繼續進行探索．
Ⅱ．導入新課
[師]出示投影片
計算下列多項式的積．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
觀察上述算式，你發現什么規律？運算出結果后，你又發現什么規律？再舉兩例驗證你的發現．
（學生討論，教師引導）
[生甲]上面四個算式中每個因式都是兩項．
[生乙]我認為更重要的是它們都是兩個數的和與差的積．例如算式（1）是x與1這兩個數的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個數的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個數的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個數的和與差的積．
[師]這個發現很重要，請同學們動筆算一下，相信你還會有更大的發現．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y•x-x•5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]從剛才的運算我發現：
也就是說，兩個數的和與差的積等于這兩個數的平方差，這和我們前面的簡便運算得出的是同一結果．
[師]能不能再舉例驗證你的發現？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
這同樣可以驗證：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．
[師]為什么會是這樣的呢？
[生]因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后，中間兩項是同類項，且系數互為相反數，所以和為零，只剩下這兩個數的平方差了．
[師]很好．請用一般形式表示上述規律，并對此規律進行證明．
[生]這個規律用符號表示為：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意數，也可以表示任意的單項式、多項式．
利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[師]同學們真不簡單．老師為你們感到驕傲．能不能給我們發現的規律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個名字呢？
[生]最終結果是兩個數的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？
[師]有道理．這就是我們探究得到的“平方差公式”，請同學們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式．
（出示投影）
兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結構特征才能應用．
在應用中體會公式特征，感受平方差公式給運算帶來的方便，從而靈活運用平方差公式進行計算
（出示投影片）
例1：運用平方差公式計算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：計算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[師生共析]運用平方差公式時要注意公式的結構特征，學會對號入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同樣的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）應先作如下轉化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果轉化后還不能符合公式特征，則應考慮多項式的乘法法則．
（作如上分析后，學生可以自己完成兩個例題．也可以通過學生的板演進行評析達到鞏固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[師]我們能不能總結一下利用平方差公式應注意什么？
[生]我覺得應注意以下幾點：
（1）公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式．
（2）要符合公式的結構特征才能運用平方差公式．
（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質上能應用公式．
[生]運算的最后結果應該是最簡才行．
[師]同學們總結得很好．下面請同學們完成一組闖關練習．優勝組選派一名代表做總結發言．
Ⅲ．隨堂練習
出示投影片：
計算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．
（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．
（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2
=（a+2b）（a+2b）-4c2
=a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2
=a2+4ab+4b2-4c2
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
=（a2-b2）（a2+b2）
=（a2）2-（b2）2=a4-b4．
優勝組總結發言：
這些運算都可以通過變形后利用平方差公式．其中變形的形式有：位置變形；符號變形；系數變形；指數變形；項數變形；連用公式．關鍵還是在于理解公式特征，學會對號入座，有整體思想．
Ⅳ．課時小結
通過本節學習我們掌握了如下知識．
（1）平方差公式
兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差．這個公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的結構特征
①公式的字母a、b可以表示數，也可以表示單項式、多項式；
②要符合公式的結構特征才能運用平方差公式；
③有些式子表面上不能應用公式，但通過適當變形實質上能應用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．課后作業
1．課本P179練習1、2．
2．課本P182～P183習題15．3─1題．
Ⅵ．活動與探究
1．計算：1234567892-123456788×123456790
2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．
過程：
1．看似數字很大，但觀察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡計算．
2．方程中含有多項式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡．
結果：
1．1234567892-123456788×123456790
=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）
=1234567892-（1234567892-1）
=1234567892-1234567892+1
=1．
2．原方程可化為：
5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2
∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2
即5x+54x2-24-54x2+6=2
移項合并同類項得5x=20
∴x=4．
板書設計
備課資料
[例1]利用平方差公式計算：
（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；
（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．
分析：（1）（a+3）（a-3）適合平方差公式的形式，應先計算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）適合平方差公式的形式，應先計算（2x-1）×（2x+1）
解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）
=（a2）2-92=a4-81；
（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）
=[（2x）2-12]（4x2+1）
=（4x2-1）（4x2+1）
=（4x2）2-1=16x4-1．
方法總結：觀察、發現哪兩個多項式符合平方差公式的結構特征，符合公式結構特征的先算．這是這類試題的計算原則．
[例2]計算：
（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
分析：直接計算顯然太復雜，不難發現每兩個項正好是平方相減的形式．于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去計算．事實上，這是可行的．
解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+2+1
=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）
=50×101=5050；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）
=××××××…××××
＝×=．
方法總結：逆用平方差公式產生了很好的效果。相信你也會運用．
